杭麗華

[摘 要] 教學(xué)要注重教學(xué)資源的整合，尤其是對(duì)于學(xué)生的錯(cuò)誤和意外生成，變廢為寶、以錯(cuò)為鏡，可以引導(dǎo)學(xué)生更為深入地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)思維方法，獲得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效提升.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；錯(cuò)誤；生成

高中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中往往會(huì)出現(xiàn)一些教師預(yù)設(shè)之外的反復(fù)性錯(cuò)誤，這些反復(fù)性錯(cuò)誤往往令教師產(chǎn)生學(xué)生腦袋為“榆木疙瘩”的指責(zé)，教師在指責(zé)學(xué)生的同時(shí)對(duì)于自身教學(xué)方面的審視卻很少，事實(shí)上，教師面對(duì)學(xué)生這些一而再再而三的錯(cuò)誤應(yīng)該經(jīng)常性地向內(nèi)歸因：我的教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)組織有沒(méi)有出現(xiàn)導(dǎo)致這些錯(cuò)誤產(chǎn)生的問(wèn)題呢？學(xué)生出現(xiàn)的這些錯(cuò)誤我能不能對(duì)其妥善利用進(jìn)行資源的最大拓展呢？這些已經(jīng)發(fā)生的錯(cuò)誤能否成為我?guī)椭鷮W(xué)生“悟錯(cuò)”的基點(diǎn)呢？教師將學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行科學(xué)而藝術(shù)的變?nèi)睘楹猛苁箤W(xué)生的深度學(xué)習(xí)更好地實(shí)現(xiàn).

將錯(cuò)誤作為學(xué)生興趣激發(fā)的生成點(diǎn)

典型案例的設(shè)計(jì)是我每一節(jié)新課開(kāi)課前必須要做的功課，有時(shí)候是根據(jù)學(xué)生前面作業(yè)中的典型錯(cuò)誤進(jìn)行的案例設(shè)計(jì)，有時(shí)候是依據(jù)自己教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與教材分析特意設(shè)計(jì)的錯(cuò)誤以導(dǎo)入新課題.不管案例設(shè)計(jì)的內(nèi)容怎樣，這些案例都是利用學(xué)生糾錯(cuò)的天性來(lái)激發(fā)他們探究興趣的.很多的材料因?yàn)閬?lái)自于學(xué)生又貼近學(xué)生也就更加能夠促使學(xué)生對(duì)概念與規(guī)律的理解，新知識(shí)的學(xué)習(xí)也因此在學(xué)生心中早早形成重要的鋪墊.

案例一：已知一直線與拋物線y2=2x有一個(gè)交點(diǎn)，且其經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），試求該直線方程.

分析：學(xué)生易犯錯(cuò)誤一般有以下三種情況：

第一，學(xué)生首先會(huì)設(shè)直線為y=kx+1，但k=0和斜率不存在的情形學(xué)生卻往往會(huì)疏漏，實(shí)際上就形成該直線斜率存在的本質(zhì)變化，且k≠0，這是思維不夠嚴(yán)密所導(dǎo)致的錯(cuò)誤.

第二，根據(jù)題意，此交點(diǎn)產(chǎn)生的情況有相交與相切兩種，第一種的錯(cuò)誤解法中并沒(méi)有將相切的情況做出考慮.這是對(duì)題意中已知條件關(guān)系理解上的不夠透徹.

第三，對(duì)直線方程與拋物線方程聯(lián)系整合后所得的一元二次方程的判別式應(yīng)做考慮，也就是說(shuō)，k≠0，但上述的解法中根本沒(méi)有考慮這些，考慮問(wèn)題有疏漏.

正確解答：（1）所求直線斜率不存在即表現(xiàn)為直線與x軸垂直的狀態(tài)，根據(jù)題意，該直線過(guò)點(diǎn)（0，1），因此，x=0，即y軸，與拋物線y2=2x相切.

（2）所求直線斜率為零時(shí)直線為y=1，平行于x軸，與拋物線y2=2x只有一個(gè)交點(diǎn).

（3）根據(jù)題意設(shè)直線為y=kx+1（k≠0），則y=kx+1，y2=2x，所以k2x2+（2k-2）x+1=0. 令Δ=0，得k=，所以所求直線為y=x+1. 綜上，滿足條件的直線為y=1，x=0，y=x+1.

分析與反思：基礎(chǔ)知識(shí)理解不清、思維定式、注意失調(diào)、記憶不深刻等令錯(cuò)誤產(chǎn)生的各個(gè)原因都在題目的錯(cuò)解中一一被折射了出來(lái). 因此，學(xué)生自身所存在的這些錯(cuò)誤資源怎樣進(jìn)行開(kāi)發(fā)與利用是教師應(yīng)該仔細(xì)思考的問(wèn)題，教師只有將這些錯(cuò)誤作為復(fù)習(xí)鞏固的突破口才能取得較好的教學(xué)效果.

將錯(cuò)誤作為學(xué)生思維創(chuàng)新的突觸

新知識(shí)接納之前學(xué)生已經(jīng)形成的前科概念中也會(huì)有很多的錯(cuò)誤觀點(diǎn)或者認(rèn)識(shí)存在，這些觀念或認(rèn)識(shí)如果得不到及時(shí)的糾正與完善將會(huì)對(duì)后期重點(diǎn)知識(shí)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生極大的負(fù)面影響. 因此，教師在教學(xué)中應(yīng)科學(xué)進(jìn)行設(shè)疑自探、解疑合探、質(zhì)疑再探的設(shè)計(jì)、引導(dǎo)與推進(jìn)，將學(xué)生在認(rèn)知過(guò)程中產(chǎn)生的錯(cuò)誤徹底暴露出來(lái)并及時(shí)進(jìn)行點(diǎn)撥與指導(dǎo)性的糾正，使得學(xué)生盡早將眼前的思維障礙徹底突破，盡早進(jìn)入創(chuàng)新求異的新境界和新層面，學(xué)生一旦體驗(yàn)到思維所產(chǎn)生的價(jià)值便會(huì)尤為感受到思維的快樂(lè).

案例二：已知一數(shù)列前n項(xiàng)的和為Sn=n2+2n+4，求其通項(xiàng)公式.

正確答案：an=7，n=1，2n+1，n≥2.

錯(cuò)因分析：n=1這一情況的考慮容易遺漏導(dǎo)致解題時(shí)以偏概全，產(chǎn)生任何情況下都有an=Sn-Sn-1的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí).

分析與反思：學(xué)生的糾錯(cuò)是對(duì)自身錯(cuò)誤認(rèn)知進(jìn)行糾正與完善的有意義行為，學(xué)生所有的錯(cuò)誤都可能成為他們認(rèn)知起航的新坐標(biāo)，并且能使他們?cè)阱e(cuò)誤中產(chǎn)生新的學(xué)習(xí)所需的能力與有意義的存在.

將錯(cuò)誤作為教師調(diào)整教學(xué)方案的依據(jù)

課堂教學(xué)中尤其是重難點(diǎn)的學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中有時(shí)候會(huì)出現(xiàn)很多學(xué)習(xí)的變數(shù)與錯(cuò)誤. 一些具備較高生成價(jià)值的錯(cuò)誤是教師及時(shí)、科學(xué)調(diào)整自身教學(xué)方案的重要依據(jù)和導(dǎo)向，教學(xué)活動(dòng)往往會(huì)因?yàn)檫@些有價(jià)值的生成生出別樣的精彩.

案例三：已知有x和y兩個(gè)正數(shù)，滿足條件x+y=1，試求z=x+y+的最小值.

錯(cuò)解一：若a>0，則a+≥2，則z=x+y+≥4，所以z最小值為4.

錯(cuò)解二：z==+xy-2≥2-2=2（-1）.

錯(cuò)因分析：錯(cuò)解一等號(hào)成立必須滿足x=且y=，即x=1且y=1，與x+y=1矛盾；錯(cuò)解二等號(hào)成立必須滿足=xy，即xy=，與0

正確解析：z=x+y+=xy+++=xy++=+xy-2，令t=xy，則0

分析與反思：題目列出以后首先是放手給學(xué)生自主解題，讓學(xué)生在自己解題的思維海洋中徜徉，不管學(xué)生是對(duì)還是錯(cuò)都鼓勵(lì)學(xué)生將自己的思維仔細(xì)地表達(dá)出來(lái)，即使看到學(xué)生錯(cuò)誤也不急于扭轉(zhuǎn)他們思維的方向，用自己的語(yǔ)言、眼神鼓勵(lì)他們呈現(xiàn)出自己的所思所想，然后再根據(jù)學(xué)生解題的情況有針對(duì)性地引導(dǎo)他們進(jìn)行正誤的判別，給予學(xué)生充裕的時(shí)間進(jìn)行錯(cuò)誤的反思與糾正，在保護(hù)好學(xué)生自尊心的同時(shí)用學(xué)生可以接受的方法引領(lǐng)他們進(jìn)行錯(cuò)誤的探尋和糾正.

將糾錯(cuò)作為學(xué)生反思能力鍛煉的良機(jī)

教師根據(jù)學(xué)生暴露的問(wèn)題和錯(cuò)誤可以巧妙而科學(xué)地設(shè)置一些“陷阱”讓學(xué)生練習(xí)，學(xué)生的認(rèn)知會(huì)在這個(gè)過(guò)程中達(dá)到撥亂反正的效果，“吃一塹長(zhǎng)一智”的經(jīng)驗(yàn)也會(huì)因此而積累.

案例四：已知數(shù)列{an}，an=n2-kn（n∈N*），且{an}單調(diào)遞增，試求k的取值范圍.正確答案：（-∞，3）.

錯(cuò)因分析：{an}是關(guān)于n的二次函數(shù)，因此，若{an}遞增，則≤1，所以k≤2.

正確解析：由于an+1-an=（n+1）2-k（n+1）-n2+kn=2n+1-k，且{an}遞單調(diào)增，故an+1-an>0，即2n+1-k>0恒成立，分離變量，得k<2n+1，故k<3.

分析與反思：學(xué)生會(huì)運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行題目的思考與解決，但也往往會(huì)將定義域?yàn)檎麛?shù)集忽略從而使得錯(cuò)誤產(chǎn)生. 這是他們掉進(jìn)自己思維陷阱而產(chǎn)生的，因此，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生重新思考并擺脫思維陷阱的束縛，使數(shù)學(xué)方法論逐步形成與發(fā)展的意識(shí)在學(xué)生腦海中萌芽，并因此能注意到形似質(zhì)異這類題目的本質(zhì)區(qū)別.

將錯(cuò)誤作為學(xué)生質(zhì)疑意識(shí)培養(yǎng)的平臺(tái)

教師可以有意識(shí)地設(shè)置一些學(xué)生之前的錯(cuò)誤隱含于自己的教學(xué)設(shè)計(jì)中，很多學(xué)生會(huì)毫不懷疑教師所呈現(xiàn)的一些習(xí)題或者思想，教師引領(lǐng)他們順著自己的思維發(fā)展去發(fā)現(xiàn)過(guò)程中的矛盾或者結(jié)果的反差，這時(shí)候適時(shí)介入學(xué)生的思維使其進(jìn)行反思，這能有效培養(yǎng)出學(xué)生質(zhì)疑教師、質(zhì)疑“真理”的意識(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)中自我展示的成就感很多時(shí)候也在這個(gè)時(shí)候產(chǎn)生.

案例五：設(shè)f（x）=ax2+bx，且1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范圍.

錯(cuò)因分析：此題的解決中學(xué)生比較容易通過(guò)a，b的求解進(jìn)行f（-2）范圍的求解，已知不等式中等號(hào)成立的條件不一定相同在這樣的解題中容易被疏忽而導(dǎo)致出錯(cuò).

正確解析：令f（-2）=mf（-1）+nf（1），則4a-2b=m（a-b）+n（a+b），所以4a-2b=（m+n）a-（m-n）b，比較系數(shù)有m+n=4，m-n=2，所以m=3，n=1，所以f（-2）=3f（-1）+f（1），所以1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，所以5≤3f（-1）+f（1）≤10，即5≤f（-2）≤10.

分析與反思：教師巧妙人為地制造“錯(cuò)誤”使得學(xué)生的認(rèn)知在錯(cuò)誤糾正過(guò)程中得到強(qiáng)化，比常規(guī)教學(xué)往往更令學(xué)生記憶深刻.

常規(guī)教學(xué)中固定的模式與思維往往使教師和學(xué)生都會(huì)產(chǎn)生一定的思維習(xí)慣與“路徑依賴”，教師外部強(qiáng)化與學(xué)生自發(fā)探索往往因?yàn)檫@些習(xí)慣與依賴而找不到有效突破的臨界點(diǎn). 錯(cuò)誤并不可怕也無(wú)法避免，錯(cuò)誤探尋與糾正之后的喜悅才是學(xué)習(xí)中獲得的最大價(jià)值.

課程資源開(kāi)發(fā)自然需要一定的技巧才能更有價(jià)值，不過(guò)，師生之間心靈的溝通與自發(fā)的情感交流也一樣重要.學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤可以作為后續(xù)探究學(xué)習(xí)的思考標(biāo)本，教師也可以從這些錯(cuò)誤出發(fā)重新審視自己的教學(xué)設(shè)計(jì)與組織，盡可能理解學(xué)生出錯(cuò)的原因所在，從根本上去解決學(xué)生錯(cuò)誤的本質(zhì)并扭轉(zhuǎn)他們的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí).

學(xué)生在錯(cuò)誤的解決中積攢正確的認(rèn)知與思想方法，在錯(cuò)誤的糾正與完善中盡情拓展自身思維的寬廣度與靈活性，以錯(cuò)誤為出發(fā)點(diǎn)將真知牢固掌握并獲得解題的規(guī)律與經(jīng)驗(yàn). 在題海戰(zhàn)術(shù)中無(wú)法獲得的認(rèn)知在糾正錯(cuò)誤的過(guò)程中得到了反思與提煉，解題時(shí)候的瞻前顧后不知不覺(jué)被杜絕，信心與實(shí)力在不停的反思與提煉中穩(wěn)步提升. 學(xué)生的學(xué)習(xí)不再停留于知識(shí)記憶與淺層理解的水平，在教師的著力指導(dǎo)與引領(lǐng)下逐步向深度學(xué)習(xí)過(guò)渡并徜徉其中. 教師對(duì)課堂活動(dòng)的駕馭也更加具有目的性和針對(duì)性，課堂效率在不斷的錯(cuò)誤生成與糾正完善中有力提高，教師也不用再充當(dāng)“拉牛上樹(shù)”纖夫角色，更深層次的職業(yè)幸福感也因此慢慢升騰.