劉磊

摘要 本文集中在帶有部分狀態(tài)約束的非線性單輸入單輸出系統(tǒng)的自適應(yīng)控制器設(shè)計上.考慮了非對稱死區(qū)的非線性輸入特性，選取障礙李雅普諾夫函數(shù)用來阻止部分受約束的狀態(tài)違反約束條件.根據(jù)障礙李雅普諾夫函數(shù)反步法，解決了該類系統(tǒng)的輸出跟蹤問題，同時也處理了死區(qū)非線性帶來的影響.針對下三角結(jié)構(gòu)的非線性系統(tǒng)，設(shè)計了自適應(yīng)控制器，證明了閉環(huán)系統(tǒng)所有信號都是有界的，同時保證了系統(tǒng)輸出可以跟蹤上參考信號.最后，仿真結(jié)果表明了所提方法的有效性.

關(guān)鍵詞

約束控制;障礙李雅普諾夫函數(shù);死區(qū)非線性輸入;反步法

中圖分類號? TP13

文獻(xiàn)標(biāo)志碼? A

0 引言

受約束的系統(tǒng)普遍存在于現(xiàn)實中的許多物理系統(tǒng)中.例如在靜電微驅(qū)動機構(gòu)中，可移動電極的速度和位移必須受到約束以防止該電極觸碰到固定電極.實際控制系統(tǒng)中，為保證系統(tǒng)的安全運行，對系統(tǒng)中的各變量進行恰當(dāng)?shù)募s束變得十分有必要.通常而言，系統(tǒng)的超調(diào)量不能過大，否則會導(dǎo)致系統(tǒng)的運行狀態(tài)非常不理想甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定.如何快速有效地處理控制系統(tǒng)中的約束問題也是工業(yè)過程控制中一個很重要的工作.基于障礙李雅普諾夫函數(shù)（BLF） 的控制設(shè)計方法能有效處理一類約束問題.其基本思想是當(dāng)自變量的值趨于某些區(qū)域邊界時，BLF的值趨于無窮大.通過保證BLF的有界性，可以達(dá)到限制系統(tǒng)狀態(tài)的目的.

具體而言，基于BLF的控制方法大致可以總結(jié)為三類：輸出約束控制、全狀態(tài)約束控制和部分狀態(tài)約束控制.輸出約束控制要在系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)上確保系統(tǒng)的輸出保持在一定的約束范圍之內(nèi).文獻(xiàn)[1]解決了嚴(yán)格反饋系統(tǒng)的輸出約束問題，分別利用傳統(tǒng)的BLF以及對稱BLF，基于backstepping方法，提出了相應(yīng)的自適應(yīng)控制策略.全狀態(tài)約束控制需要在確保系統(tǒng)穩(wěn)定的同時保證所有的狀態(tài)都滿足一定的約束條件.文獻(xiàn)[2]針對一類帶有參數(shù)不確定的隨機非線性系統(tǒng)，利用對稱BLF和非對稱BLF，提出了兩類自適應(yīng)控制算法，確保了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[3]提出了嚴(yán)格反饋系統(tǒng)的自適應(yīng)全狀態(tài)約束控制方案，解決了控制方向未知的問題.部分狀態(tài)約束控制是解決控制系統(tǒng)里只有一部分狀態(tài)需要滿足一些特定的約束條件（且保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性）的方法.事實上，輸出約束控制和全狀態(tài)約束控制可以看成是部分狀態(tài)約束控制的特殊形式[4] .雖然約束控制的研究日趨成熟，但是，很多已有成果都忽略了死區(qū)非線性輸入的現(xiàn)象[5-6] .

死區(qū)是一種典型的非線性輸入形式.由于執(zhí)行器物理限制、機械設(shè)計和制造等方面原因，死區(qū)輸入特性不可避免地存在于實際控制系統(tǒng)中，并且會造成閉環(huán)控制系統(tǒng)的性能下降，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定.因此，近年來關(guān)于具有死區(qū)非線性輸入特性的動態(tài)系統(tǒng)的研究受到廣泛重視，并且取得了一些研究成果[7-8] .文獻(xiàn)[9]利用死區(qū)特性里斜率有界的性質(zhì)，提出了基于小增益定理和狀態(tài)觀測器的魯棒模糊自適應(yīng)輸出反饋死區(qū)補償控制策略，并確保系統(tǒng)里所有的信號都是半全局一致最終有界的.然而，以上成果都是針對存在對稱死區(qū)的執(zhí)行器進行探討的，而許多實際的機械系統(tǒng)中經(jīng)常存在不對稱死區(qū)機構(gòu)，為了克服這一局限性，文獻(xiàn)[10]詳細(xì)給出了非對稱死區(qū)的具體模型，針對三角結(jié)構(gòu)的互聯(lián)非線性系統(tǒng)，提出了分散式自適應(yīng)鎮(zhèn)定控制器的設(shè)計方法.不過，這些已有方法[8-10] 并沒有考慮狀態(tài)約束問題.當(dāng)系統(tǒng)的部分狀態(tài)也必須滿足一定的約束條件時，如何設(shè)計有效的自適應(yīng)控制器來補償死區(qū)現(xiàn)象仍未解決.

本文在障礙李雅普諾夫函數(shù)的基礎(chǔ)上，針對一類帶有部分狀態(tài)約束的非線性系統(tǒng)，設(shè)計自適應(yīng)死區(qū)補償控制器，解決該類系統(tǒng)的輸出跟蹤問題.通過穩(wěn)定性分析，證明了系統(tǒng)所有的信號都是有界的.與現(xiàn)有結(jié)果對比，本文在部分狀態(tài)約束控制問題中，引入非線性死區(qū)特性，結(jié)合自適應(yīng)輔助信號，克服了傳統(tǒng)部分狀態(tài)約束控制中難以補償死區(qū)的難點.最后，數(shù)值仿真結(jié)果驗證了所提方法的有效性.

1 問題描述

考慮如下嚴(yán)格反饋單輸入單輸出系統(tǒng)

在此仿真中，初值選取為x 1（0）=0.2，x 2（0）=0.15.相關(guān)設(shè)計參數(shù)為μ 1=10，μ 2=20，γ=0.5，k 1=2.2，k b 1 =2.

圖1—4為仿真結(jié)果.圖1為系統(tǒng)的跟蹤曲線，很顯然，系統(tǒng)的輸出能跟蹤上參考信號，并且保證系統(tǒng)的第一個狀態(tài) x 1在其給定的約束界以內(nèi).圖2給出了η 2的軌跡，表明η 2 是有界的.另外，圖3給出的是控制器的圖象.圖4描繪的是本仿真中的相位圖.通過圖1—4，可以看出這些信號都是有界的.

4 結(jié)論

本文提出了基于障礙李雅普諾夫函數(shù)方法的非線性單輸入單輸出系統(tǒng)的自適應(yīng)部分狀態(tài)約束控制器，并對非對稱死區(qū)設(shè)計了補償控制策略，有效解決了該類系統(tǒng)的輸出跟蹤問題.根據(jù)障礙李雅普諾夫反步法，通過穩(wěn)定性分析，證明了閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)所有信號都是有界的.該方法建立了下三角結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的部分狀態(tài)約束控制方案，實現(xiàn)了該類系統(tǒng)的死區(qū)補償控制.最后，通過仿真算例驗證了本文所提方法的有效性.

參考文獻(xiàn)

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Barrier Lyapunov function based compensation control for a

class of nonlinear systems with dead zone

LIU Lei 1

1 College of Science，Liaoning University of Technology，Jinzhou 121001

Abstract? An adaptive controller design for a class of nonlinear single-input single-output systems with partial state constraints is presented in this paper.The approach adopted is to consider the asymmetric dead zone of the non-linear systemsand employ the barrier Lyapunov function（BLF） to prevent partial states from transgressing the constraints.Using a BLF-based backstepping technique，a good tracking performance is obtained and the non-linearity of the dead zone is addressed.For the triangular system，an adaptive controller is designed.It is shown that all the signals in the resulting closed-loop system are bounded，and the system output can track the reference signal.The simulation results show the effectiveness of the proposed method.

Key words? constrained control;barrier Lyapunov function;dead zone nonlinear input;backstepping method