黃素瑩,羿旭明

(武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北武漢 430072)

1 引言

圖像去噪是進(jìn)行圖像處理的前提,作為一項(xiàng)基礎(chǔ)性工作,許多學(xué)者對(duì)圖像去噪方法進(jìn)行了大量的研究實(shí)驗(yàn).在眾多方法中,對(duì)圖像在頻域進(jìn)行閾值量化的去噪效果得到學(xué)者們的廣泛認(rèn)可[1?3,6].它的主要思路分為兩步,第一步是選用分解工具,將圖像分解至頻域,第二步是選取適當(dāng)?shù)拈撝岛烷撝岛瘮?shù),在頻域?qū)D像進(jìn)行閾值量化.其中,針對(duì)第一步,先后有學(xué)者提出了小波分解、小波包分解、最優(yōu)小波包分解等方法,均能達(dá)到一定的去噪效果,但它們分解的方向性比較有限,使得去噪過(guò)程對(duì)圖像的細(xì)節(jié)和邊緣信息缺少保護(hù),得到的去噪后圖像往往過(guò)于模糊.之后,Ron和Shen[4,5]提出了基于酉延拓定理(UEP)的非張量積小波緊框架分解思想,王等[6]在此基礎(chǔ)上構(gòu)造了16個(gè)基于二元三次樣條函數(shù)的非張量積小波緊框架數(shù)字濾波器,其分解可以包含更多的方向信息,能較好地保護(hù)圖像的細(xì)節(jié)和邊緣,但他們?cè)诤蟀氩糠值拈撝颠x擇上不盡理想,因此去噪效果還有提升空間.而針對(duì)閾值和閾值函數(shù)的選選取,研究文獻(xiàn)中先后提出了VisuShrink、NeighShrink和NormalShrink等自適應(yīng)閾值算法[1,2]和相應(yīng)的軟硬閾值函數(shù),均能夠達(dá)到很好的去噪效果,在研究中被廣泛接受.

本文在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上,構(gòu)造了基于二元六次樣條函數(shù)的非張量積小波緊框架,基于香農(nóng)熵采用最優(yōu)分解層數(shù)自適應(yīng)確定方法,并結(jié)合NormalShrink自適應(yīng)閾值算法,在噪聲方差估計(jì)方法上做相應(yīng)的改進(jìn),增強(qiáng)了算法的自適應(yīng)性,由此形成本文的自適應(yīng)非張量積小波緊框架圖像去噪算法.

2 非張量積小波緊框架的構(gòu)造

UEP最早由Ron和Shen[4,5]提出,王等[6]進(jìn)一步討論了其推廣和應(yīng)用,并給出了如下定理.

定理2.1(UEP準(zhǔn)則)設(shè)φ∈L2(R2)為一個(gè)具有緊支撐的細(xì)分函數(shù),滿足

若{h1,h2,···,hr}是一組有限序列集合,其對(duì)應(yīng)的傅立葉變換(ξ)(l=1,2,···,r)均可測(cè)和本性有界,且對(duì)任意的ν∈{0,π}2(0,0)和ξ∈[?π,π]2,滿足

定義函數(shù)族則小波系

形成L2(R2)的一個(gè)小波緊框架.

滿足定理2.1的細(xì)分函數(shù)φ生成L2(R2)的多分辨分析

且對(duì)任意的f∈L2(R2),有

其中 {〈f,φk,j〉,〈f,ψl,k,j〉,l=1,2,···,r}k∈Z為框架系數(shù).

記根據(jù)公式 (2.2) 可以導(dǎo)出如下基于小波緊框架的分解和重構(gòu)公式[6]

利用光滑余因子協(xié)調(diào)法[7?8],構(gòu)造樣條空間中的二元六次樣條函數(shù)B(x,y),它的支集中心位于點(diǎn)且關(guān)于支集中心對(duì)稱,其傅立葉變換為

當(dāng)取φ(x,y)=B(x,y)時(shí),φ(x,y)滿足定理2.1的條件,其符號(hào)為

從而得到由a,b,c,d表示的81個(gè)符號(hào)為

進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)的一組81個(gè)數(shù)字濾波器hl(l=0,1,···,80),如下所示

3 自適應(yīng)非張量積小波緊框架圖像去噪算法

3.1 最優(yōu)分解層數(shù)的自適應(yīng)確定

文獻(xiàn)[6]推廣的基于二元三次樣條函數(shù)的非張量積小波緊框架分解,采用預(yù)先確定分解層數(shù)的方法,這樣導(dǎo)致去噪算法缺乏自適應(yīng)性.本文在基于二元六次樣條函數(shù)的非張量積小波緊框架分解過(guò)程中,采用自適應(yīng)確定最優(yōu)分解層數(shù)的方法,通過(guò)計(jì)算每一次分解之后母帶與各子帶的“價(jià)值函數(shù)”,來(lái)確定是否保留此次分解.當(dāng)母帶的“價(jià)值”大于各子帶的“價(jià)值”之和時(shí),保留此次分解并繼續(xù)下一層分解,否則擯棄此次分解且分解過(guò)程結(jié)束.

對(duì)于“價(jià)值函數(shù)”的選擇,本文通過(guò)實(shí)驗(yàn)比較,選用香農(nóng)熵作為“價(jià)值函數(shù)”,其計(jì)算公式為

其中D是母帶或者各子帶對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣,di是矩陣元素.

3.2 自適應(yīng)閾值的確定

本文基于去噪效果考慮,在NormalShrink自適應(yīng)閾值算法上,針對(duì)噪聲方差σ2η的估計(jì)做了相應(yīng)的改進(jìn),形成本文的自適應(yīng)閾值算法.NormalShrink自適應(yīng)閾值公式為

由于去噪后圖像系數(shù)和噪聲系數(shù)是相互獨(dú)立的,因此有其中是去噪后圖像中第j層第i個(gè)高頻子帶的方差.

圖像經(jīng)過(guò)分解至頻域之后,噪聲信息大多保留在高頻子帶,而這些高頻子帶的方差可以看作是噪聲方差與去噪后圖像方差的相加.因此本文選取第1層分解之后的80個(gè)高頻子帶,分別計(jì)算其方差然后取其中最小值,并將其作為噪聲方差的估計(jì),即

3.3 自適應(yīng)非張量積小波緊框架圖像去噪算法

上文構(gòu)造的基于二元六次樣條函數(shù)的非張量積小波緊框架具有81個(gè)二維濾波器,對(duì)圖像進(jìn)行分解時(shí)可以獲得高頻部分80個(gè)方向上的信息[6],從而為圖像的處理提供了多通道上的信息,因此,在降噪過(guò)程中,更有利于刻畫圖像的細(xì)節(jié)和邊緣,便于后續(xù)的處理.通過(guò)自適應(yīng)確定最優(yōu)分解層數(shù)和閾值,進(jìn)一步增強(qiáng)了算法的自適應(yīng)性.

自適應(yīng)非張量積小波緊框架圖像去噪的具體算法如下.

步驟1對(duì)于原始的灰度圖像I0,利用小波緊框架分解公式(2.3)實(shí)現(xiàn)圖像的第1層分解,得到第1層的近似系數(shù)D1和80個(gè)方向的細(xì)節(jié)系數(shù),計(jì)算由公式(3.2)得到噪聲方差估計(jì);

步驟3針對(duì)上述各層80個(gè)方向的細(xì)節(jié)系數(shù),計(jì)算和βj,并運(yùn)用公式(3.1)計(jì)算Tij,再對(duì)每層基于相應(yīng)的閾值和軟閥值方法進(jìn)行閾值量化,得到新的細(xì)節(jié)系數(shù);

步驟4基于新的細(xì)節(jié)系數(shù)和末層的近似系數(shù),利用小波緊框架重構(gòu)公式(2.4)實(shí)現(xiàn)圖像的重構(gòu),得到去噪后的圖像I1.

4 圖像去噪的實(shí)例與結(jié)果分析

表示均方誤差,n是圖像的總像素個(gè)數(shù),I0(k)和I1(k)分別表示去噪前后的圖像像素灰度值.

分別利用sym4小波(sym4_w)、db4小波(db4_w)、sym4小波包(sym4_wp)、db4小波包(db4_wp)、基于二元三次樣條函數(shù)的非張量積小波緊框架(23_ntptwf)和本文基于二元六次樣條函數(shù)的非張量積小波緊框架(26_ntptwf)對(duì)圖像進(jìn)行去噪(其中前4種的分解層數(shù)為3層,選用NormalShrink自適應(yīng)閾值算法;23_ntptwf的分解層數(shù)為2層,26_ntptwf經(jīng)自適應(yīng)確定最優(yōu)分解層數(shù)為1層,采用本文改進(jìn)的NormalShrink自適應(yīng)閾值算法),其去噪效果如圖1所示,PNSR值如表1所示.從以上方法的去噪效果可以看出,sym4_w、db4_w、sym4_wp和db4_wp方法在去除噪聲的同時(shí),缺乏對(duì)圖像細(xì)節(jié)和邊緣的保護(hù)使得去噪后的圖像過(guò)于模糊,23_ntptwf去噪效果有所改善.而利用本文所構(gòu)造的26_ntptwf去噪,數(shù)值結(jié)果顯示,去噪效果優(yōu)于前四種方法,其PNSR值也高于23_ntptwf.

針對(duì)本文提出的非張量積小波緊框架的最優(yōu)分解層數(shù)自適應(yīng)確定方法,為了顯示其有效性,除了自適應(yīng)確定的最優(yōu)分解層數(shù)1層,再分別選擇分解層數(shù)為2、3、4、5層,同時(shí)運(yùn)用基于二元六次樣條函數(shù)的非張量積小波緊框架和本文改進(jìn)的NormalShrink自適應(yīng)閾值算法進(jìn)行去噪,其效果如圖2所示,PNSR值如表2所示.可以看出,本文自適應(yīng)確定的最優(yōu)分解層數(shù)對(duì)應(yīng)的去噪效果和PNSR值都優(yōu)于其它分解層數(shù).

圖1:幾種方法的去噪效果對(duì)比

圖2:不同分解層數(shù)與最優(yōu)分解層數(shù)的去噪效果對(duì)比

表1:幾種方法去噪的PNSR值對(duì)比

表2:不同分解層數(shù)與最優(yōu)分解層數(shù)去噪的PNSR值對(duì)比

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)圖像的去噪,構(gòu)造了基于二元六次樣條函數(shù)的非張量積小波緊框架,而在框架分解層數(shù)和閾值的選取上,分別提出了基于香農(nóng)熵自適應(yīng)確定最優(yōu)分解層數(shù)的方法和基于改進(jìn)的NormalShrink自適應(yīng)閾值算法,提高了算法的自適應(yīng)性,在保證去噪效果的同時(shí),實(shí)現(xiàn)了對(duì)圖像細(xì)節(jié)和邊緣的更好保護(hù).

參考文獻(xiàn)

[1]Mantosh Biswas,Hari Om.An adaptive wavelet thresholding image denoising method[J].Nat.Conf.Comm.,2013:246–252.

[2]Bibina V C,Sanoj Viswasom.Adaptive wavelet thresholding and joint bilateral filtering for image denoising[J].Ann.IEEE India Conf.,2012:1100–1104.

[3]Fathi Abdolhossein,Naghsh-Nilchi.Efficient image denoising method based on a new adaptive wavelet packet thresholding function[J].IEEE Trans.Image Proc.,2012,21(9):3981–3990.

[4]Ron A,Shen Z W.Affine systems:the analysis of the analysis operator[J].J.Funct.Anal.,1997,148(2):408–447.

[5]Shen Z W,Xu Z Q.On B-spine framelets derived from the unitary extension principle[J].SIAM J.Math.Anal.,2012,45(1):127–151.

[6]陳聰,王仁宏.二元B-樣條構(gòu)造非張量積緊框架及其應(yīng)用[D].大連:大連理工大學(xué),2013.

[7]王仁宏,崔錦泰.關(guān)于一個(gè)二元B-樣條基[J].中國(guó)科學(xué)(A輯),1984,9:784–795.

[8]王仁宏,施錫泉,羅鐘鉉,蘇志勛.多元樣條函數(shù)及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,1994.

[9]蔡敦虎,羿旭明.小波基的選取對(duì)圖像去噪的影響[J].數(shù)學(xué)雜志,2005,25(2):185–190.