朱 玲，徐維艷，孫 紅

(江蘇科技大學(xué) 理學(xué)院, 鎮(zhèn)江 212003)

Burgers方程是一個(gè)重要的和普遍的非線性模型,在等離子物理、量子場(chǎng)論、非線性光學(xué)和通信技術(shù)等領(lǐng)域有著重要的地位和作用. Burgers方程是一個(gè)雙曲—拋物型非線性微分方程,描述物理問題的對(duì)流和耗散的綜合過程, 兼有一階波動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程的特性. 應(yīng)用有限差分方法研究Burgers方程主要分為兩大類:一是當(dāng)源項(xiàng)f=0時(shí),對(duì)Burgers方程作Cole-Holf變換,將其轉(zhuǎn)換成經(jīng)典的熱方程,再對(duì)變換后的熱方程建立有限差分格式.文獻(xiàn)[1-4]中基于Cole-Holf變換對(duì)Burgers方程建立的差分格式. 二是當(dāng)f≠0時(shí),Cole-Holf變換就失效了, 需要用其他數(shù)值格式來求解[5-10].目前,對(duì)于Burgers方程的差分格式的理論分析相對(duì)較少,特別是在L∞模下的穩(wěn)定性及收斂性分析更少. 文中對(duì)Burgers方程建立一個(gè)三層的線性化的差分格式,并給出了L∞模下嚴(yán)格的收斂性分析，考慮Burgers方程

式中，φ(x)為給定的光滑函數(shù)，且φ(0)=0,φ(1)=0.

1 記號(hào)和引理

設(shè)vh={u|u=(u0,u1,…,um),u0=um=0}是定義在Ωh上的網(wǎng)格函數(shù)空間, 對(duì)?u,v∈vh, 定義內(nèi)積和范數(shù)：

引理1[9]對(duì)任意的網(wǎng)格函數(shù)v∈Vh, 有：

引理2[9]對(duì)任意的網(wǎng)格函數(shù)v∈Vh, 有：

2 差分格式的建立

及

(4)

且存在常數(shù)c1,使得：

在點(diǎn)(xi,tk)處考慮方程式(2), 由Taylor展開,有：

1≤i≤m-1, 1≤k≤n-1

(5)

且存在c2,使得：

注意到初邊值條件,有：

(6)

(7)

略去式(4、5)中的小量項(xiàng), 對(duì)式(1～3)可建立差分格式：

對(duì)于格式中的ut(xi,0)可以利用方程式(1)和初值條件式(2)求得：

ut(xi,0)=φxx(xi)-φ(xi)φx(xi)+f(xi,0)

3 差分格式的唯一可解性和收斂性

‖ek‖∞≤C(τ2+h2) 0≤k≤n

(16)

證明: 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明此定理.

當(dāng)k=0,由式(14～15), 有：

|e0|1=0, ‖e0‖=0

因此，結(jié)論對(duì)k=0是成立的.

首先：證明u1是由式(8、11)唯一確定,且式(16)對(duì)k=1是成立的.

(1) 考慮式(8、11)的齊次方程組, 有：

于是有：

因而, 方程組(8，11)唯一確定u1.

則：

由上面的不等式可得：

(19)

應(yīng)用引理1, 得：

因此,式(16)對(duì)k=1是成立的.

其次，假設(shè)式(8～11)唯一確定uk(1≤k≤l),且式(16)對(duì)1≤k≤l是成立的. 下面將證明ul+1可由式(8～11)唯一確定且式(16)對(duì)k=l+1是成立的.

‖ek‖∞≤1, 1≤k≤l

因此,

‖uk‖∞≤‖Uk‖∞+‖ek‖∞≤1+c01≤k≤l

(20)

式(21)兩邊同時(shí)與ul+1作內(nèi)積, 得：

(23)

應(yīng)用引理2, 可得：

(24)

由Cauchy-Schwarz不等式和式(20), 有：

(25)

將式(24、25)代入式(23), 得到：

(26)

于是,ul+1由式(8～11)唯一確定.

(2) 證明式(16)對(duì)k=l+1是成立的.

式(13)與Δtek作內(nèi)積, 可得：

由引理1.2, 有：

注意到，

于是，

1≤k≤l

(27)

由Cauchy-Schwarz不等式, 引理1和式(20), 得：

和

將以上兩個(gè)不等式代入式(27), 得：

于是有：

于是，

h2)2,1≤k≤l

應(yīng)用Gronwall不等式和式(19), 得：

由上面的不等式, 可得：

|el+1|1≤c3(τ2+h2)

由引理1, 有：

因此，式(16)對(duì)k=l+1也是成立的，定理證畢.

4 數(shù)值試驗(yàn)

應(yīng)用差分格式(8～11)來計(jì)算一個(gè)例子，驗(yàn)證文中建立的差分格式的精度和有效性.

例: 設(shè)T=1,f(x,t)=e-tsin(πx)(-1+

πe-tcos(πx)+π2),且φ(x)=sin(πx),問題(1～3)有精確解u(x,t)=sin(πx)e-t.

記最大模誤差：

時(shí)間方向的收斂階定義為order1=log2(E∞(

h,2τ)/E∞(h,τ)),當(dāng)h足夠小.

空間方向的收斂階定義為order2=log2(E∞(

2h,τ)/E∞(h,τ)),當(dāng)τ足夠小.

定義order3=log2(E∞(2h,2τ)/E∞(h,τ)) 為差分格式的收斂階.

表1 當(dāng)h=1/800時(shí)，時(shí)間方向的最大模下的誤差和收斂階Table 1 Maximum norm errors and the temporalconvergence orders with h=1/800

表2 當(dāng)τ=1/1 000時(shí)，空間方向的最大模下的誤差和收斂階Table 2 Maximum norm errors and the spatialconvergence orders with τ=1/1000

表3 差分格式的最大模誤差和收斂階Table 3 Maximum norm errors andconvergence orders

從表1～3可以看出，差分格式(8～11)在時(shí)間和空間方向上的收斂階都是二階的, 與文中的理論結(jié)果相吻合.

5 結(jié)論

對(duì)Buegers方程建立了一個(gè)三層線性化的差分格式, 并應(yīng)用離散能量法和數(shù)學(xué)歸納法對(duì)所建立的差分格式的唯一可解性和在最大模意義下的收斂性給出了嚴(yán)格的理論證明, 數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證了理論結(jié)果.

參考文獻(xiàn)(References)

[ 1 ] KADALBAJOO M K, AWASTHI A. A numerical method based on Crank-Nicolson scheme for Burgers′ equation[J]. Appl Math Comput, 2006(182):1430-1442.

[ 2 ] LIAO W. An implicit fourth-order compact finite difference scheme for one-dimensional Burgers′ equation[J]. Applied Mathematics and Computation, 2008(2): 755-764. DOI:10.1016/j.amc.2008.09.037.

[ 3 ] PANDEY K, VERMA L, VERMA A K. On a finite difference scheme for Burgers′ equation[J]. Applied Mathematics and Computation, 2009(6): 2206-2214. DOI:10.1016/j.amc.2009.08.018.

[ 4 ] XIE S, LI G, YI S, et al. A compact finite difference method for solving Burgers′ equation[J]. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 2010, 62(7):747-764.

[ 5 ] 郭本瑜. Burgers方程的數(shù)值解(Ⅰ)[J]. 高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 1982(2):51-66.

GUO B. Numerical solution of Burgers equation (I)[J]. Numerical Mathematis A Journal of Chinese Universities,1982(2):51-66.(in Chinese)

[ 6 ] SARI M, GüRARSLAN G. A sixth-order compact finite difference scheme to the numerical solutions of Burgers′ equation[J]. Applied Mathematics and Computation, 2009(2): 475-483. DOI:10.1016/j.amc.2008.12.012.

[ 7 ] 田強(qiáng), 趙國(guó)忠. Burgers方程的指數(shù)型差分格式[J]. 內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2009, 40(1): 37-41.

TIANG Q, ZHAO G. Exponential finite difference scheme for Burgers equation[J]. Journal of Inner Mongolia University(Natural Science Edition),2009,40:37-41.(in Chinese)

[ 8 ] 謝煥田. Burgers方程差分解的收斂性與穩(wěn)定性[J]. 高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)A輯, 2012, 27(1): 57-62.

XIE H T. Finite difference schemes for Burgers′ equation[J]. Appled Mathematics A Journal Chinese Universities,2012,27(1):57-62.(in Chinese)

[ 9 ] 孫志忠, 偏微分方程數(shù)值解法[M].2版.北京：科學(xué)出版社, 2012.

[10] REFIK B A. Numerical solution for one-dimensional Burgers′ equation using a fully implicit finite-difference method[J]. Int J Appl Math, 1999(8): 897-909.

[11] SUN H, SUN Z Z. On two linearized difference schemes for Burgers′ equation[J]. International Journal of Computer Mathematics, 2015, 92(6):1160-1179.