李波　張曉斌

[摘 要] 導(dǎo)函數(shù)題型是近幾年高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)、難點(diǎn)，在省市自主命題試卷、全國卷中占據(jù)著難度制高點(diǎn)，承擔(dān)著試卷區(qū)分度使命. 在高考的導(dǎo)函數(shù)題型中，主要考查導(dǎo)數(shù)的定義、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、運(yùn)算法則、極值、單調(diào)區(qū)間、幾何意義、零點(diǎn)、極值點(diǎn)偏移等知識.因此，研究高考導(dǎo)函數(shù)經(jīng)典題型，對各類別題型模式進(jìn)行探究，對高考復(fù)習(xí)有著重要的作用.

[關(guān)鍵詞] 復(fù)合函數(shù)；二階求導(dǎo)；洛必達(dá)法則；函數(shù)零點(diǎn)

問題背景

從2016年開始，包含重慶在內(nèi)的部分省市，由原來的自主命題轉(zhuǎn)入全國卷. 對我們一線教師如何復(fù)習(xí)、如何備考以及教師的專業(yè)素養(yǎng)等方面都提出了新的要求，特別是在壓軸題的考查上：以重慶為例，自主命題主要考查圓錐曲線、不等式及數(shù)列等知識的綜合，而全國卷命題主要在導(dǎo)數(shù)這個模塊上立意創(chuàng)新. 筆者通過對近幾年全國卷、部分省市自主命題試卷導(dǎo)數(shù)試題進(jìn)行研究，對部分題型模式進(jìn)行探究.

模式探究

1. 挖掘題目結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)建新函數(shù)

對學(xué)生復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的運(yùn)算規(guī)則的考查：

（f（x）±g（x））′=f ′（x）±g′（x），（f（x）·g（x））′=f′（x）·g（x）+f（x）·g′（x），

′=·（g（x）≠0）.

特別是對f′（x）·g（x）+f（x）·g′（x）與f ′（x）g（x）-f（x）g′（x）這一結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識，聯(lián)想到構(gòu)建復(fù)合函數(shù). 在考查中，還常常對這一結(jié)構(gòu)進(jìn)行逆向考查.

例1 （2015年課標(biāo)卷Ⅱ理科12題）設(shè)函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（-1）=0，當(dāng)x>0時，xf′（x）-f（x）<0，則使f（x）>0成立的x的取值范圍是（ ）

A. （-∞，-1）∪（0，1）

B. （-1，0）∪（1，+∞）

C. （-∞，-1）∪（-1，0）

D. （0，1）∪（1，+∞）

解析：①條件“當(dāng)x>0時，xf′（x）-f（x）<0”的應(yīng)用：xf′（x）-f（x）與f′（x）g（x）-f（x）·g′（x）結(jié)構(gòu)類似，容易聯(lián)系到復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式′=，令h（x）=（x>0），h′（x）=<0h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減.

②條件“奇函數(shù)f（x）（x∈R）”的應(yīng)用：函數(shù)h（x）=（x≠0）的奇偶性由y=f（x）奇函數(shù)和y=x奇函數(shù)決定，h（x）為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱.

③條件“f（-1）=0”的應(yīng)用：函數(shù)h（x）=（x≠0），則h（-1）=h（1）=0.

由以上探究分析，可描繪出h（x）的大致圖像，由圖像可以看出：

x>0，f（x）>0，則h（x）>0（0，1）；

x<0，f（x）>0，則h（x）<0（-∞，-1），選A.

評注：①對條件“當(dāng)x>0時，xf′（x）-f（x）<0”的應(yīng)用是解決此類題目的關(guān)鍵，也是學(xué)生的難點(diǎn)所在；②我們常說“數(shù)形結(jié)合”，但何時需要采用“數(shù)形結(jié)合”？在典型例題的講解過程中，需要教師點(diǎn)撥到位.

練習(xí)：

1. 設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且有xf′（x）+2f（x）>x2，則不等式（x-2015）2f（x-2015）-9（3）>0的解集為（ ）

A. （0，2018）

B. （2018，+∞）

C. （0，2015）

D. （2015，+∞）

2. 定義在0，上的函數(shù)f（x），f′（x）是它的導(dǎo)函數(shù)且恒有f（x）

A. f>f

B. f（1）>2fsin1

C. f>f

D. f

模式探究：利用題目結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造新函數(shù)過程中，特別注重（xn）′=nxn-1，（ex）′=ex，（lnx）′=，（lnsinx）′=等結(jié)構(gòu)的認(rèn)知，以及簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)關(guān)系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)，給題目的解決創(chuàng)造條件.

2. 活用二階求導(dǎo)，易斷函數(shù)單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性的判斷，常涉及參數(shù)的分類討論，這類問題是學(xué)生比較棘手的.如果我們在求導(dǎo)之后，直接判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，會遇到參數(shù)分類討論的瓶頸. 如果我們在導(dǎo)函數(shù)的基礎(chǔ)上再次求導(dǎo)，即二階求導(dǎo)，再來判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，則問題會簡單許多.

例2（2015年課標(biāo)卷Ⅱ理科21題） 設(shè)函數(shù)f（x）=emx+x2-mx，證明：f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增.

解析：①直接討論：f（x）=emx+x2-mxf′（x）=m（emx-1）+2x，判斷f′（x）的正負(fù).

當(dāng)x∈（0，+∞）時，2x>0，只需m（emx-1）>0，對m的正負(fù)討論.

若m≥0時，emx-1>0，則m（emx-1）≥0.

若m<0時，emx-1<0，則m（emx-1）>0.

所以，f′（x）=m（emx-1）+2x≥0f（x）在x∈（0，+∞）單調(diào)遞增.

當(dāng)x∈（-∞，0）時，略.

②二階求導(dǎo)：f（x）=emx+x2-mxf′（x）=m（emx-1）+2xf′′（x）=（m（emx-1）+2x）′=m2emx+2≥0，f′（x）在R上單調(diào)遞增，且f′（0）=0.

則x∈（-∞，0），f′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減；x∈（0，+∞），f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增.

評注：①直接分類討論，學(xué)生對解題切入點(diǎn)較難把握，因?yàn)榍髮?dǎo)之后的式子為因式分解的結(jié)構(gòu)，再判斷符號的題型較為熟悉，而此題求導(dǎo)之后為多項(xiàng)式相加，再判斷符號，對學(xué)生思維提出了新的要求；②二階求導(dǎo)的正負(fù)可以判斷導(dǎo)函數(shù)的增減，也可以判斷原函數(shù)圖像的凹凸性，對函數(shù)圖像問題的解決也有幫助.

練習(xí)：

1. （2013年課標(biāo)卷Ⅱ理科21題）已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m），設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m，并討論f（x）的單調(diào)性.

2. （2012年課標(biāo)卷Ⅰ理科21題）已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=f′（1）ex-1-f（0）x+x2，求f（x）的解析式及單調(diào)區(qū)間.

模式探究：函數(shù)單調(diào)性問題，利用好導(dǎo)數(shù)這一工具，何時函數(shù)整體求導(dǎo)、何時函數(shù)解析式中部分結(jié)構(gòu)求導(dǎo)、何時二階求導(dǎo)，要根據(jù)具體題目的特點(diǎn)來決定，這對學(xué)生讀題、識題能力有較高的要求.

3. 借用洛必達(dá)法則，巧解含參問題

高考對含參問題的考查比較深入，若用方類討論來求解，分類的情況較多，易出現(xiàn)討論不完全或漏解的情況，對學(xué)生的綜合素質(zhì)要求較高. 對大部分考生來說，是困難的.結(jié)合新課程改革的要求：2020年文理不分科，數(shù)學(xué)以A、B、C、D、E模塊的形式考查，極限知識又將回歸到高中教材的前提下，通過介紹極限的方法，把洛必達(dá)法則，“借”用到高中，也算一種策略.

此類含參題目結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：變量分離a≤a≤

其中f（x）=g（x）=0；U°（a）內(nèi)，f′（x）和g′（x）都存在，且g′（x）≠0；=A==A，

高中主要考查或型，函數(shù)y=的最值在區(qū)間端點(diǎn)、斷點(diǎn)及±∞處取到時用洛必達(dá)法則較實(shí)用.

例3 （2014年課標(biāo)卷Ⅱ理科21題）已知函數(shù)f（x）=ex-e-x-2x，設(shè)g（x）=f（2x）-4bf（x），當(dāng)x>0時，g（x）>0，求b的最大值.

解析：g（x）>04b（ex-e-x-2x）

記q（x）=ex-e-x-2xq′（x）=ex+e-x-2≥0在x∈（0，+∞）恒成立，且q′（0）=0.

q（x）=ex-e-x-2x>0在x∈（0，+∞）恒成立.

g（x）>0b<=h（x）在x∈（0，+∞）恒成立，需求h（x）的最小值，考慮到h（0），h（+∞）都無意義，所以用洛必達(dá)法則求極限.

h（x）====（ex+e-x）=2，

h（x）====（ex+e-x）=+∞.

下證：h（x）>2在x∈（0，+∞）成立？坩h（x）>2？坩>2？坩e2x-e-2x-4x-8（ex-e-x-2x）>0.

記q（x）=e2x-e-2x-4x-8（ex-e-x-2x），x∈（0，+∞）.

q′（x）=2e2x+2e-2x-8（ex+e-x）+12=2（ex+e-x）2-8（ex+e-x）+8=2[（ex+e-x）-2]2>0，q（x）在x∈（0，+∞）單調(diào)遞增，q′（0）=0，則q（x）>0在x∈（0，+∞）成立. h（x）>2得證. 故b≤2.

評注：①利用變量分離的思想，把含參問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值的問題；②在定義域內(nèi)求出函數(shù)的極值，在斷點(diǎn)、端點(diǎn)處的極限值（或函數(shù)值）；③找到函數(shù)的最值，一般采用分析法證明.

練習(xí)：

1. （2010年課標(biāo)卷Ⅱ理科22題）設(shè)函數(shù)f（x）=1-e-x，設(shè)當(dāng)x≥0時，f（x）≤，求a的取值范圍.

2. （2011年課標(biāo)卷Ⅱ理科21題）已知函數(shù)f（x）=+，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0，如果當(dāng)x>0，且x≠1時，f（x）>+，求k的取值范圍.

3. （2016年全國卷Ⅱ文科）已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-a（x-1），若當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）>0，求a的取值范圍.

4. （2016年四川文科）設(shè)函數(shù)f（x）=ax2-a-lnx，g（x）=-，其中a∈R，e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，確定a的所有可能取值，使得f（x）>g（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立.

模式探究：洛必達(dá)法則的應(yīng)用，對含參問題的解決提供了一條途徑，解題過程中要求學(xué)生對變量分離的思想、極限思想、數(shù)學(xué)猜想的證明思想等數(shù)學(xué)思想和綜合技能有較好的掌握.

4. 注重模塊化分離，利于探討零點(diǎn)問題

零點(diǎn)問題常考常新. 通過對函數(shù)求導(dǎo)以進(jìn)一步探究函數(shù)單調(diào)性的過程中，常常將y=ex，y=lnx，y=x2等有保號功能的初等函數(shù)進(jìn)行模塊化處理，放在一邊單獨(dú)討論，必要時還會輔以數(shù)形結(jié)合思想，對問題的解決，既直觀形象，又事半功倍.

例4 已知函數(shù)f（x）=x2+-alnx（a∈R），a>0時，若f（x）有唯一的零點(diǎn)x0，求[x0].

注：[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.6]=0，[2.1]=2，[-1.5]=-2.

參考數(shù)據(jù)：ln2=0.693，ln3=1.099，ln5=1.609，ln7=1.946.

解析：f（x）=x2+-alnxf′（x）=（x>0），

（x2>0，分子模塊化，單獨(dú)討論）令g（x）=2x3-ax-2，則g′（x）=6x2-a.

由于a>0，令g′（x）=0，可得：x=，

所以g（x）在0，上單調(diào)遞減，在，+∞上單調(diào)遞增.

由于g（0）<0，故x∈0，時，g（x）<0，

又g（1）=-a<0，故g（x）在（1，+∞）上有唯一零點(diǎn)，設(shè)為x1，

從而可知：f（x）在（0，x1）上單調(diào)遞減，在（x1，+∞）上單調(diào)遞增.

由于f（x）有唯一零點(diǎn)x0，故x1=x0，且x0>1，

故f（x0）=0，g（x0）=0， 即：x+-alnx0=0，2x-ax0-2=0， 消去a可得：2lnx0--1=0①.

令h（x）=2lnx--1，可知h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

由于h（2）=2ln2-<2×0.7-<0，h（3）=2ln3->0，

故方程①的唯一零點(diǎn)x0∈（2，3），故[x0]=2.

評注：①x2>0具有保號功能，單獨(dú)討論分子；②由分子導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判斷f（x）的單調(diào)性，確定零點(diǎn)；③由原函數(shù)和新構(gòu)建函數(shù)建立方程組，估算零點(diǎn)取值范圍.

練習(xí)：

1. 已知函數(shù)f（x）=-x-+2e有且只有一個零點(diǎn)，則k的值為（ ）

A. e+ B. e2+

C. e2+ D. e+

2. （2015年課標(biāo)卷Ⅱ文科21題）設(shè)函數(shù)f（x）=e2x-alnx，討論f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的零點(diǎn)個數(shù).

3. （2016年全國卷1文科）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2，若f（x）有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍.

4. （2016年全國卷Ⅰ理科）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點(diǎn)，設(shè)x1，x2是f（x）的兩個零點(diǎn)，證明：x1+x2<2.

5. （2016年北京文科）設(shè)函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，設(shè)a=b=4，若函數(shù)f（x）有三個不同零點(diǎn)，求c的取值范圍，求證：a2-3b>0是f（x）有三個不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.

6. （2016年江蘇）已知函數(shù)f（x）=ax+bx（a>0，b>0，a≠1，b≠1），若01，函數(shù)g（x）=f（x）-2有且只有1個零點(diǎn)，求ab的值.

模式探究：零點(diǎn)問題常轉(zhuǎn)化為圖像問題，用導(dǎo)數(shù)工具，一階求導(dǎo)判斷函數(shù)圖像的單調(diào)性、二階求導(dǎo)判斷函數(shù)圖像凹凸性等基本信息，使圖像問題更加清晰，從而更有利于解決零點(diǎn)問題.

結(jié)語

本文主要對導(dǎo)函數(shù)部分題型模式進(jìn)行探究，導(dǎo)函數(shù)作為高考壓軸題是不斷變化的，難度也在增加. 在高考復(fù)習(xí)中，我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘?qū)?shù)的定義、幾何意義以及對函數(shù)單調(diào)性深刻作用的題目特點(diǎn)，層層遞進(jìn)，步步深入，探究各類別題型模式，總結(jié)不同的解題策略.