徐峰祥， 武昆迎， 張 鎖， 高國有

(1. 武漢理工大學(xué) 現(xiàn)代汽車零部件技術(shù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430070；2. 武漢理工大學(xué) 汽車零部件技術(shù)湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢 430070；3. 中國汽車技術(shù)研究中心，天津 300300)

目前，由于汽車工業(yè)對(duì)車身輕量化的要求越來越高，因此需要充分利用材料組合以達(dá)到最合理的性能.拼焊板技術(shù)可以將材料等級(jí)和厚度屬性等進(jìn)行靈活匹配[1-3].

為了達(dá)到車身性能要求，必須以車身拼焊板結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中特定性能為開發(fā)目標(biāo)，對(duì)具體典型目標(biāo)的車身拼焊板結(jié)構(gòu)進(jìn)行性能定制設(shè)計(jì).針對(duì)此思路，部分學(xué)者對(duì)拼焊板零件的設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究[4-5].Zhu等[6]和Pan等[7]研究了拼焊板車門和B柱的安全性優(yōu)化設(shè)計(jì)，Xu等[8-9]研究了不同組合下拼焊板結(jié)構(gòu)的壓潰和彎曲性能，段永川等[10]建立了拼焊板V形回彈解析預(yù)測(cè)模型并成功應(yīng)用于自由彎曲成形過程.上述研究驗(yàn)證了拼焊板結(jié)構(gòu)在吸能以及成形性方面的優(yōu)越性.除此以外，車身性能如剛度也需滿足結(jié)構(gòu)要求[11].其中，車門系統(tǒng)作為汽車車身側(cè)圍結(jié)構(gòu)中主要的相對(duì)獨(dú)立的部件總成，其剛度特性需滿足特別的要求[12-13].

對(duì)于拼焊板車門結(jié)構(gòu)來說，在給定材料等級(jí)和厚度的前提下，焊縫位置布局是否合理對(duì)剛度性能有著至關(guān)重要的作用，所以需根據(jù)剛度性能要求對(duì)拼焊板車門的焊縫布局進(jìn)行合理設(shè)計(jì).該問題從本質(zhì)上來講是在材料等級(jí)或者厚度給定的情況下，重新分布每種材料等級(jí)或者每種厚度所占有的區(qū)域，各區(qū)域間的分界線自然就可以認(rèn)為是焊縫的位置，進(jìn)而使得拼焊板性能達(dá)到最優(yōu)，是一種拓?fù)湫袨?

一般的拓?fù)鋬?yōu)化方法所應(yīng)用的對(duì)象是由不同彈性模量材料組成的結(jié)構(gòu)，這對(duì)于實(shí)施拓?fù)洳呗允怯欣?，因?yàn)閱挝粍偠染仃嚺c彈性模量成線性相關(guān)[14-15].然而，若研究對(duì)象是由不同厚度的母板拼焊而成的結(jié)構(gòu)，情況會(huì)有所不同.對(duì)于不同的力學(xué)問題單位剛度矩陣與厚度之間的關(guān)系是不同的，所以在對(duì)各厚度區(qū)域進(jìn)行重新分布(分塊)或者對(duì)焊縫位置重新布局時(shí)，需要升級(jí)原始算法并重新進(jìn)行針對(duì)厚度的插值函數(shù)構(gòu)造及靈敏度分析.

本文采用雙向漸進(jìn)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)來實(shí)施多剛度性能要求下的拼焊板車門內(nèi)板結(jié)構(gòu)的焊縫布局.將傳統(tǒng)的僅針對(duì)彈性模量的插值函數(shù)轉(zhuǎn)換為基于厚度函數(shù)的插值模型，根據(jù)不同的剛度工況要求推導(dǎo)出相應(yīng)的靈敏度計(jì)算公式，并提出了拼焊板車門結(jié)構(gòu)焊縫布局設(shè)計(jì)方法.

1 問題的提出

對(duì)于實(shí)際的拼焊板結(jié)構(gòu)，除了由不同等級(jí)材料拼焊而成以外，還可由不同厚度的部件組成，這時(shí)就需要確定不同厚度區(qū)域的分界線，即焊縫的位置，也就是厚度區(qū)域的重新合理分布.在給定的載荷條件下使拼焊板結(jié)構(gòu)具有最大的總體剛度，以便在拼焊之前指導(dǎo)焊接過程(見圖1).

圖1 多厚度拼焊板結(jié)構(gòu)的連續(xù)激光焊接過程示意圖

在拼焊板結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化中，需要用結(jié)構(gòu)最小柔順性或平均柔度指標(biāo)作為目標(biāo)響應(yīng).優(yōu)化問題是對(duì)不同厚度區(qū)域進(jìn)行重新布局，或者在給定的設(shè)計(jì)空間內(nèi)尋求最優(yōu)的厚度分布，不同厚度區(qū)域的交界線自然而然就是確定的最優(yōu)焊縫位置.多厚度拼焊板結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法的數(shù)學(xué)模型與一般拓?fù)鋬?yōu)化問題相同，即采用代表拼焊板結(jié)構(gòu)總應(yīng)變能或平均柔度作為目標(biāo)函數(shù)，如下所示：

j=1,2,…,n-1

(1)

拓?fù)鋬?yōu)化問題中將有限元模型設(shè)計(jì)空間內(nèi)每個(gè)單元的“單元密度”(xij)作為設(shè)計(jì)變量，在優(yōu)化迭代過程中改變單元密度并將其與剛度矩陣耦合.在數(shù)值實(shí)施過程中，數(shù)字0 用xmin(如0.001)來代替以避免數(shù)值不穩(wěn)定.拼焊板結(jié)構(gòu)的每個(gè)單元厚度值選擇的原則是：若優(yōu)化求解后目標(biāo)單元的單元密度值為1，則表示該單元位置處的厚度屬性比較重要；相反，若單元密度值為xmin或者比較靠近xmin，則說明該單元位置處的厚度不是特別重要，需要賦予較小的厚度值.前者(較大厚度值)的單元保留，后者的單元厚度值較小，這樣就能達(dá)到材料高效利用的目的，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)拼焊板結(jié)構(gòu)輕量化和性能設(shè)計(jì)最優(yōu)化之間的最佳平衡.

2 車門剛度性能及模型描述

選擇車身側(cè)圍結(jié)構(gòu)的左前車門系統(tǒng)作為研究對(duì)象，考慮到車門內(nèi)板在保持系統(tǒng)剛度等靜態(tài)特性中發(fā)揮著主要作用，因此將車門內(nèi)板作為拓?fù)鋬?yōu)化的研究對(duì)象，目的在于設(shè)計(jì)所有載荷情況下具有最小平均柔度(或者最大剛度)的車門系統(tǒng).在每種載荷情況下，通過施加載荷處的位移或者撓度來評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)的剛度.通過商業(yè)有限元軟件ABAQUS進(jìn)行數(shù)值建模，該模型定義了殼單元、單元屬性、材料屬性、載荷和邊界條件等.本文考慮的載荷工況條件為下垂剛度、上扭轉(zhuǎn)剛度和下扭轉(zhuǎn)剛度，有限元模型如圖2所示.

a下垂剛度b上扭轉(zhuǎn)剛度c下扭轉(zhuǎn)剛度

圖2車門不同剛度的載荷和邊界條件

Fig.2Forceandboundaryconditionsofdoorwithdifferentstiffnesses

車門系統(tǒng)不同剛度性能目標(biāo)所對(duì)應(yīng)的載荷工況是不同的.對(duì)于下垂剛度，鉸鏈處(點(diǎn)P1和P2)的6個(gè)自由度被約束，且門把手處(點(diǎn)P3)的水平位移即x和y方向上的位移被約束并在z方向施加F1=800 N的載荷；對(duì)于上扭轉(zhuǎn)剛度和下扭轉(zhuǎn)剛度，鉸鏈處被完全固定，門把手處除了旋轉(zhuǎn)以外的自由度被約束，2種載荷(F2=F3=200 N)沿著y方向被施加于車門內(nèi)板的上下位置(點(diǎn)P4和P5).

可將上述3種剛度工況抽象為2種典型的力學(xué)問題.由于載荷主要集中在板內(nèi)，所以下垂剛度情況為平面應(yīng)力問題，上扭轉(zhuǎn)剛度和下扭轉(zhuǎn)剛度為彎曲問題.然后，這3種工況的單位剛度矩陣與厚度之間的關(guān)系是不同的，前者是一次方關(guān)系，后者是三次方關(guān)系，目前的算法還不能有效解決.本文將上述拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)進(jìn)行有效升級(jí)和拓展，然后對(duì)多厚度拼焊板車門在多剛度工況條件下的焊縫位置進(jìn)行合理布置，進(jìn)而使得拼焊板車門性能達(dá)到最優(yōu).

3 插值函數(shù)及靈敏度分析

3.1 插值函數(shù)的構(gòu)造

一般的拓?fù)鋬?yōu)化方法是直接由2種或者多種材料的彈性模量插值函數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，即中間或者相鄰材料的彈性模量被定義為單元密度函數(shù)，如下所示：

(2)

式中：p為罰指數(shù)，p足夠大時(shí)，對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果幾乎沒有影響[16]，一般其值取為3；E為彈性模量.

(3)

式中：Ki,j和Ki,j+1分別是由彈性模量Ej和Ej+1計(jì)算得到的第i個(gè)單元的剛度矩陣.

需要指出的是，之所以給出式(3)，是因?yàn)閷?duì)于本文所研究的多厚度拼焊板結(jié)構(gòu)焊縫布局設(shè)計(jì)方法，單元?jiǎng)偠染仃嚺c厚度呈現(xiàn)不同的函數(shù)關(guān)系，不能給出統(tǒng)一的插值函數(shù)，而是需要進(jìn)行一定的變換.

由有限元知識(shí)可知，對(duì)于任何力學(xué)問題，單元?jiǎng)偠染仃嚳梢越y(tǒng)一表達(dá)為

(4)

式中：E和B分別為材料矩陣和應(yīng)變位移矩陣；Ω為設(shè)計(jì)區(qū)域.對(duì)于平面應(yīng)力問題和平板彎曲問題，厚度t的函數(shù)

(5)

為了清楚地表達(dá)，本文直接對(duì)中間厚度的函數(shù)進(jìn)行插值，如下所示：

(6)

這樣單元?jiǎng)偠染仃?/p>

(7)

與式(3)不同的是，在式(7)中Ki,j和Ki,j+1分別是由厚度Tj和Tj+1計(jì)算得到的第i個(gè)單元的剛度矩陣.

3.2 靈敏度分析

當(dāng)拼焊板結(jié)構(gòu)厚度屬性發(fā)生變化時(shí)，其結(jié)構(gòu)平均柔度也會(huì)隨之發(fā)生變化.靈敏度用來分析和表達(dá)結(jié)構(gòu)參數(shù)變化與響應(yīng)變化之間的關(guān)系，靈敏度系數(shù)可以表達(dá)為拼焊板結(jié)構(gòu)響應(yīng)對(duì)相應(yīng)參數(shù)的梯度信息.

在有限元分析中，靜態(tài)結(jié)構(gòu)平衡方程為

Ku=f

(8)

當(dāng)拼焊板車門結(jié)構(gòu)給定載荷時(shí)，結(jié)合式(1)，目標(biāo)函數(shù)即平均柔度C的靈敏度可以通過對(duì)設(shè)計(jì)變量xij進(jìn)行微分得到，如下所示：

(9)

為了確定位移向量的靈敏度，需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)引入Lagrangian乘子向量λ，這樣目標(biāo)函數(shù)被修正為

(10)

修正后的目標(biāo)函數(shù)靈敏度

(11)

由于平衡方程的存在，式(11)中等號(hào)右邊的第3項(xiàng)就變?yōu)榱?假設(shè)一個(gè)單元密度的變化對(duì)施加的載荷向量沒有影響，這樣目標(biāo)函數(shù)靈敏度

(12)

(13)

再次結(jié)合平衡方程，式(13)可以進(jìn)一步表達(dá)為

(14)

將式(14)代入式(12)，可得目標(biāo)函數(shù)的微分方程為

(15)

如果對(duì)n種厚度進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計(jì)，通過插值函數(shù)式(7)，可得單元靈敏度

(16)

這樣，針對(duì)不同的力學(xué)問題，靈敏度可以統(tǒng)一顯式表達(dá)為

(17)

作為一種特殊和簡單的算例，對(duì)于2種厚度t1和t2的拼焊板結(jié)構(gòu)，單元靈敏度可以簡化為

(18)

將每個(gè)節(jié)點(diǎn)周圍的單元靈敏度取平均值，進(jìn)而得到節(jié)點(diǎn)靈敏度，如下所示：

(19)

(20)

式中：rij為第j個(gè)節(jié)點(diǎn)與第i個(gè)單元中心之間的直線距離.rij在物理意義上可以理解為單元的中心越靠近節(jié)點(diǎn)，其對(duì)節(jié)點(diǎn)靈敏度的影響就會(huì)越大.

一般需把節(jié)點(diǎn)靈敏度映射到單元上，過濾器的給定是為了找出設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)與第i個(gè)單元靈敏度有關(guān)聯(lián)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)，該影響域中心就是第i個(gè)單元的中心.第i個(gè)單元的靈敏度給定為

(21)

式中：q為影響域內(nèi)節(jié)點(diǎn)的總數(shù)；ω(rij)為權(quán)重系數(shù).ω(rij)的計(jì)算公式為

ω(rij)=rmin-rij

(22)

4 拼焊板車門焊縫布局拓?fù)湓O(shè)計(jì)流程

多剛度條件下的拼焊板車門結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)其實(shí)可以視為一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，解決該問題的一個(gè)簡單方式就是通過加權(quán)柔度將多目標(biāo)轉(zhuǎn)化為具有給定權(quán)系數(shù)的單目標(biāo)問題.在拼焊板結(jié)構(gòu)焊縫布局優(yōu)化問題中，將相應(yīng)的目標(biāo)響應(yīng)看成每個(gè)子剛度工況相對(duì)應(yīng)的柔度加權(quán)之和，實(shí)際上就是一個(gè)定義在整個(gè)結(jié)構(gòu)上的全局響應(yīng).

不同厚度組成的拼焊板結(jié)構(gòu)在多剛度條件下的焊縫布局設(shè)計(jì)問題可以表示為

(23)

(24)

相似地，對(duì)于第j種厚度的第i個(gè)單元的靈敏度可以顯式表達(dá)為

(25)

車身拼焊板車門結(jié)構(gòu)在多剛度性能目標(biāo)條件下的焊縫布局具體設(shè)計(jì)流程如圖3所示.

5 設(shè)計(jì)結(jié)果與討論

5.1 簡單算例驗(yàn)證

該算例是在固支方板中心承受一集中載荷(見圖4)，以驗(yàn)證該方法在處理拼焊板結(jié)構(gòu)時(shí)的可行性.固支方板的幾何尺寸為60 mm×60 mm，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，初始厚度為1 mm，載荷p1為1 N.厚度分布情況為t1=1.0 mm、t2=0.8 mm和t3=0.5 mm，體積分?jǐn)?shù)分別為20%、30%和50%.

圖5為不同厚度區(qū)域分布的漸進(jìn)拓?fù)錃v史.可以看出，優(yōu)化后的拼焊板結(jié)構(gòu)具有明顯的對(duì)稱性.由于在中心施加的是集中載荷，最大厚度區(qū)域的大部分位于板結(jié)構(gòu)的中心附近，符合常理.從總體上來看，得到的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果驗(yàn)證了采用該方法處理多厚度拼焊板結(jié)構(gòu)的可行性，不同厚度區(qū)域得到重新分布，并能看出明顯的焊縫位置.

圖3 拼焊板車門焊縫布局拓?fù)湓O(shè)計(jì)流程

圖4 承受中心載荷的板結(jié)構(gòu)示意圖

第10次第30次第50次第70次第92次

圖5本文方法優(yōu)化迭代過程

Fig.5Optimizationiterationprocessoftheproposed

method

圖6a是平均柔度C和體積分?jǐn)?shù)φf的漸進(jìn)歷史.可以看出，拼焊板結(jié)構(gòu)的平均柔度逐漸增加，不同厚度區(qū)域的體積分?jǐn)?shù)同時(shí)不斷減小或增大，達(dá)到預(yù)設(shè)值之后，平均柔度和所有厚度的體積分?jǐn)?shù)保持穩(wěn)定并不再變化，整個(gè)迭代過程較為平順.

作為對(duì)比，這里也給出通過各向正交懲罰材料密度(SIMP)法得到的結(jié)果.為了明顯看出SIMP法優(yōu)化后的中間厚度過渡區(qū)域，將SIMP法中的最小厚度參數(shù)設(shè)置為一個(gè)較小的值(如0.125 mm)，平均柔度C和體積分?jǐn)?shù)φf的漸進(jìn)歷史以及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)漸進(jìn)歷程分別如圖6b和圖7所示.可以看出，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)會(huì)出現(xiàn)中間厚度過渡區(qū)域，不會(huì)產(chǎn)生清晰的不同厚度區(qū)域分界線，從而不能確定真實(shí)的焊縫位置布局，而這模糊的設(shè)計(jì)結(jié)果直接會(huì)給拼焊板結(jié)構(gòu)的實(shí)際制造工藝帶來很大的困難，顯示出SIMP法的局限性.與本文拓?fù)浞椒u進(jìn)歷史不同的是，SIMP法從迭代過程開始，結(jié)構(gòu)最大厚度區(qū)域的體積分?jǐn)?shù)就保持常量不變，所以在SIMP法中平均柔度逐漸減小直至滿足收斂條件，而體積分?jǐn)?shù)不會(huì)發(fā)生改變.

a 本文方法

b SIMP法

對(duì)比圖5和圖7可以看出，在給定設(shè)計(jì)空間和體積約束條件下，2種方法得到的最大厚度區(qū)域的位置或者最優(yōu)材料分布非常相似.相對(duì)于SIMP法，本文基于剛度目標(biāo)的多厚度拓?fù)鋬?yōu)化方法得出的結(jié)果更合理，材料分布更具有聚集性，并且不存在棋盤效應(yīng)和中間密度區(qū)域；不同厚度區(qū)域的分界線更加明顯，即焊縫位置清晰可見，使得優(yōu)化后的拼焊板結(jié)構(gòu)更容易解讀，能夠較好地指導(dǎo)車身拼焊板零件如車門結(jié)構(gòu)焊縫的布局設(shè)計(jì).

第2次第3次第6次第11次第20次

圖7SIMP法優(yōu)化迭代過程

Fig.7OptimizationiterationprocessofSIMPmethod

5.2 拼焊板車門焊縫布局拓?fù)湓O(shè)計(jì)結(jié)果

考慮以下2種典型工況：① 下垂剛度，t1=1.3 mm (φf1=40%),t2=0.8 mm (φf2=30%)，t3=0.5 mm (φf3=30%) ；② 上扭轉(zhuǎn)剛度和下扭轉(zhuǎn)剛度，t1=1.4 mm (φf1=50%),t2=1.0 mm (φf2=20%)，t3=0.6 mm (φf3=30%).下垂剛度所施加的載荷主要集中在板內(nèi)，所以是平面應(yīng)力問題；上扭轉(zhuǎn)剛度和下扭轉(zhuǎn)剛度的載荷垂直于板，故認(rèn)為是彎曲問題.漸進(jìn)優(yōu)化參數(shù)設(shè)定為漸進(jìn)率R=0.02，過濾半徑rmin=100 mm.對(duì)于情況②中的上扭轉(zhuǎn)剛度和下扭轉(zhuǎn)剛度權(quán)因子，需根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果或者重要程度確定.為了避免優(yōu)化拼焊板車門出現(xiàn)較大的撓度，在此取上扭轉(zhuǎn)剛度和下扭轉(zhuǎn)剛度的權(quán)因子比值為2∶1，簡單取為0.67和0.33.

圖8為拼焊板車門內(nèi)板的平均柔度和體積分?jǐn)?shù)的拓?fù)錆u進(jìn)歷史.優(yōu)化后的工況①和工況②的平均柔度分別為3 394.62 N·mm和300.12 N·mm.體積分?jǐn)?shù)的漸進(jìn)歷史表明：從厚度t1的初始設(shè)計(jì)開始，逐漸從厚度t1轉(zhuǎn)變到厚度t2，直至厚度t2達(dá)到需滿足的體積分?jǐn)?shù)；之后，厚度t2的體積分?jǐn)?shù)保持常量，厚度t3的體積分?jǐn)?shù)逐漸增加直到滿足其體積約束為止；目標(biāo)函數(shù)和各個(gè)厚度區(qū)域的體積分?jǐn)?shù)均保持穩(wěn)定收斂時(shí)，整個(gè)優(yōu)化迭代過程停止.

最優(yōu)拓?fù)鋬?yōu)化的車門內(nèi)板形狀如圖9所示.圖中不同厚度的邊界界面即焊縫位置用實(shí)線表示.可以明顯看出，在車門鉸鏈固定處具有最大的厚度值.根據(jù)該拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，可以通過激光焊接技術(shù)，將不同厚度且合適的板結(jié)構(gòu)焊接成整個(gè)零件，再?zèng)_壓成拼焊板車門內(nèi)板，最后通過電阻點(diǎn)焊等程序即可組成拼焊板車門系統(tǒng).

為了進(jìn)一步評(píng)價(jià)優(yōu)化結(jié)果，表1列出了初始設(shè)計(jì)和最優(yōu)設(shè)計(jì)數(shù)值結(jié)果之間的對(duì)比.從最大厚度t1開始進(jìn)行初始設(shè)計(jì)，之后改變厚度從t1到t2再到t3，逐漸降低總質(zhì)量.由于結(jié)構(gòu)總質(zhì)量的大幅降低(20%以上)，得到的平均柔度僅有較小幅度的增加(不到9%)，尤其是工況①，僅僅損失結(jié)構(gòu)剛度的1%，就能降低接近30%的質(zhì)量，這意味著通過本文提出的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法，能在不犧牲結(jié)構(gòu)總體剛度的前提下，使拼焊板車門結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量大幅降低，表明該設(shè)計(jì)方法在拼焊板車門輕量化設(shè)計(jì)中是有效的.

a 工況①

b 工況②

a 工況①

b 工況②

表1 優(yōu)化前后拼焊板車門內(nèi)板平均柔度和質(zhì)量對(duì)比

6 結(jié)論

(1)將傳統(tǒng)的只針對(duì)彈性模量的插值函數(shù)轉(zhuǎn)換為對(duì)厚度函數(shù)的插值模型，根據(jù)不同的剛度工況要求推導(dǎo)出相應(yīng)的靈敏度計(jì)算公式.

(2)在材料厚度和相應(yīng)體積分?jǐn)?shù)給定的情況下，不同厚度區(qū)域重新分布，分界線更加明顯，焊縫的布局位置清晰可見，優(yōu)化后的拼焊板結(jié)構(gòu)更容易解讀.

(3)優(yōu)化設(shè)計(jì)后的結(jié)構(gòu)在不削弱總體剛度的前提下質(zhì)量降低.

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