楊傳岡

（鹽城市第二小學，江蘇 鹽城 224005）

一、范希爾理論概述

在學生學習圖形與幾何的研究中，范希爾的幾何思維水平體系是最有影響的理論之一。[1]

1.幾何思維水平理論

荷蘭著名學者范希爾的幾何思維水平理論核心內容有兩個：一是幾何思維水平分的五個層次,二是與之相對應的五個教學階段。其中幾何思維的五個水平由低到高分別表示為層次0到層次4。具體地說，層次0是視覺（visuality）水平，學生只能借助圖像獲得一些基本概念，但無法厘清概念之間的相互關系；層次1是分析(analysis)水平，學生能根據(jù)概念解決簡單問題，了解一些幾何概念間的相互關系以及公式間的聯(lián)系，能結合圖形獲得一些結論；層次2是非形式化的演繹（informaldeduction）水平，學生能從不同角度理解概念的意義，能根據(jù)圖形或其他輔助材料進行推理和理解，從而發(fā)現(xiàn)并描述一些規(guī)律；層次3是形式化的演繹（formaldeduction）水平，學生能借助概念和性質進行推理和論證；層次4是嚴密性(rigor)的數(shù)學水平，學生能在數(shù)學知識系統(tǒng)中進行嚴密推理。他認為根據(jù)這五個層次標準可以診斷和評價學生的幾何思維水平。

2.五個教學階段理論

對應幾何和思維的五個水平，范希爾提出了五個教學階段：階段1，學前咨詢；階段2，引導定向；階段3，闡明；階段4，自由定向；階段5，整合。該理論認為，在第五個階段結束時，新的思維水平就獲得了。具體地說：階段1，教師和學生進行雙向交談，教師了解學生如何理解指導語，并且?guī)椭鷮W生理解要學習的課題；階段2，教師仔細安排活動順序，使學生認識學習的方向，逐漸熟悉這一結構的特性；階段3，通過前面的經驗和教師最低程度的提示，學生明確了學習內容的意義，表達自己對內在結構的看法，開始形成學習的關系系統(tǒng)；階段4，學生碰到多步作業(yè)或能用不同方式完成作業(yè)，在尋找方法和解決問題的過程中，學生獲得了經驗，通過自己確定學習領域的方向，他們對學習對象之間的關系越來越明確；階段5，學生回顧自己所用的方法并形成一種觀點，對象和關系被統(tǒng)一并內化為一個新的思維領域。教師對學生的理解做一個全面評述，幫助學生完成這一過程，而不要輕易提出新的或不一致的觀點。

3.幾何思維水平特點

范希爾理論認為學生的幾何思維水平特點有：（1）次序性，學生的幾何思維水平必須循序漸進地發(fā)展；（2）進階性，學生提升幾何思維水平必須經過教師的教學，而不是隨著年齡增長或心理成熟自然提升的；（3）內隱性及外顯性，學生某個思維水平的內隱性質會成為下個水平的外顯性質；（4）語言性，每個層次都有專門的階段性語言符號；（5）適配性，如果學生思維和教師教學不在同一水平，教師就無法獲得預期的教學效果；（6）跳躍性，學生的思維水平是一個“跳躍”的過程，而不是一個連續(xù)性過程。

二、范希爾理論具體運用

范希爾理論在幾何評價上的應用主要包括兩個方面：一是在每個思維水平上設計出相應的測試題；二是利用編制好的習題考查學生的思維水平。從這個意義上來說，范希爾理論是評測學生具體幾何思維水平的一項重要工具，教師可以借助范希爾理論評價小學生幾何開放題問題解決過程中所呈現(xiàn)出的思維水平。

所謂數(shù)學開放題，就是“條件開放或結論開放的問題。也就是說，問題的條件和結論之間不存在充分必然的聯(lián)系，這樣的問題稱為數(shù)學開放題”。根據(jù)命題要素，數(shù)學開放題包括“條件開放題、策略開放題、結論開放題和綜合開放題”[2]。教師恰當應用范希爾理論評價小學生的幾何思維學習水平，能有效改進“圖形與幾何”領域的教學，更合理地推動學生幾何思維水平發(fā)展。

1.條件開放題中范希爾理論的思維評價

條件開放題就是有多余條件或條件不全的幾何開放題。條件開放題需要學生通過觀察、分析和聯(lián)想等方法處理題目所提供的信息，梳理、歸并、分析有用信息，及時發(fā)現(xiàn)干擾信息或欠缺信息，從而排除干擾或補全條件解決問題。

所謂條件不全型開放題，就是少條件的幾何開放題。這種開放題因為缺條件，所以需要學生自主補充條件才能順利解決。從學生根據(jù)問題情境所補充的不同條件，可以推斷該生幾何思維水平所處的具體層次。

【案例1】一個長方體的長6厘米，寬4厘米，高1厘米，（ ）它的表面積增加多少平方厘米？

層次0：學生認識長方體，但不知道怎樣才能增加長方體的表面積，無法補充條件。

層次1：補充問題“把長方體切開”。（學生能想到把長方體切開后表面積會增加，但根據(jù)補充的信息無法計算結果。）

層次2：補充問題“把長方體切成2個相同的小長方體”。（學生對長方體圖形特征比較熟悉，想到切開長方體后表面積會增加，能根據(jù)信息按橫切、豎切、縱切進行簡單計算。）

層次3：補充問題“把長方體切成3個相同的小長方體”。（多切下一個小長方體，表面積增加更多，計算面積的方法復雜些，思維水平也高些。）

層次4：補充問題“把長方體切成4個(或6個、8個……）相同的小長方體”。（學生知道把長方體橫著切開、豎著切開或縱著切開后，表面積都會增加，并能按照橫切、豎切、縱切和既橫切又豎切等不同情況分別計算增加的面積，思維無疑復雜多了，層次也更高。）

幾何條件多余型開放題就是問題中條件太多，需要學生根據(jù)問題靈活選擇合適條件解決問題。這種開放題能有效評價學生的判斷能力、選擇能力和解決問題的能力。

【案例2】桌上有四種規(guī)格的長方形、正方形硬紙片各若干張：（1）長6厘米，寬4厘米；（2）長6厘米，寬5厘米；（3）長5厘米，寬4厘米；（4）邊長4厘米。如果要從中選6張硬紙片粘貼成一個長方體或正方體，可以怎樣選？紙盒的表面積是多少平方厘米？（粘貼處材料忽略不計）

層次0：認識長方體和正方體，知道這些硬紙片能粘貼成長方體或正方體，但不知道怎么選，更不知道具體的粘貼方法。

層次1：能根據(jù)正方體特征選擇6張邊長4厘米的正方形紙片，粘貼成正方體，并能根據(jù)信息進行簡單計算。（6張正方形紙片相對容易選擇，正方體表面積也容易計算。）

層次2：能根據(jù)長方體特征選擇6張長方形紙片，6張分成3組，每組2張相同的硬紙片，粘貼成長方體，并用不同方法計算出它們的表面積。（選擇長方形要根據(jù)長方體特征選擇，計算表面積也有不同方法，思維水平稍微復雜些。）

層次3：能根據(jù)長方體特征選擇2張正方形紙片和4張長5厘米、寬4厘米（或4張長6厘米、寬4厘米）的長方形紙片，粘貼成長方體，并用不同方法計算出它們的表面積。（這兩種長方體都有2個相對面是正方形，選擇時要保證長方形和正方形匹配；計算表面積時，不同的計算方法能體現(xiàn)學生不同的思維水平。）

層次4：能靈活選擇6張紙片，把各種情況都考慮全面，并能用不同方法計算出它們的表面積：（1）12條棱分3組，每組4條棱相等的長方體，即2張長6厘米、寬4厘米的長方形紙片，2張長6厘米、寬5厘米的長方形紙片和2張長5厘米、寬4厘米的長方形紙片；（2）12條棱中有8條棱相等，即4張長6厘米、寬4厘米的長方形紙片，2張邊長4厘米的正方形紙片或4張長5厘米寬4厘米的長方形紙片和2張邊長4厘米的正方形紙片；（3）12條棱都相等，即6張邊長4厘米的正方形紙片。（能分類選出各種符合要求的紙片，能計算甚至用最優(yōu)化方法計算表面積，無疑代表了小學生最高的思維水平。）

2.結論開放題中范希爾理論的思維評價

結論開放題就是條件全，學生根據(jù)習題信息獲得不同結論的幾何開放題，也就是結論不確定的數(shù)學問題。用結論開放題評價學生的思維，能有效區(qū)分他們的觀察、比較、分析、綜合、猜想、歸納或類比等思維水平，從而評判學生思維的深度和廣度，思維的發(fā)散和聚斂。

【案例3】拿一個正方體紙盒，沿著一些棱剪開，它的展開圖是怎樣的？

層次0：學生認識正方體，但對一個正方體紙盒的棱按照什么樣的次序順序剪開無從下手，也就無法看到最終的表面展開圖。

層次1：學生根據(jù)正方體特征沿棱剪開，獲得“141”型展開圖（第一排一個正方形，第二排四個正方形，第三排一個正方形，其中第一和第三排的正方形位置可以任意調整，參見圖1）中的一個或幾個。（這種類型的展開圖比較多，是學生最容易剪開后看到的展開圖，有的看似不屬于某類型，但旋轉一下就是其中的一種了。）

圖1

層次2：學生根據(jù)正方體特征沿棱剪開，不但能獲得“141”型展開圖，而且能獲得“231”型展開圖中的一種或幾種（第一排兩個，第二排三個，第三排一個，其中第三排的一個正方形位置可以調整，參見圖2）。（這種展開圖相對多些，也是學生剪開后容易看到的。）

圖2

層次3：學生根據(jù)正方體特征沿棱剪開，不但能獲得“141”型展開圖，而且能獲得“231”型展開圖，還能獲得“222”型（每排都是兩個正方形，但它們的位置錯開，參見圖3）展開圖。（“222”型展開圖是學生剪開后很少看到的，代表了學生的較高思維水平。）

層次4：學生根據(jù)正方體特征沿棱剪開，除了能獲得“141”“231”和“222”型展開圖，還能獲得“33”型（兩排都是三個正方形，但位置錯開，參見圖4）展開圖。（這種展開圖是學生剪開后幾乎看不到的，代表了學生思維的最高水平。）

圖3

圖4

3.策略開放題中范希爾理論的思維評價

策略開放題就是從不同角度思考同一個問題，用不同策略解決問題，結果殊途同歸的幾何開放題。解決策略開放題時，學生要變換思維角度，用不同策略解決問題。這類問題解決過程有利于評價學生思維的廣闊性、靈活性、深刻性和創(chuàng)造性。

【案例4】王大爺要用16根1米長的柵欄靠墻圍一塊長方形菜地。他可以怎樣圍？

層次0：認識長方形，知道長方形特征，但無法按要求圍出長方形。

層次1：知道長方形特征，能用擺小棒的策略圍出長方形中的一種或幾種。（操作最容易，也是學生最喜歡的策略。）

層次2：知道長方形特征，能用畫圖策略畫出圖5長方形中的一種或幾種。（畫圖相對操作而言，比較抽象，說明學生思維水平的提高。）

圖5

層次3：知道長方形特征，能用列表策略解決問題（如表1）。（列舉相對畫圖抽象程度更高，而且長和寬是相對而言的，需要學生厘清長方形兩條邊的關系，并且有序列舉。）

表1

層次四：知道長方形特征，能用一一列舉的策略找出符合要求的長方形的長和寬：1,14；2,12；3,10；4,8；5,6；6,4或7,2。（一一列舉更抽象，需要學生有序，不重復，不遺漏。）

4.綜合開放題的范希爾理論評價

綜合開放題就是學生根據(jù)問題情境，靈活應用數(shù)學學科知識或其他學科知識解決問題的幾何開放題。這種開放題不受單一知識的束縛，需要學生根據(jù)已有知識經驗、生活經驗和數(shù)學活動經驗等綜合應用所學過的知識和形成的技能發(fā)現(xiàn)解決問題的最佳途徑。應用范希爾理論有助于評價學生全面考慮問題、綜合應用知識的思維水平。

【案例5】如何測量一團橡皮泥的體積？

層次0：知道體積的意義，知道橡皮泥有體積，但不知道如何進行測量。

層次1：知道橡皮泥有體積，能把橡皮泥壓成長方體或正方體，然后測出長、寬、高或棱長，并根據(jù)體積公式計算出體積。（一團橡皮泥是不規(guī)則物體。壓成長方體或正方體是把不規(guī)則物體轉化成規(guī)則物體的體積進行測量和計算，屬于常規(guī)思維。）

層次2：在量杯中倒入一些水（保證橡皮泥放進被淹沒）后，記下水面的刻度，然后把橡皮泥放進量杯（水不溢出），看水面升高后的刻度，根據(jù)兩次水面的刻度差計算橡皮泥的體積。（水不放滿，把橡皮泥放入水中，計算水面升高部分的體積體現(xiàn)了學生的正向思維。）

層次3：把橡皮泥放進一個量杯中，然后倒入一些水，當水正好淹沒橡皮泥就停止倒水，記下水面的刻度，然后取出橡皮泥，記錄下水面下降后的刻度，先算出兩次水面的刻度差再根據(jù)圓柱體積計算公式算出下降水的體積，也就是橡皮泥的體積。（水不放滿，把橡皮泥從水中取出，計算水面下降部分的體積，展現(xiàn)了學生較好的逆向思維。）

層次4：先在一個水槽中放一個玻璃杯，接著在玻璃杯中倒?jié)M水，然后把橡皮泥放入玻璃杯中，水會溢出，最后把溢出的水倒入量杯中，就得到水的體積，也就是橡皮泥的體積。（把橡皮泥的體積轉化為溢出水的體積，展現(xiàn)了小學生的最高思維水平。）

三、范希爾理論運用反思

1.借力打力，改進教學設計

大衛(wèi)·奧蘇貝爾（DavidAusubel）曾說：“如果我不得不把教育心理學的所有內容提煉成一條原理的話，我會說‘影響學生學習的唯一最重要的因素是學習者已經知道了什么。要先探明這一點，然后再進行相應的教學?！睆倪@個意義上來說，教師編制幾何開放題，并采用范希爾理論進行評測，可以了解小學生思維發(fā)展的現(xiàn)狀、小組學生之間的差異、班級學生整體的思維水準，但這種測驗結果往往受編制的開放題的難度、教師使用的時機等外在因素的影響。為了準確了解同年齡小學生的幾何思維發(fā)展水平，我們可以在平行班級開展同步評測，也可從更大的空間維度上展開不同層次學校相同年段學生的思維評測，以確定一個合情、合理、合度的基準評價，并與文獻資料比對做出適當?shù)卣{適，力求與本校、本班學生實際相吻合。

與此同時，教師要積極展開基于基準評價的幾何開放題的研發(fā)，以更貼切的幾何開放題滿足學生的學習需求，助力學生幾何思維發(fā)展水平向更高階邁進，促進學生心智發(fā)展。我們必須時刻清醒地認識到，評測只是輔助教學的一種手段，其核心要義旨在幫助教師了解學生之間的差異性，從而確定更加科學、合理的方案以應對他們個性化的學習需求，從而幫助他們更好地學習數(shù)學、更好地發(fā)展幾何思維水平。

2.關注“學力”，培育核心素養(yǎng)

盡管新課程改革已歷時十幾年，但一些傳統(tǒng)觀念在人們的心目中還是根深蒂固，“教學中，學校和教師常常因‘應試學力’的成就而忽略了‘真實學力’的追求。應該明確一點，學習主權者的‘真實學力’是一種發(fā)展性‘學力’。”[3]數(shù)學開放題引入小學數(shù)學學習，就在于試圖嘗試改變人們的這一觀念，讓更多的教師從起始年級起就關注學生的數(shù)學“學力”。

教師在幾何教學中必須注重“培養(yǎng)學生抽象的幾何思維能力、想象圖形運動位置的能力，針對抽象事物及運動的規(guī)律建立空間幾何概念。要求學生能應用抽象的符號和標準的幾何圖形來表示幾何事物，能夠在分析幾何問題時應用數(shù)學思維。”[4]顯然，空間與幾何知識對小學生的“學力”是有一定挑戰(zhàn)力的，幾何開放題的挑戰(zhàn)尤甚。波利亞曾說過，學習任何知識的最近途徑就是讓學生自主發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深刻，也最容易掌握其中的內在規(guī)律、性質和聯(lián)系。從這個意義上來說，學生學習活動中，教師應該提供更為豐富的實物給小學生觀察、操作、實驗，讓學生經歷點動成線、線動成面、面動成體的發(fā)展變化過程，并適時從具象向抽象轉化，發(fā)展學生的邏輯思維能力和空間思維能力，在幾何開放題問題解決的過程中，養(yǎng)成靜思默想、畫圖嘗試、協(xié)作互動的習慣，從“不會”到“會”，從“不能”到“能”的轉化，實現(xiàn)品格塑造、知識獲得、思想領悟、經驗積累、技能形成，進而培塑良好的“學力”。

3.關注差異，實施重點關懷

教學經驗表明，不同學生對難點知識所表現(xiàn)出來的學習態(tài)度和思維品質各不相同。特別是在學習過程中，由于與生俱來的差異及后期形成的學習習慣、思維方式差異以及教師對“學會”的過度關注，往往直接拉開學生之間學習能力、學習成效的差異。這也是傳統(tǒng)數(shù)學教學問題結構單一、評價方式單一造成學困生數(shù)量趨多且低齡化傾向的一個重要原因。

開放題學習的主要價值取向就是給更多的孩子增加成功解決數(shù)學問題的可能性，享受數(shù)學學習幸福感、成功感，感悟數(shù)學魅力，獲得良好的數(shù)學教育。

教師在基于數(shù)學開放題的教學過程中，可采用“同質分組”形式，給予特定學生群體以整體關照，一是使教師對優(yōu)等生的精準定向點撥支持成為可能，二是使教師對于后進生、中等生群體學習的直接支持成為可能。教師在課堂上對學生的持續(xù)關注，能準確把脈學生的學習軌跡，了解學生當前使用的學習策略以及參與學習的意愿和準備情況，及時調整學習計劃，縮小學生對當前知識和理解與目標知識和理解之間的差距。[5]在學習過程中，當學生認識模糊時、理解膚淺時、思考無向時、迷茫無助時，教師能緊緊抓住誘發(fā)學生深入思考、讓學習真正發(fā)生的“施力點”（一條輔助線、一句點撥或一個關聯(lián)舊知），四兩撥千斤，令學生腦洞大開，幫助學生打開思維的閥門。

4.教測結合，實現(xiàn)精準提升

引入范希爾理論對學生學習數(shù)學幾何開放題進行評測，主要目的是基于對學生數(shù)學學習個性特征的了解與梳理，對于個體學習特質的掌握與界定，對于個人學習能力的指導與幫助，教學的成效不僅取決于讓學生的學習真正發(fā)生，還在于給學生提供恰當?shù)膶W習內容，讓學生始終保持積極的學習狀態(tài)，幫助學生從表層學習層級跨入深層學習層級，以到達不經思考就能去做的“過度學習”層級。教師充分發(fā)揮在學習過程中的跟蹤、指導職能，發(fā)揮教師作為導師的核心價值，為學生精準提供學材，弘揚個性教育。

如果離開評測，教師就會迷失教學方向，不得其法，事倍功半。基于這樣的認識，教師在開放題教學中應成為教學內容的學習者，學生成為學習內容的教學者。教師作為學習者，更側重于事先對教學內容的精準分析、預測可能的學情及學生學習過程中可能遇到的障礙與困難、學生思維的可能之處，并在學生學習過程中細致觀察，及時運用教學理論分析學生的思維層次，并在可能的情況下，在學生學疑之處、學困之處、學難之處予以精準指導和幫扶，讓學生感受幾何的魅力，感受圖形的變幻，從而愛上幾何、愛上數(shù)學，并樂于積極思考，探索未知。

總之，應用范希爾理論對學生的幾何開放題學習情況進行評價，不但能評價學生的學習過程和學習方法，而且能評價學生的數(shù)學思維層次。五種思維水平由低到高的排序清楚說明學生的不同學習過程和不同學習方法的結果差異，從而有效幫助教師判斷小學生所能達到的幾何思維結構層次，相對容易地實現(xiàn)對小學生思維發(fā)展質性影響的量的刻畫，既體現(xiàn)了新課程標準的理念，又為培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識提供了廣闊的空間。[6]

參考文獻：

[1]鮑建生.數(shù)學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2]何光峰.數(shù)學開放題及其教學的研究綜述[J].數(shù)學通報，2001（5）：1-4.

[3]佐藤學.課程與教師[M].鐘啟泉，譯.上海：華東師范大學出版社，2007：30.

[4]教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京:北京師范大學出版社，2012.

[5]約翰·哈蒂.可見的學習——最大程度地促進學習[M].金鶯蓮，洪超，裴新宇，譯.北京：教育科學出版社，2015：43.

[6]楊傳岡，李海東.基于SOLO分類的小學數(shù)學開放題學習思維評價[J].中小學教師培訓，2016（11）：41-45.