劉紅衛(wèi) 程海波 劉伯賢 雷丹 夏遠景

摘 要：函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。函數(shù)的性質(zhì)是競賽和高考的重點與熱點，函數(shù)的對稱性問題是函數(shù)性質(zhì)的一個重要方面，也是歷年高考熱點問題之一，函數(shù)圖像的對稱性包括圖像關(guān)于直線軸對稱和關(guān)于點中心對稱的兩類問題，函數(shù)圖像對稱問題還分為一個函數(shù)圖像的自對稱問題和兩個函數(shù)圖像的互對稱問題。圖形計算器一般是指一種可以繪制函數(shù)圖像、解高次方程或多元方程組以及能執(zhí)行其他復(fù)雜操作的手持計算器，大多數(shù)圖形計算器還能編寫數(shù)學(xué)類程序。有人指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該使用科技來幫助所有學(xué)生理解數(shù)學(xué)，并為在越來越科技化的社會中應(yīng)用數(shù)學(xué)做好準備?！蓖瑫r也要求培養(yǎng)學(xué)生的動手能力，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。文章針對這些問題給出一般結(jié)論，并分別加以理論證明和手持計算器中的直觀呈現(xiàn)，體現(xiàn)了手持計算器在數(shù)學(xué)教學(xué)下的作用和優(yōu)勢，以及它在教學(xué)中的應(yīng)用，希望能給廣大教師一定的教學(xué)啟發(fā)。

關(guān)鍵詞：圖形計算器；自對稱；互對稱；軸對稱；中心對稱

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A收稿日期：2017-12-08

首先我們看看高考題或高考模擬題：

1.【2011年新課標卷文12】函數(shù)y=—的圖像與函數(shù)y=2sinπx（-2≤x≤4）的圖像所有交點的橫坐標之和等于

（A）2 （B）4

（C）6 （D）8

解析：圖像法求解。y=—的對稱中心是（1，0），也是y=2sinπx（-2≤x≤4）的中心，-2≤x≤4，它們的圖像在x=1的左側(cè)有4個交點，則x=1右側(cè)必有4個交點。不妨把它們的橫坐標由小到大設(shè)為x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，則x1+x8=x2+x7=x3+x6=x4+x5=2，所以選D。

考點：①函數(shù)圖像的對稱性；②數(shù)形結(jié)合思想。

2.【2014高考全國2卷文第15題】偶函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=2對稱，f（3）=3，則f（-1）=______.

解析：因為y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=2對稱，故，f（3）=f（1）=3，又因為y=f（x）是偶函數(shù)，所以f（-1）=f（1）=3，故答案為3。

考點：①函數(shù)圖像的對稱性；②函數(shù)周期性。

函數(shù)的對稱性、周期性、奇偶性是高考的熱點問題，而且多以選擇題、填空題綜合多個知識點同時考查，分值5分，高中學(xué)生必須理解。下面我小結(jié)了函數(shù)對稱的幾個性質(zhì)，首先從理論上證明，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，同時用手持計算器探索、演示，可培養(yǎng)學(xué)生的動手能力，加強學(xué)生對知識生成的直觀感受，讓學(xué)生有身臨其境的感覺，這是手持計算器獨到的好處，也是本文的亮點。

一、同一個函數(shù)圖像關(guān)于直線的對稱（自對稱）

結(jié)論1：設(shè)a，b均為常數(shù)，函數(shù) y=f（x）對一切實數(shù)x都滿足f（a+x）=f（b-x），則函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=—對稱。

證明：在函數(shù)f（x）上任取一點P（x1，y1），即y1=f（x1），則點P關(guān)于直線x=—的對稱點為Q（a+b-x1，y1），

∵f（a+x）=f（b-x），

∴f（a+b-x1）=f（a+（b-x1））=f（b-（b-x1））=f（x1）

∴y1=f（a+b-x1）

∴點Q（a+b-x1，y1）也是函數(shù)y= f（x）上的點。

∴命題得證。

下面用手持計算器直觀呈現(xiàn)（改變a，b的值）。

（1）我們先將公式變形，將f（a+x）=f（b-x）轉(zhuǎn)換為f（—+t）=f（—-t）

a+x→ —+—+x

b-x→ —-—-x

另t=—+x

a+x→ —+t

a+x→ —-t

（2）做出a，b的值，選擇命令→繪圖→滑動條，取最小值為-10，最大值為10，值和步長都為1，選擇動畫為無動畫（如圖1）。

同樣的方法作出b的值。

（3）作出t的值，也是以滑動條的方式做出t的值，將t的值設(shè)置為來回或循環(huán)。

（4）因為函數(shù)的定義為：設(shè)在某變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么就稱y是x的函數(shù)，x叫做自變量。所以任意一—+t都有一個y值與之對應(yīng)，但y值是唯一確定的值。

（5）進入symb視圖，選擇命令→點→點，輸入point（—+t，t2）。這時出現(xiàn)的是一個移動的點。點擊屏幕，選擇選項將動畫前面的鉤取消掉。點擊點，選擇選項，勾選矩陣跡。點的縱坐標t2不唯一，不同的對應(yīng)關(guān)系產(chǎn)生不同的y值，隨著t值的變化，點的位置也會變化，形成的就是某種對應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)圖像（如圖2）。

（6）根據(jù)步驟五作出point（—-t，t2），勾選矩陣跡，點擊屏幕，勾選動畫，作出函數(shù)圖像。函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=—對稱（如圖3）。

（7）我們可以改變a，b的值，作出函數(shù)的圖像。點擊屏幕，取消動畫。改變a，b的值，點擊點，選擇清除矩陣跡，勾選動畫（如圖4）。

（8）重復(fù)步驟7，改變函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，將t2改成3-t（如圖5）。

結(jié)論成立。

推論1：在直角坐標系中，滿足f（a+x）=f（a-x）的函數(shù)y= f（x）關(guān)于直線x=a對稱（其中a為常數(shù)）（特例：當a=0時，若y= f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，則y= f（x）為偶函數(shù)）。

推論2：在直角坐標系中，滿足f（a-x）=f（x-a）的函數(shù)y= f（x）的圖像關(guān)于直線x=0對稱。

二、兩個函數(shù)圖像關(guān)于直線的對稱（互對稱）

結(jié)論2：在同一直角坐標系中，函數(shù)y1=f（a+x）與函數(shù)y2=f（b-x）的圖像關(guān)于直線x=—對稱（其中a，b均為常數(shù)）。

證明：

方法一：已知y1，求出y1關(guān)于直線x=—對稱的函數(shù)y3，若y3=y2則證明完畢。

在函數(shù)y3上任取一點P（x0，y0），即y0=f（a+x0），則點P關(guān)于直線x=—的對稱點為Q（b-a-x0，y0），則點Q必在函數(shù)y1的圖像上。

∴y0=f（a+（b-a-x0））=f（b-x0），即點（x0，y0）在y2=f（b-x）的圖像上。

∴函數(shù)y3=y2，命題得證。

方法二：函數(shù)y1=f（a+x）的圖像可以看成是函數(shù)y=f（x）的圖像向左平移a個單位所得，現(xiàn)在函數(shù)y=f（x）圖像上任取一點P（x1，y1），則點P1（x1-a，y1）在函數(shù)y1=f（a+x）的圖像上；函數(shù)y2=f（b-x）的圖像可以看成是函數(shù)y=f（x）的圖像先關(guān)于y軸對稱得y=f（-x）的圖像，再向右平移b個單位得y2=f（-（x-b）），即得函數(shù)y2=f（b-x）的圖像，則點P2（b-x1，y1）在函數(shù)y2=f（b-x）的圖像上，又因為點P1（x1-a，y1）和點P2（b-x1，y1）關(guān)于直線對稱，所以兩函數(shù)圖像關(guān)于直線x=—對稱。命題得證。

下面用手持計算器直觀呈現(xiàn)（改變a，b的值）。

（1）打開幾何學(xué)應(yīng)用程序，我們先做出一個函數(shù)，點擊命令→選擇繪圖→函數(shù)，繪制任一函數(shù)，為之后不對結(jié)論產(chǎn)生誤導(dǎo)，在這里最好繪制奇函數(shù)而非偶函數(shù)。我們可以嘗試繪制函數(shù)y=x3（如圖6）。

（2）已經(jīng)作出函數(shù)y1=f（x）的圖像，現(xiàn)在作出函數(shù)y1=f（a+x）的圖像。先做出a值，在plot視圖選擇命令→繪圖→滑動條，取最小值-10、最大值10、初始值為1、步長為1，其他不變（在這里取值是為了取到正數(shù)、0、負數(shù)，證明a為常數(shù)時結(jié)論滿足）。在符號視圖將GB改成a（如圖7）。

現(xiàn)在我們能在plot視圖看到a的值，我們將鼠標長按在a值上會出現(xiàn)滑動塊，移動滑動塊可以改變a的值（如圖8）。

（3）使用同樣的步驟作出b值。

（4）在symb視圖做出y1=f（a+x），進入symb視圖，選擇命令→繪圖→函數(shù)，plotfunc（a+x）3。為區(qū)分原函數(shù)和函數(shù)y1，改變函數(shù)y1的顏色（如圖9、圖10）。

（5）同樣的方式作出y2=f（b-x）的函數(shù)圖像（如圖11、圖12）。

（6）作出函數(shù)y1和y2的函數(shù)后，原函數(shù)不需要了，可以選中原函數(shù)的圖像將函數(shù)圖像隱藏。此時，我們能直觀地看出兩個函數(shù)圖像是對稱的，但函數(shù)圖像是否對稱還需要我們進行證明。

（7）在y1上面取一點，做直線x=—，以直線為對稱軸做出點的對稱點，如果對稱點再函數(shù)y2上，則兩函數(shù)對稱。

（8）進入plot視圖，選擇命令→點→上面的點。進入symb視圖，選擇命令→線→直線line（x=—）。做出對稱點，選擇命令→變換→反射（如圖13）。

（9）驗證點G是否在函數(shù)圖像上，選擇命令→檢驗→對象上。檢驗結(jié)果為1，表示點在直線上。長按在點B上，進入編輯界面，將無動畫改為來回或循環(huán)，發(fā)現(xiàn)檢驗結(jié)果一直為1（如圖14）。

（10）也可以將點B和點G的坐標表示出來，選擇命令→笛卡爾→坐標。同時也可以改變a，b的值，發(fā)現(xiàn)結(jié)論同樣正確（如圖15）。

推論1：在直角坐標系中，函數(shù)y1=f（a+x）與函數(shù)y2=f（a-x）的圖像關(guān)于直線x=0對稱（特例：當a=0時，函數(shù)y1=f（x）與函數(shù)y2=f（-x）的圖像關(guān)于y軸對稱）。

推論2：在直角坐標系中，函數(shù)y1=f（a-x）與函數(shù)y2=f（x-a）的圖像關(guān)于直線x=a對稱（其中a為常數(shù)）。

三、同一個函數(shù)圖像關(guān)于點成中心對稱

結(jié)論3：設(shè)a，b均為常數(shù)，函數(shù)對一切實數(shù)x都滿足f（a+x）+f（a-x）=2b，則函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點（a，b）成中心對稱圖形。

證明：

方法一：∵f（a+x）+f（a-x）=2b

∴[f（a+x）-b]+[f（a-x）-b]=0

令F（x）=f（a+x）-b，（x∈R）

∴F（x）+F（-x）=0，即F（x）為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點（0，0）對稱。

∴y=f（a+x），（x∈R）的圖像關(guān)于點（0，b）對稱

∴y=f（x），（x∈R）的圖像關(guān)于點（a，b）成中心對稱，證明完畢。

∴命題得證。

方法二：∨P（x0，y0）∈y=f（x）圖像上，從而有y0=f（x0），

則可得P（x0，y0）關(guān)于點（a，b）對稱的點Q（2a-x0，2b-y0）。

下面證明點Q在y=f（x）上，即證2b-y0=f（2a-x0），

需證f（2a-x0）+f（x0）<=>f（a+（a-x0））+f（a-（a-x0））=2b。

這里顯然成立（只需令x=a-x0即可）

由于P點的任意性可知y=f（x）關(guān)于點（a，b）對稱。證明完畢。

下面用手持計算器直觀呈現(xiàn)（改變a，b的值）。

（1）本結(jié)論為結(jié)論1的引申，我們在結(jié)論1的方法上證明。使f（a+x）的值為b+x，f（a-x）的值為b-x。將結(jié)論一的point（—+GC，GC2）改為point（GA+GC，GB+GC2），point（—-GC，GC2）改為（GA-GC，GB-GC2）（如圖16）。

得出函數(shù)圖像（如圖17）：

（2）函數(shù)圖像作出來之后，點擊選項，取消動畫。連接兩點做一條線段，取中點，選擇命令→線→線段→選擇點G和點E，再選擇命令→點→中點→選擇點G和點E。勾選動畫（如圖18）。

點G點E關(guān)于點H對稱，點H位置不變，所以函數(shù)關(guān)于點H（a，b）成中心對稱圖形。

推論：設(shè)a，b，c均為常數(shù)，函數(shù)y=f（x）對一切實數(shù)x都滿足f（a+x）+f（b-x）=2c，則函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點（—，c）成中心對稱圖形（特例：當a=b=c=0時，函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于原點（0，0）中心對稱）。

四、兩個函數(shù)圖像關(guān)于點成中心對稱

結(jié)論4：設(shè)a，b，c均為常數(shù)，則函數(shù)y1=f（a+x）與y2=c-f（b-x）關(guān)于點（—，—）成中心對稱圖形。

證明：

方法一：已知y1，求出y1關(guān)于點（—，—）對稱的函數(shù)y3，若y3=y2，則證明完畢。

在函數(shù)y3上任取一點P（x0，y0），即y0=f（a+x0），則點P關(guān)于點（—，—）的對稱點為Q（b-a-x0，c-y0），則點Q必在函數(shù)y1的圖像上。

∴c-y0=f（b-a-x0）=f（b-x0），

∴y0=c-f（b-x），即點（x0，y0）在y2=c-f（b-x）的圖像上。

∴函數(shù)y3=y2，命題得證。

方法二：函數(shù)y1=f（a+x）的圖像可以看成是函數(shù)y=f（x）的圖像向左平移a個單位所得，現(xiàn)在函數(shù)y=f（x）圖像上任取一點P（x1，y1），則點P1（x1-a，y1）在函數(shù)y1=f（a+x）的圖像上；函數(shù)y2=c-f（b-x）的圖像可以看成是函數(shù)y=f（x）的圖像先關(guān)于y軸對稱得y=f（-x）的圖像，再向右平移b個單位得y=f（-（x-b）），再將所得函數(shù)圖像關(guān)于x軸對稱得y=-f（b-x），最后將所得圖像向上平移c個單位，即得函數(shù)y2=c-f（b-x）的圖像，根據(jù)函數(shù)圖像變換可知，點P（x1，y1）經(jīng)過y2=c-f（b-x）的相應(yīng)變換得點P2（b-x1，c-y1），又因為點P1（x1-a，y1）和點P2（b-x1，c-y1）關(guān)于點（—，—）對稱，由于點P（x1，y1）是任取的，所以兩函數(shù)圖像關(guān)于關(guān)于點（—，—）對稱。命題得證。

下面用手持計算器直觀呈現(xiàn)（改變a，b的值）。

我們在結(jié)論2的基礎(chǔ)上探索結(jié)論4，我們已經(jīng)知道函數(shù)y1=f（a+x）的圖像可以看成是函數(shù)y=f（x）的圖像向左平移a個單位所得。我們探索一下y2=c-f（b-x）的函數(shù)圖像的性質(zhì)。

（1）我們做出函數(shù)y=x的圖像，再做出y=-x和y=6-x的函數(shù)圖像。選擇命令→繪圖→函數(shù)（如圖19）。

函數(shù)圖像（如圖20）：

我們可以發(fā)現(xiàn)y=6-x相當于函數(shù)y=x沿y軸對稱再上移6個單位。

（2）我們作出原函數(shù)y=x2的圖像。創(chuàng)建a、b值，作出y=（a+x）2和y= （b-x）2的圖像（如圖21）。

函數(shù)圖像（如圖22）：

兩函數(shù)圖像關(guān)于x=—對稱。

（3）創(chuàng)建c值，plot視圖，選擇命令→繪圖→滑動條，最小值到最大值任取，步長為1。作出函數(shù)y=c-（b-x）2的圖像（如圖23）。

隱藏原函數(shù)和函數(shù)y=（b-x）2。選擇函數(shù)圖像，選擇選項→隱藏（如圖24）。

（4）在y=（a+x）2作上面的點，選擇命令→點→上面的點。做出點（—，—），再上面的點關(guān)于點（—，—）的對稱點（如圖25）。選擇命令→變換→反射。

（5）檢驗點H在否在函數(shù)上，現(xiàn)在命令→檢驗→對象上（如圖26）。

移動函數(shù)上的點，檢驗結(jié)果為1，證明結(jié)論正確。

（6）我們可以改變函數(shù)檢驗結(jié)論是否正確，將函數(shù)改為x3（如圖27）。

結(jié)論正確。

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