車 艷, 舒慧生, 闞 秀

(1．莆田學(xué)院 信息工程學(xué)院, 福建 莆田351100；2．東華大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 上海 201620；3．上海工程技術(shù)大學(xué) 電子電氣工程學(xué)院, 上海201620)

網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)的工程系統(tǒng)所處環(huán)境十分復(fù)雜并且可能時時變化, 使得系統(tǒng)受到多種不確定性因素的影響。特別是在近70年的控制工程實踐中, 研究人員已完全認識到基于控制系統(tǒng)的精確模型是不存在的。一個系統(tǒng)的品質(zhì)(如穩(wěn)定性、干擾抑制性和最優(yōu)性等指標)如果對于系統(tǒng)內(nèi)外的不確定性因素不敏感, 則稱該系統(tǒng)具有魯棒穩(wěn)定性。早期魯棒控制(robust control)研究大多著眼于微攝動不確定性[1]，現(xiàn)代魯棒控制受到廣泛關(guān)注的有Kharitonov定理[2]、棱邊定理[3]、H∞控制思想[4]、μ理論[5]等。魯棒控制自1972年首次被Davison[6]提出以來, 已經(jīng)過近半個世紀的發(fā)展, 取得了豐富的成果, 但依然是一個相當活躍的研究領(lǐng)域[7-8]。

一般意義下的不確定性分為兩類：一是系統(tǒng)外部不確定性, 在常見的系統(tǒng)模型中表述為外部干擾, 即由噪聲引起的不確定性,H∞便是處理這類不確性的方法之一[4, 9-15]；二是系統(tǒng)內(nèi)部不確定性, 如量測誤差、參數(shù)估計誤差及模型化誤差、未知參數(shù)等。系統(tǒng)內(nèi)部描述參數(shù)不確定性的常見方法主要有范數(shù)有界不確定性[16-19]和凸多面體不確定性[20]兩類, 文獻[21]的研究表明，在一定條件下這兩種方法是等價的。

網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)的工程系統(tǒng)不僅受到不確定性因素的影響, 在通信受限條件下, 測量信息丟失(或稱測量信息不完全、測量信息不完整)現(xiàn)象廣泛呈現(xiàn)于網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)(networked control systems, NCSs)[22-23]的信號采集、數(shù)據(jù)傳輸與處理過程中。例如在網(wǎng)絡(luò)傳輸過程中, 由于受交換機、路由器、集線器等網(wǎng)絡(luò)設(shè)備故障, 以及多路徑傳輸、信道帶寬受限、瞬時失效、病毒攻擊、網(wǎng)絡(luò)癱瘓等的影響, 測量信息(數(shù)據(jù)包)丟失現(xiàn)象時有發(fā)生[24-26]。測量信息丟失現(xiàn)象的建模方法有Bernoulli分布[10, 12, 19-20, 27], Kroneckerδ函數(shù)、[0 1]區(qū)間分布[28-29]、示性函數(shù)[30]、馬爾可夫過程及不完全矩陣技術(shù)[31-33]。同時, 測量信息丟失現(xiàn)象的研究多側(cè)重于離散系統(tǒng)的濾波問題[10, 12-18, 24-25, 27-29], 作為其對偶的離散系統(tǒng)的控制研究相對較少[19-21, 33]。在實際工程中, 由于受系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、環(huán)境因素、經(jīng)濟成本等的制約, 通常難于測取系統(tǒng)狀態(tài)信息, 所以狀態(tài)反饋控制器的研究成果雖然遠多于輸出反饋控制器, 但其研究成果的工程應(yīng)用前景受到限制。

目前, 對測量信息丟失的離散型、基于凸多面體不確定性、靜態(tài)輸出反饋控制器的研究已有報道[20]。文獻[20]研究了工業(yè)過程控制中的一類離散時滯不確定性系統(tǒng)的H∞靜態(tài)輸出反饋控制, Bernoulli序列刻畫了測量數(shù)據(jù)的丟失過程, 凸多面體表述不確定性, 取得了使系統(tǒng)均方指數(shù)穩(wěn)定的靜態(tài)輸出反饋控制充分條件。但基于測量信息多丟失、凸多面體不確定性、隨機非線性系統(tǒng)的動態(tài)輸出反饋情況鮮有報道。

受文獻[20]的啟發(fā), 本文研究一類基于測量信息多丟失、凸多面體不確定性、時滯依賴、隨機非線性系統(tǒng)的動態(tài)輸出反饋系統(tǒng)的魯棒控制問題, 從下述3個方面推廣了文獻[20]的成果。

(1) 測量信息不完全現(xiàn)象的多丟失刻畫, 丟失模型中經(jīng)常采用的Bernoulli序列可看作其特例。

(2) 較文獻[20]的靜態(tài)輸出反饋, 本文實現(xiàn)了動態(tài)輸出反饋控制。在系統(tǒng)穩(wěn)定性的證明過程中, 雖然動態(tài)輸出反饋使凸多面體刻畫的不確定性處理變得十分復(fù)雜, 但研究仍然取得了使系統(tǒng)均方指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。仿真結(jié)果表明，同時考慮網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)的測量信息多丟失、動態(tài)輸出反饋、凸多面體不確定、時滯依賴、隨機非線性等情況是可行的。

(3) 本研究不僅在工程過程控制, 而且在軍事、交通系統(tǒng)、遠程醫(yī)療及智能建筑等多個領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。

文中涉及符號表述說明：Rn為n維歐幾里德空間,N+為自然數(shù)集合,AT為矩陣A的轉(zhuǎn)置,E{x}表示隨機變量x的期望, *為對稱分塊矩陣中由對稱性決定項的省略符號, diag{Λ}為塊對角矩陣, (Ω,F, {F+}k∈N+,P)為帶流的完備概率空間,I為具有合適維數(shù)的單位矩陣, tr(A)表示矩陣A的跡。

1 系統(tǒng)描述

一類具有凸多面體參數(shù)不確定特性的離散隨機非線性時滯系統(tǒng), 即

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

函數(shù)f(x(k),x(k-τ))與g(x(k),x(k-τ))是非線性函數(shù), 具有以下統(tǒng)計學(xué)特點：

(6)

(7)

(8)

構(gòu)造式(9)形式的動態(tài)輸出反饋控制器, 即

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

2 動態(tài)輸出反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

下面給出充分條件滿足系統(tǒng)(10)均方指數(shù)穩(wěn)定。

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

證明取Lyapunov候選函數(shù)：

(24)

式中：Δη(k):=η(k+1)-η(k), 所以

(25)

(26)

則系統(tǒng)(10)可以寫成

(27)

Ε{ΔV(η(k))} =Ε{V(η(k+1))|η(k)|}-V(η(k))=

(28)

(29)

根據(jù)式(30)

(30)

有

(31)

由式(6)～(8)可知

(32)

(33)

式(33)右側(cè)第一項處理為

(34)

(35)

(36)

由式(33)～(36)可得

(37)

則可以推出式(38)為

(38)

式中：

(39)

(40)

(41)

(42)

Ε{ΔV(η(k))}≤-λmin(Λd)‖η(k)‖2

(43)

至此, 證明完成。

3 動態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計

由定理1穩(wěn)定性分析, 進一步研究可得控制器的設(shè)計方案。限于篇幅, 定理2證明略去。

(44)

(45)

(46)

(47)

W-U>0

(48)

(49)

M5:=UE1+Q2E2

則控制器(9)的參數(shù)為：

(50)

由于定常線性時滯離散系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化為高維、沒有時滯的線性離散系統(tǒng), 然后通過離散線性系統(tǒng)的控制律設(shè)計方案獲得控制律；如果時滯未知, 這一方法將不再有效。本文針對這一問題, 運用Lyapunov理論發(fā)展了基于凸多面體不確定參數(shù)的離散時滯系統(tǒng)的時滯依賴的魯棒鎮(zhèn)定問題, 并通過定理1和2獲得了基于LMI(linear matrix inequality)的充分條件, 該條件實現(xiàn)了目標系統(tǒng)的均方指數(shù)隨機穩(wěn)定性。控制器設(shè)計問題的可行性可以應(yīng)用LMI工具箱求解一組LMI得到驗證。

4 數(shù)值例子

本節(jié)通過數(shù)值例子與仿真, 對具有凸多面體不確定性和多測量信息丟失特征的離散系統(tǒng)所設(shè)計的魯棒控制器的有效性進行驗證。

針對式(1)～(3)所表征的系統(tǒng), 取如下參數(shù)：

得到的理想控制律參數(shù)如下：

仿真結(jié)果如圖1和2所示。圖1給出了未加控制輸入時的狀態(tài)軌跡, 圖2則給出了加入控制后的狀態(tài)軌跡。由圖1和2可知，仿真結(jié)果驗證了控制器的有效性和可靠性。

圖1 無控制情況下的軌跡xi(i=1,2,3)Fig.1 State trajectories of xi(i=1,2,3) without control

圖2 有控制情況下的軌跡xiu(i=1,2,3) Fig.2 State trajectories of xiu(i=1,2,3) under control

5 結(jié) 語

本文討論了一類網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)的、具有凸多面體不確定特征、離散時滯隨機系統(tǒng)在多測量信息丟失情形下的動態(tài)輸出反饋控制問題。通過測量輸出構(gòu)造了動態(tài)輸出反饋控制器, 采用Lyapunov穩(wěn)定性理論, 給出了增廣系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充分條件, 并基于該條件利用線性矩陣不等式技術(shù)得到了控制器的設(shè)計方案。數(shù)值例子與仿真結(jié)果表明該控制方案是可靠的。

參 考 文 獻

[1] FRANK P M. Introduction to system sensitivity theory [M]. New York: Academic Press, 1987.

[2] KHARITONOV V L. Asymptotic stability of an equilibrium position of a family of systems of linear differential equations [J]. Differential Equations, 1979, 14(11): 256-261.

[3] BARTLETT A C, HOLLOT C V, HUANG L. Root locations of an entire polytope of polynomials: It suffices to check the edges [J]. Mathematics of Control Signals and Systems, 1988, 1(1): 61-71.

[4] ZAMES G. Feedback and optimal sensitivity: Model reference transformations, multiplicative seminorms, and approximate inverses [J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1981, 26(2): 301-320.

[5] DOYLE J C. Analysis of feedback systems with structured uncertainties [J]. IEEE Proceedings D - Control Theory and Applications, 1982, 129(6): 242-250.

[6] DAVISON E J. The output control of linear time-invariant multivariable systems with unmeasurable arbitrary disturbances [J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1972, 17(5): 621-630.

[7] JIAO X F, HU B. Mode-independent robust stabilization for uncertain Markovian jump systems with multiple delays in state and input[C] // Intelligent Control and Information Processing (ICICIP), 2010 International Conference. 2010, DOI: 10.1109/ICICIP.2010.5564309.

[8] SHU H S, Wang Z D, L Z. Global asymptotic stability of uncertain stochastic bi-directional associative memory networks with discrete and distributed delays [J]. Mathematics and Computers in Simulation, 2009, 80(3): 490-505.

[9] DOYLE J C, Glover K, KHARGONEKCAR P, et al. State-space solutions to standardH2andH∞control problems [J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1989, 34: 831-847.

[10] WANG Z D, YANG F W, HO C W D, et al. RobustH∞filtering for stochastic time-delay systems with missing measurements[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2006, 54: 2579-2587.

[11] SHU H S and WEI G L.H∞analysis of nonlinear stochastic time-delay systems [J]. Chaos, Solitons & Fractals, 2005, 26: 637-47.

[12] SHEN B, WANG Z D, SHU H S, et al. On nonlinearH∞filtering for discrete-time stochastic systems with missing measurements[J]. IEEE Transactions on Automatica Control, 2008, 53(9): 2170-2180.

[13] DING D R, WANG Z D, SHEN B, et al. Envelope-constrainedH∞filtering with fading measurements and randomly occurring nonlinearities: The finite horizon case [J]. Automatica, 2015, 55: 37-45.

[14] CHE Y, SHU H S, LIU Y R. Exponential mean-squareH∞filtering for arbitrarily switched neural networks with missing measurements [J]. Neurocomputing, 2016, 193: 227-234.

[15] SHU H S, YANG H, WANG Z D, et al. Almost sureH∞filtering for nonlinear hybrid stochastic systems with mode-dependent interval delays [J]. Journal of the Franklin Institute, 2015, 352: 4758-4775.

[16] WEI G L, WANG Z D, SHU H S. Robust filtering with stochastic nonlinearities and multiple missing measurements [J]. Automatica, 2009, 45(3): 836-841.

[17] SHEN B, DING STEVEN X, WANG Z D. Finite-horizonH∞fault estimation for uncertain linear discrete time-varying systems with known inputs [J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems-II: Express Briefs, 2013, 60(12): 902-906.

[18] KAN X, SHU H S, WANG Z D. State estimation for discrete-time delayed neural networks with fractional uncertainties and sensor saturations [J]. Neurocomputing, 2013, 117: 64-71.

[19] HU J, WANG Z D, GAO H J, et al. Robust sliding mode control for discrete stochastic systems with mixed time delays, randomly occurring uncertainties, and randomly occurring nonlinearities [J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2012, 59(7): 3008-3015.

[20] 王武,楊艷華,許冠冕,等.一類離散時滯不確定隨機系統(tǒng)H∞靜態(tài)輸出反饋控制[J].控制與決策, 2007, 22(9): 989-993, 999.

[21] BOYD S, GHAOUI L E, FERON E, et al. Linear matrix inequalities in system and control theory [M]. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 1994.

[22] HAKEVU Y, RAY A. Integrated communication and control systems: part I-analysis [J]. ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 1988, 110(4): 367-373.

[23] RAY A, HALEVI Y. Integrated communication and control systems: Part II-design considerations[J]. ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 1988, 110(4): 374-381.

[24] CHEN G. A simple treatment for suboptimal Kalman filtering in case of measurement data missing [J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1990, 26(2): 413-415.

[25] SAVKIN A V, PETERSEN I R, MOHEIMANIC S O. Model validation and state estimation for uncertain continuous-time systems with missing discrete-continuous data [J]. Computers & Electrical Engineering, 1999, 25 (1): 29-43.

[26] NAHI N. Optimal recursive estimation with uncertain observation [J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1969, 15(4): 457-462.

[27] CHE Y, SHU H S, KAN X. Estimation for nonlinear stochastic systems with randomly distributed time-varying delays and missing measurements [J]. Mathematical Problems in Engineering, 2012, Article ID 890512, 15 pages, DOI: 10.1155/2012/890512.

[28] HE X, WANG Z D, WANG X F, et al. Networked strong tracking filtering with multiple packet dropouts: algorithms and applications [J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2014, 61(3): 1454-1463.

[29] LIANG Y, CHEN T, PAN Q. Optimal linear state estimator with multiple packet dropouts [J]. IEEE Transactions on automatic control, 2010, 55(6): 1428-1433.

[30] HE X, WANG Z D, LIU Y, et al. Least-squares fault detection and diagnosis for networked sensing systems using a direct state estimation approach [J]. IEEE Transactions on Industrial Information, 2013, 9(3): 1670-1679.

[31] ZHANG P, DING S X, FRANK P M, et al. Fault detection of networked control systems with missing measurements[C]//Proceedings of the 5th Asian Control Conference. 2004: 1258-1263.

[32] ZHANG Y, FANG H, LIU Z. Fault detection for nonlinear networked control systems with Markov data transmission pattern [J]. Circuits, Systems, and Signal Processing, 2012, 31(4): 1343-1358.

[33] 邱麗, 姚鳳麒, 鐘小品, 等.隨機丟包時延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)動態(tài)輸出反饋控制[J].深圳大學(xué)學(xué)報(理工版), 2015, 32(1): 40-47.

[34] MOON Y S, PARK P, KWON W H, et al. Delay-dependent robust stabilization of uncertain state-delayed systems [J]. International Journal of Control, 2001, 74(14): 1447-1455.