孫小義，張賢勇，李 露

SUN Xiaoyi1，2,ZHANG Xianyong1，2,LI Lu1，2

1.四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，成都 610066

2.四川師范大學(xué) 智能信息與量子信息研究所，成都 610066

1.College of Mathematics and Software Science,Sichuan Normal University,Chengdu 610066,China

2.Institute of Intelligent Information and Quantum Information,Sichuan Normal University,Chengdu 610066,China

1 引言

粗糙集理論[1]是一種處理不精確、不一致、不完整信息與知識(shí)的數(shù)學(xué)工具，也是一種重要的智能信息處理技術(shù)。粗糙集理論最初的原型來(lái)源于比較簡(jiǎn)單的信息模型，它的基本思想是通過(guò)關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)分類歸納形成概念和規(guī)則，通過(guò)等價(jià)關(guān)系的分類以及分類對(duì)于目標(biāo)的近似去獲得知識(shí)發(fā)現(xiàn)。目前，該理論已成為人工智能領(lǐng)域中一個(gè)較新的學(xué)術(shù)熱點(diǎn)，在機(jī)械學(xué)習(xí)、認(rèn)知診斷、數(shù)據(jù)挖掘、知識(shí)獲取、決策分析等許多領(lǐng)域[2-6]得到了廣泛的關(guān)注，并應(yīng)用于醫(yī)療衛(wèi)生、地質(zhì)環(huán)境、機(jī)械制造、交通運(yùn)輸?shù)刃袠I(yè)[7-10]。

經(jīng)典粗糙集是在等價(jià)關(guān)系下定義粗糙近似算子。研究一般二元關(guān)系下的粗糙近似算子，比如探討基于自反、對(duì)稱、傳遞的粗糙近似算子，擴(kuò)寬了對(duì)經(jīng)典粗糙集的適用范圍。近年來(lái)，許多作者研究了基于新二元關(guān)系的廣義粗糙集[11-13]。

文獻(xiàn)[1]的起源Pawlak粗糙集的上下近似集與拓?fù)淇臻g中集合的內(nèi)部與閉包在本質(zhì)上是相同的，且文獻(xiàn)[14]表明：經(jīng)典粗糙集和以劃分為基的拓?fù)淇臻g是吻合的。由此，粗糙集的拓?fù)溲芯烤哂袑W(xué)術(shù)意義[15-16]，粗糙集理論與拓?fù)涞慕Y(jié)合得到很多研究[17-18]。文獻(xiàn)[19]針對(duì)自反傳遞關(guān)系，證明下近似集族組建拓?fù)洌舷陆萍礊橥負(fù)溟]包與內(nèi)部。文獻(xiàn)[20]針對(duì)自反關(guān)系θ，證明集族

構(gòu)成拓?fù)洌ㄆ渲蠻為非空有限論域，2U為論域冪集，θ-(X)為下近似集）；當(dāng)θ自反對(duì)稱則拓?fù)洌?）還滿足（sym）條件，若有拓?fù)錆M足（clop）條件則存在自反對(duì)稱關(guān)系θ使得拓?fù)洌?）即為該拓?fù)?；若有拓?fù)錆M足（comp）條件，則存在自反傳遞關(guān)系誘使下近似集即為該拓?fù)鋬?nèi)部。文獻(xiàn)[21]證明自反傳遞關(guān)系與滿足（COMP）緊條件的拓?fù)渚哂幸灰粚?duì)應(yīng)，若θ自反傳遞則拓?fù)洌?）滿足（COMP）條件，其中論域不局限于有限性。文獻(xiàn)[22]指出，自反傳遞誘導(dǎo)的拓?fù)渑c滿足（COMP）條件的拓?fù)浣允茿lexandrov拓?fù)?。文獻(xiàn)[23]通過(guò)閉包與內(nèi)部算子研究模糊粗糙集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，證明了自反、傳遞關(guān)系下的近似空間中模糊集的上、下近似算子分別為一個(gè)模糊拓?fù)涞拈]包、內(nèi)部算子，且相應(yīng)的模糊拓?fù)錆M足（TC）條件；反之，滿足（TC）條件的模糊拓?fù)涞拈]包與內(nèi)部算子也恰為一自反、傳遞關(guān)系下的近似空間中的上、下近似算子。此外，文獻(xiàn)[24-25]基于邏輯代數(shù)和模糊粗糙來(lái)建立粗糙集與拓?fù)淇臻g的聯(lián)系，得到許多相應(yīng)的性質(zhì)。

綜上，粗糙集主要通過(guò)二元關(guān)系密切聯(lián)系著拓?fù)?。事?shí)上，二元關(guān)系通常涉及自反性、對(duì)稱性、傳遞性，該三性關(guān)系的層次結(jié)構(gòu)如圖1?；趫D1，粗糙集一般是由等價(jià)關(guān)系（即三性）定義粗糙近似算子，但等價(jià)關(guān)系性質(zhì)太強(qiáng)；反之，單做一個(gè)（自反、對(duì)稱、傳遞）關(guān)系則性質(zhì)太弱；所以，雙關(guān)系探討是一個(gè)可行方向，如上述文獻(xiàn)[19，21-23]對(duì)自反對(duì)稱、自反傳遞具有詳細(xì)研究。特別地，自反關(guān)系比較平凡，不太具有核心性，在性質(zhì)上弱于對(duì)稱關(guān)系與傳遞關(guān)系。此外，對(duì)稱傳遞關(guān)系的雙性研究罕見(jiàn)文獻(xiàn)報(bào)道。對(duì)此，本文將結(jié)合對(duì)稱性與傳遞性來(lái)研究相關(guān)粗糙集近似，其具有完善雙性研究的基本動(dòng)機(jī)。具體地，本文主要研究基于對(duì)稱傳遞關(guān)系的誘導(dǎo)拓?fù)浼捌淇蓴?shù)性，以進(jìn)一步揭示粗糙集與拓?fù)渖羁搪?lián)系。

圖1 自反、對(duì)稱、傳遞三性關(guān)系的三層結(jié)構(gòu)

2 粗糙集與拓?fù)涞念A(yù)備

2.1 粗糙集預(yù)備

本節(jié)回顧粗糙集的近似集及其性質(zhì)。有限論域U與二元關(guān)系R?U×U組建了廣義近似空間(U,R)，其中觀測(cè)集為X,Y?U。

定義1[1]X關(guān)于R的上下近似集為：

其中為x關(guān)于R的后繼鄰域。相應(yīng)地，稱為上下近似算子。

命題1[1]上下近似集（及算子）具有如下性質(zhì)：

基于二元關(guān)系，近似集采用了后繼鄰域與元素的形式，相關(guān)性質(zhì)聚焦集合運(yùn)算與二元關(guān)系，泛化與弱化了基于等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)。

2.2 拓?fù)漕A(yù)備

本節(jié)復(fù)習(xí)拓?fù)涓拍钆c可數(shù)性質(zhì)。

定義2[26]設(shè)集族T?2U滿足開(kāi)集公理：

則稱T為U上的拓?fù)洌?U,T)為拓?fù)淇臻g，其中T的每個(gè)集元稱為開(kāi)集，開(kāi)集的補(bǔ)集則為閉集。

定義3[26]設(shè)映射i:2U→2U滿足內(nèi)部公理：

則i稱為U上的內(nèi)部算子，其中i(X)稱為集合X的內(nèi)部。類似地，四個(gè)條件

確定的映射c:2U→2U稱為U上的閉包算子，其中c(X)稱為集合X的閉包。

拓?fù)涫且环N包含空集全集且對(duì)有限交與無(wú)限并封閉的集族結(jié)構(gòu)。其內(nèi)部與閉包從內(nèi)外雙向界定觀測(cè)集合，緊密地關(guān)聯(lián)著粗糙集上下近似集的雙向逼近[19]。拓?fù)渲饕P(guān)注在同胚映射下的不變性質(zhì)，下面介紹可數(shù)性拓?fù)湫再|(zhì)。

定義4[26]在拓?fù)淇臻g(U,T)中，子族B?T稱為基，若

拓?fù)淇臻g若具有可數(shù)基（即有限個(gè)開(kāi)集組成的基），則稱為第二可數(shù)。

定義5[26]在拓?fù)淇臻g(U,T)中，記N(x)為點(diǎn)x∈U的鄰域系，子族B(x)?N(x)稱為x的鄰域基，若

拓?fù)淇臻g滿足每點(diǎn)具有可數(shù)鄰域基，則稱為第一可數(shù)。

對(duì)拓?fù)淇蓴?shù)性，第二可數(shù)與第一可數(shù)分別由可數(shù)基與可數(shù)鄰域基定義；此外，還可以基于可數(shù)稠密子集與可數(shù)子開(kāi)覆蓋分別定義可分空間與Lindelof空間。這四種特征均為拓?fù)湫再|(zhì)。下面的結(jié)論表明，第二可數(shù)蘊(yùn)含其他可數(shù)性，具有基礎(chǔ)性。

定理1[26]第二可數(shù)拓?fù)淇臻g性必是第一可數(shù)拓?fù)淇臻g、可分拓?fù)淇臻g、Lindel of拓?fù)淇臻g。

在第二可數(shù)條件下，四種可數(shù)特征均具有對(duì)于子空間的遺傳性。對(duì)乘積空間，第二可數(shù)性、第一可數(shù)性、可分性均具有可數(shù)可乘性，但Lindel of性不具有可乘性。

3 基于對(duì)稱傳遞關(guān)系的近似集與拓?fù)?/h2>

3.1 基于對(duì)稱傳遞關(guān)系的近似集

本節(jié)討論基于對(duì)稱傳遞二元關(guān)系的近似集。下面主要采用文獻(xiàn)[20-21]的記號(hào)風(fēng)格，以區(qū)分2.1節(jié)中通常二元關(guān)系R及其近似集。具體地，這里設(shè)θ為滿足對(duì)稱性與傳遞性的二元關(guān)系，并用θ+與θ-標(biāo)注上下近似集，而為上下近似算子。

引理1。

定理2X的上下近似集為：

基于定義1與對(duì)稱傳遞，引理1提供了單點(diǎn)集{}x的上近似集θ+{x}，其作為核心因素刻畫(huà)了通常集合的上下近似（定理2）。進(jìn)而，近似集具有如下基本性質(zhì)，其深化了命題1所述性質(zhì)。

命題2關(guān)于對(duì)稱傳遞關(guān)系θ，上下近似集（及算子）具有如下性質(zhì)：

3.2 基于對(duì)稱傳遞關(guān)系的拓?fù)?/h3>

本節(jié)利用對(duì)稱傳遞關(guān)系誘導(dǎo)拓?fù)?，并給出內(nèi)部與閉包關(guān)聯(lián)于近似集的性質(zhì)。

定義6定義對(duì)稱傳遞關(guān)系θ的誘導(dǎo)集族：

在下述拓?fù)湟饬x下，Tθ稱為θ誘導(dǎo)拓?fù)洹?/p>

定理3Tθ是U上的拓?fù)洹?/p>

證明（1）?,U∈Tθ是顯然的。

（2）設(shè)。 x∈X 且 x∈Y ，故，即

（3）設(shè)。因此

綜上三條，Tθ成為U上的拓?fù)洹?/p>

關(guān)于構(gòu)建思路，對(duì)稱傳遞關(guān)系θ首先確立單元上近似集θ+{x}（引理1），θ+{x}進(jìn)而激發(fā)拓?fù)銽θ（定理3）。根據(jù)公式（9），其中開(kāi)集包含它所有元素的單元集上近似。

定理4在拓?fù)淇臻g(U,Tθ)中，內(nèi)部算子i與閉包算子c具有如下性質(zhì)：

其中，孤立點(diǎn)指沒(méi)有在對(duì)稱傳遞關(guān)系θ的序?qū)侠锍霈F(xiàn)的元素。

定理4刻畫(huà)了Tθ內(nèi)部與閉包，表明了在對(duì)稱傳遞關(guān)系下粗糙集與拓?fù)涞年P(guān)系。誘導(dǎo)拓?fù)淇臻g(U,Tθ)中的內(nèi)部與閉包主要分別對(duì)應(yīng)廣義近似空間(U,Tθ)的下上近似集；但是，其中存在關(guān)于孤立點(diǎn)的描述差異，這主要根源于二元關(guān)系θ不一定具有自反性。相應(yīng)地，內(nèi)部閉包公式（10）（11）涉及到觀測(cè)集與孤立點(diǎn)的四種關(guān)系。這四種關(guān)系其實(shí)可以部分界定Tθ開(kāi)集與閉集，結(jié)論如下。

推論1（1）X內(nèi)含所有孤立點(diǎn)時(shí)，θ-(X)為T(mén)θ拓?fù)溟_(kāi)集；

（2）當(dāng) X 外含有孤立點(diǎn) x時(shí)，為T(mén)θ拓?fù)溟_(kāi)集；

（3）當(dāng)X外含所有孤立點(diǎn)時(shí)，θ+(X)為T(mén)θ拓?fù)溟]集；

（4）當(dāng) X 內(nèi)含孤立點(diǎn) x 時(shí)為T(mén)θ拓?fù)溟]集。

4 對(duì)稱傳遞關(guān)系的誘導(dǎo)拓?fù)涞幕?、鄰域基、可?shù)性

4.1 Tθ誘導(dǎo)拓?fù)涞幕c鄰域基

本節(jié)提供誘導(dǎo)拓?fù)銽θ的基與鄰域基，為后續(xù)可數(shù)性研究奠定基礎(chǔ)。

引理2

證明?y∈θ+{x}有 x∈θs(y)，即(y,x)∈θ。若 ?z∈θ+{y},則有 y∈θs(z)，即(z,y)∈θ。由 θ傳遞性，(z,x)∈θ，即 x∈θs(z)。因此，z∈θ+{x}，θ+{y}?θ+{x}，進(jìn)而θ+{x}∈Tθ。

定理5是誘導(dǎo)拓?fù)銽θ的一個(gè)基，且為最小基（即 Bθ?B′θ若 B′θ是Tθ的任意基）。

定理6是誘導(dǎo)拓?fù)銽θ在點(diǎn)x∈U處的一個(gè)鄰域基，且為最小鄰域基（即Bθ(x)?B′θ(x)若B′θ(x)是Tθ在點(diǎn) x 處的任意鄰域基）。

證明Bθ是拓?fù)銽θ的一個(gè)基，則對(duì)任意x∈U及其任意鄰域N(x)，存在x的一個(gè)開(kāi)鄰域U(x)使得U(x)?N(x)。根據(jù)U(x)的開(kāi)集性與基的定義，Bθ(x)?Bθ使得 U(x)=∪B∈Bθ(x)B 。由 x∈∪B∈Bθ(x)B 存在 L(x)∈Bθ(x)?Bθ使得因此，Bθ(x)是x的一個(gè)鄰域基。此外，Bθ(x)的最小基性容易證明。

這里，定理5與定理6利用上近似集構(gòu)建了誘導(dǎo)拓?fù)銽θ的基Bθ與鄰域基Bθ(x)，它們均具有對(duì)應(yīng)的最小性。

4.2 Tθ誘導(dǎo)拓?fù)涞目蓴?shù)性

利用基與鄰域基，本節(jié)研究誘導(dǎo)拓?fù)銽θ的可數(shù)性。

定理7拓?fù)淇臻g(U,Tθ)為第二可數(shù)空間、第一可數(shù)空間、可分空間、Lindelof空間。

關(guān)于誘導(dǎo)拓?fù)銽θ，基Bθ顯然是一個(gè)可數(shù)族，所以第二可數(shù)性存在；鄰域基Bθ(x)也是一個(gè)可數(shù)族，所以第一可數(shù)性亦存在。由定理1，利用第二可數(shù)性可以直接誘導(dǎo)第一可數(shù)性，以及可分性與Lindelof性，即定理7成立。下面對(duì)Tθ提供一些基本的可數(shù)性刻畫(huà)。

推論2設(shè) (U′,T ′)為拓?fù)淇臻g，f:(U,Tθ)→(U′,T ′)。若 f是滿的開(kāi)映射，則(U′,T′)為第二、第一可數(shù)空間；若 f是連續(xù)映射，則(U′,T′)為可分空間、Lindelof空間。

推論3在(U,Tθ)拓?fù)淇臻g中，每點(diǎn) x∈U 具有可數(shù)鄰域套基{Vn(x)}(n∈Z+)，適合于條件

推論4聚點(diǎn)x∈Xd等價(jià)于X-{x}中存在序列收斂于x。

推論5（1）設(shè)U′?U,T ′=T|U′，則子空間 (U′,T ′)為第二可數(shù)空間、第一可數(shù)空間、可分空間、Lindelof空間。

（2）設(shè)θi(i=1,2,…,n)為對(duì)稱傳遞關(guān)系族，則乘積拓?fù)淇臻g (U×…×U，Tθ1×…×Tθn)為第二可數(shù)空間、第一可數(shù)空間、可分空間。

上述推論2～5來(lái)源于Tθ的四種可數(shù)特征（定理7）與經(jīng)典拓?fù)湫再|(zhì)（如2.2節(jié)）。推論2闡述可數(shù)性的拓?fù)洳蛔冃?，推?與4說(shuō)明第一可數(shù)延展性質(zhì)，推論5則聚焦子空間與乘積空間的結(jié)構(gòu)制造（其中Lindelof空間不具有可乘性）。

5 實(shí)例分析

本章采用一實(shí)例來(lái)具體分析對(duì)稱傳遞關(guān)系的誘導(dǎo)拓?fù)浼捌淇蓴?shù)性。

例1設(shè)論域U={x1,x2,x3,x4,x5,x6}，二元關(guān)系

雖然θ滿足對(duì)稱性與傳遞性，但不滿足自反性。因此，θ為U上的對(duì)稱傳遞關(guān)系，而元素x5,x6為孤立點(diǎn)。

單點(diǎn)集的上近似集為：

設(shè) X={x2,x3,x4,x5}，Y={x1,x3,x4,x6}，Z={x1,x2}，則 X?Y={x1,x2,x3,x4,x5,x6}、X?Y={x3,x4}。

相關(guān)的上下近似集為：

由此，可以驗(yàn)證命題2，例如：

對(duì)稱傳遞θ誘導(dǎo)拓?fù)錇椋?/p>

且θ+{xi}∈Tθ(i=1,2,3,4,5,6)?；谌N觀測(cè)集計(jì)算，表1在上下近似集基礎(chǔ)上提供Tθ內(nèi)部與閉包結(jié)果，從而驗(yàn)證了兩者之間的關(guān)系（定理4）。此外，表1標(biāo)注部分開(kāi)集與閉集來(lái)驗(yàn)證推論1。相關(guān)觀測(cè)集的內(nèi)部閉包與上下近似的復(fù)合：

]

表1 三種觀測(cè)集的上下近似集與拓?fù)鋬?nèi)部閉包

在誘導(dǎo)拓?fù)淇臻g(U,Tθ)中，可數(shù)基為：

再考慮基

則有B?B′，該結(jié)果表明B最小性。x1∈U的鄰域系為：

x1的可數(shù)鄰域基為B(x1)={{x1,x2}}?？紤]x1的鄰域基：

則有B(x1)?B′(x1)，該結(jié)果表明B最小鄰域基性。對(duì)本例誘導(dǎo)拓?fù)淇臻g(U,Tθ)，可數(shù)基與可數(shù)鄰域基的存在性確定了第二可數(shù)性與第一可數(shù)性，以及可分空間與Lindelof空間，即定理7被驗(yàn)證?；诮?jīng)典拓?fù)浣Y(jié)果，推論2～5自然成立，無(wú)需驗(yàn)證。

下面將比較分析本文結(jié)果與文獻(xiàn)[11]結(jié)果。在文獻(xiàn)[11]中，通過(guò)閉包算子與內(nèi)部算子研究模糊粗糙集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，證明了自反、傳遞關(guān)系下的近似空間中模糊集的上下近似算子分別是一個(gè)模糊拓?fù)涞拈]包算子與內(nèi)部算子，且相應(yīng)的模糊拓?fù)錆M足（TC）條件。文獻(xiàn)[11]主要討論模糊集背景（其F(U)中的集合都是模糊集），而本文是在精確集下討論基于對(duì)稱傳遞關(guān)系的誘導(dǎo)拓?fù)浼捌淇蓴?shù)性；對(duì)此，可以將文獻(xiàn)[11]中的結(jié)論退化到精確集來(lái)與本文進(jìn)行比較。特別地，表2提供了相關(guān)結(jié)果的異同點(diǎn)，其中Ρ(U)為U上的全體粗糙集的集合。

基于表2，兩文結(jié)果的對(duì)比分析簡(jiǎn)單說(shuō)明如下。（1）本文與文獻(xiàn)[11]的相同點(diǎn)具有相同形式但不同背景。在相同點(diǎn)（1）中，兩者的二元關(guān)系都是泛化的，但本文集合只涉及精確集，而文獻(xiàn)[11]采用模糊集；在相同點(diǎn)（2）中，本文的二元關(guān)系仍是泛化的，但文獻(xiàn)[11]的二元關(guān)系是定義的一種自反傳遞關(guān)系。（2）本文與文獻(xiàn)[11]的不同點(diǎn)在形式與本質(zhì)上都具有不同。在不同點(diǎn)（1）中，本文對(duì)于任意集合Y∈Ρ(U)，3集Y,θ-(Y),θ+(Y)無(wú)任何包含關(guān)系。同時(shí)，本文在對(duì)稱傳遞關(guān)系下，削弱了i(θ-(X))和 i(X)、c(θ+(X))和 c(X)的包含關(guān)系。（3）將文獻(xiàn)[11]的模糊集退化到精確集，可通過(guò)上述實(shí)例來(lái)進(jìn)行相關(guān)比較，這里不再詳述。

通過(guò)上面與文獻(xiàn)[11]的比較分析，說(shuō)明了在對(duì)稱傳遞關(guān)系下的上下近似和拓?fù)涞膬?nèi)部與閉包具有獨(dú)特性質(zhì)。

表2 本文結(jié)果與文獻(xiàn)[11]結(jié)果的異同點(diǎn)

6 結(jié)束語(yǔ)

本文主要基于對(duì)稱傳遞關(guān)系θ，確定近似集（算子）及其性質(zhì)，構(gòu)建誘導(dǎo)拓?fù)銽θ及其內(nèi)部（算子）與閉包（算子）；進(jìn)而，針對(duì)誘導(dǎo)拓?fù)銽θ提出基與鄰域基研究可數(shù)性，得到第二可數(shù)性、第一可數(shù)性、可分性、Lindelof性等四種可數(shù)特征及其性質(zhì)。本文采用一種新的二元關(guān)系拓展了粗糙集與拓?fù)涞慕Y(jié)合，深化了粗糙集與拓?fù)涞穆?lián)系。以基于對(duì)稱傳遞關(guān)系，拓?fù)淇臻g(U,Tθ)的其他拓?fù)湫再|(zhì)可以深入。此外，一般拓?fù)湫枰裁礂l件以激發(fā)對(duì)稱傳遞二元關(guān)系并反之對(duì)應(yīng)誘導(dǎo)拓?fù)?，值得思考。最后，根?jù)圖1，本文的工作完善了雙性研究，而單性研究正是后續(xù)工作，并期待最終完成整個(gè)三性層次的系統(tǒng)分析。相應(yīng)地，“基于對(duì)稱傳遞的拓?fù)淇蓴?shù)性特征”（如本文）與“基于自反、自反對(duì)稱、自反傳遞等關(guān)系的特征”的區(qū)別，也成為后續(xù)工作。

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