王曉強(qiáng)，王 冬

河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽 471003

1 引言

軟件的需求分析在軟件的開發(fā)過程中起著舉足輕重的作用，而需求權(quán)重是量化各項(xiàng)顧客需求的相對(duì)重要程度，用于指導(dǎo)軟件的健壯設(shè)計(jì)。在軟件開發(fā)過程中，隨著客戶對(duì)軟件的功能要求、性能要求和運(yùn)行要求等的不斷提高，使得顧客需求過于復(fù)雜，此時(shí)運(yùn)用層次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）與模糊層次分析法（Fuzzy Analytical Hierarchy Process，F(xiàn)AHP）求解顧客需求權(quán)重就會(huì)與真實(shí)顧客需求重要度產(chǎn)生較大偏差。因此，為了開發(fā)出令顧客滿意的軟件產(chǎn)品，必須用正確且行之有效的方法對(duì)需求權(quán)重進(jìn)行求解和驗(yàn)證。

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)需求權(quán)重的求解進(jìn)行了相關(guān)理論的研究，運(yùn)用的方法主要包括層次分析法（AHP）、模糊層次分析法（FAHP）、網(wǎng)絡(luò)分析法（Analytic Network Process，ANP）等。王曉暾等[1]通過融合層次分析法與粗糙集理論提出了粗糙數(shù)和粗糙區(qū)間兩個(gè)新概念，用粗糙數(shù)和粗糙邊界區(qū)間來解決顧客需求的含糊性和不確定性。李磊等[2]提出了一種基于模糊層次分析法的多目標(biāo)決策問題的解決方案，應(yīng)用基于三角模糊數(shù)的模糊層次分析法來求各層次指標(biāo)權(quán)重。周黎莎等[3]將網(wǎng)絡(luò)層次分析法和模糊綜合評(píng)價(jià)法相結(jié)合，對(duì)電力企業(yè)客戶滿意度進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，并進(jìn)行實(shí)例分析，驗(yàn)證該評(píng)價(jià)模型的有效性和科學(xué)性。周曉光等[4]采用模糊優(yōu)先規(guī)劃方法確定了各指標(biāo)的權(quán)重，進(jìn)而通過網(wǎng)絡(luò)層次分析法計(jì)算各指標(biāo)的綜合權(quán)重。Yang Shaomei[5]提出了一種改進(jìn)的模糊層次分析法評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)的方法，該方法充分利用了三標(biāo)度法和模糊一致矩陣的優(yōu)點(diǎn)，更加適合于分析多目標(biāo)決策問題。Al-Hawari T[6]等將網(wǎng)絡(luò)層次分析法應(yīng)用到設(shè)施規(guī)劃上，通過建立網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)來解決各元素和集群以及它們之間的相互作用，最終確定各方案的優(yōu)先級(jí)別。蘭繼斌等[7]提出用模糊一致判斷矩陣確定方案權(quán)重是不完善的，必須考慮參數(shù)β的選擇，參數(shù)β是隱藏在決策過程中決策者的偏好及決策者的分辨能力，同時(shí)給出了從傳統(tǒng)層次分析法標(biāo)度到模糊層次分析法標(biāo)度的轉(zhuǎn)換方法。

AHP與FAHP方法適合于解決系統(tǒng)層次結(jié)構(gòu)中元素的權(quán)重問題，但其遞階層次結(jié)構(gòu)限制了它在復(fù)雜需求權(quán)重決策中的應(yīng)用；網(wǎng)絡(luò)分析法適用于需求元素關(guān)系比較復(fù)雜的權(quán)重分析。但網(wǎng)絡(luò)分析法在判斷矩陣求解的一致性和需求元素相對(duì)重要度評(píng)價(jià)的模糊性等方面仍需進(jìn)一步的深入研究。

本文針對(duì)軟件開發(fā)過程中顧客需求關(guān)系較復(fù)雜的權(quán)重分析問題，運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)分析法與梯形模糊數(shù)相結(jié)合的方法，建立加權(quán)極限超矩陣，分析需求元素的混合權(quán)重，旨在解決各指標(biāo)層內(nèi)各元素的相互作用以及指標(biāo)評(píng)價(jià)的模糊性所造成權(quán)重嚴(yán)重偏差問題，并通過實(shí)例驗(yàn)證該方法的可行性。

2 需求權(quán)重的模糊網(wǎng)絡(luò)分析法基本組成

模糊網(wǎng)絡(luò)分析法是模糊數(shù)學(xué)與網(wǎng)絡(luò)分析法相結(jié)合的一種方法，主要解決模糊層次分析法和網(wǎng)絡(luò)分析法中未能解決的問題。梯形模糊數(shù)主要解決邊界值以及隸屬度問題；網(wǎng)絡(luò)分析法主要建立網(wǎng)絡(luò)圖，解決不同元素組中的元素的相互聯(lián)系。模糊網(wǎng)絡(luò)層次分析法為復(fù)雜系統(tǒng)中權(quán)重的求解提供了依據(jù)。

2.1 網(wǎng)絡(luò)分析法

網(wǎng)絡(luò)分析法是在層次分析法的基礎(chǔ)上，綜合考慮各元素組以及組內(nèi)元素間的相互影響，建立需求元素間的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，采用超矩陣對(duì)需求元素的混合權(quán)重進(jìn)行求解。

ANP結(jié)構(gòu)圖（如圖1）由控制層與網(wǎng)絡(luò)層組成[7-8]?？刂茖又械臏?zhǔn)則R1,R2,…,Rm相互獨(dú)立；元素組件(C1,C2,…,CN)構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)層，其中元素組Cj有元素ej1,ej2,…,ejnj，不同組件中的元素間存在內(nèi)部依賴和外部依賴，這些依賴就構(gòu)成了反饋網(wǎng)絡(luò)，其中箭頭所指向的因素影響著箭尾的因素。

圖1 ANP結(jié)構(gòu)圖

2.2 梯形模糊數(shù)及其基本運(yùn)算

在層次分析法中，通常采用T.L.Saaty建立的1～9標(biāo)度方法來量化兩因素的相對(duì)重要度[10]。但在實(shí)際中進(jìn)行兩兩比較判斷時(shí)，由于人的主觀性以及各個(gè)因素的模糊性，各個(gè)因素的相對(duì)重要度用一個(gè)確定的實(shí)數(shù)來表示存在著不合理性。針對(duì)這個(gè)問題，一些學(xué)者運(yùn)用模糊區(qū)間來界定各因素相對(duì)重要度的上下限，本文利用梯形模糊數(shù)rij=(a,b,c,d)來定量地表示元素ei比ej的重要程度。通過對(duì)各因素進(jìn)行模糊判斷，得到相應(yīng)的梯形模糊一致互補(bǔ)判斷矩陣。

假設(shè)M是論域U中的任意一個(gè)梯形模糊數(shù)，梯形模糊數(shù)Fuzzy集對(duì)應(yīng)的隸屬函數(shù)定義為：

其中 a、b、c、d 是隸屬函數(shù)的參數(shù)，且 a≤b≤c≤d,a與d分別是模糊數(shù)的上界和下界，且區(qū)間[b,c]是模糊數(shù)的中間值，參數(shù)a、b、c、d根據(jù)模糊網(wǎng)絡(luò)分析法標(biāo)度取值。rij可以被四元實(shí)數(shù)組(a,b,c,d)所確定。

假設(shè)梯形模糊數(shù)eij=(aij,bij,cij,dij),ekh=(akh,bkh,ckh,dkh)，則eij與ekh的代數(shù)運(yùn)算為：

eij⊕ekh=(aij+akh,bij+bkh,cij+ckh,dij+dkh)

eij?ekh=(aij×akh,bij×bkh,cij×ckh,dij×dkh)

λ? ekh=(λaij,λbij,λcij,λdij)

其中aij＞0,bij＞0,cij＞0,dij＞0,akh＞0,bkh＞0,ckh＞0,dkh＞0。

3 需求權(quán)重的模糊網(wǎng)絡(luò)分析法數(shù)學(xué)模型

3.1 模糊一致互補(bǔ)判斷矩陣的改進(jìn)方法

網(wǎng)絡(luò)分析法是利用超矩陣求解顧客需求混合權(quán)重的一種方法，其求解過程的復(fù)雜性使得網(wǎng)絡(luò)分析法在很多領(lǐng)域中較難得到應(yīng)用，而判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)是網(wǎng)絡(luò)分析法中較繁瑣的一步驗(yàn)證，研究利用一致性矩陣代替判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)，可以在很大程度上降低求解過程的復(fù)雜性。

定理1若模糊互補(bǔ)矩陣R=(rij)n×n滿足：?i,j,k=1,2,…,n，有rij=rik-rjk+0.5，則稱模糊互補(bǔ)矩陣R是模糊一致互補(bǔ)判斷矩陣[11]。

文獻(xiàn)[12]有結(jié)論（1）和結(jié)論（2）：

結(jié)論1

結(jié)論2 |wi-wj|≤1/(n-1)

由結(jié)論1、2可知，當(dāng)n較大時(shí)，權(quán)重之間的偏差會(huì)很小，不利于確定各項(xiàng)需求的重要度。

定義1設(shè)模糊互補(bǔ)判斷矩陣R=(rij)n×n，則R是模糊一致判斷矩陣的充要條件存在n維正的歸一化向量w=(w1,w2,…,wn)T及 β(β＞1)，使得 ?i,j都有 rij=logβwi-logβwj+0.5 成立[7]。

其中權(quán)重公式wi為：

假設(shè) wi(β)＞wk(β)，則：

式中

根據(jù)公式（3）可知 wi(β)-wk(β)是關(guān)于 β 的增函數(shù)。故β的變化可以調(diào)節(jié)權(quán)重值的大小，而不會(huì)改變各項(xiàng)需求的排序。參數(shù)β起著調(diào)節(jié)權(quán)重分辨率的作用。

定義2若A=(aij)n×n是一致的正互反判斷矩陣，則R=(rij(β))n×n(β≥81)是模糊一致互補(bǔ)判斷矩陣，這里rij(β)=logβaij+0.5(β ≥81)[7]。

通過上述的定義、結(jié)論和定理，定理1給出了模糊一致互補(bǔ)判斷矩陣，結(jié)論1、2說明了定理1在n很大時(shí)，權(quán)重值并不能反映需求的相對(duì)重要度，這樣引出模糊一致互補(bǔ)判斷矩陣的新定義1、2，其中β值起著調(diào)節(jié)權(quán)重分辨率的作用。

根據(jù)定義2，調(diào)節(jié)β值將1～9標(biāo)度轉(zhuǎn)換為模糊網(wǎng)絡(luò)分析法標(biāo)度，當(dāng)β=300時(shí)，獲得表1模糊網(wǎng)絡(luò)分析法標(biāo)度。

3.2 模糊網(wǎng)絡(luò)分析法權(quán)重的求解

根據(jù)模糊互補(bǔ)一致性矩陣的改進(jìn)方法，建立改進(jìn)的模糊互補(bǔ)一致性矩陣R。在Ri控制準(zhǔn)則下，以Cj中的元素ejl為次準(zhǔn)則，對(duì)其他元素組Ci中的元素按其對(duì)ejl的影響大小進(jìn)行間接優(yōu)勢(shì)度比較。其中rij為梯形模糊判斷向量，設(shè)aij為向量rij中的元素，則有0≤aij≤1,aii=1,aij+aji=1，且向量 rij滿足 rij=rik-rjk+0.5。rij表示元素ei比元素ej重要的隸屬度，rij=(0.5,0.5,0.5,0.5)表示元素ei與元素ej同等重要。

對(duì)元素組Ci的模糊一致互補(bǔ)判斷矩陣R進(jìn)行求解，確定元素的排序向量。由于判斷矩陣R本身就滿足一致性指標(biāo)，因此可以直接計(jì)算eij的綜合模糊數(shù)Deij：

定理2設(shè)M=(a1,b1,c1,d1),N=(a2,b2,c2,d2)是兩個(gè)梯形模糊數(shù)，則M≥N的可能性程度為：

其中，a1＞0,b1＞0,c1＞0,d1＞0,a2＞0,b2＞0,c2＞0,d2＞0。

由公式（5）計(jì)算元素eik≥eij的可能性程度，其中 j=1,2,…,ni。確定元素eik大于元素組中其他元素的可能值d(eik)。

d(eik)=minV(Deik≥Dei1,Dei2,…,Dei(k-1),Dei(k+1),…,Deini)（6）式中，k=1,2,…,ni。進(jìn)而得到元素排序向量(d(ei1),d(ei2),…,d(eini))。歸一化得到元素組元素權(quán)重向量Wjl。

通過上述求解權(quán)重向量的方法，計(jì)算在準(zhǔn)則層Ri下，以ejl(l=1,2,…,nj)為次準(zhǔn)則，計(jì)算出超矩陣W的子矩陣Wij。

表1 模糊網(wǎng)絡(luò)分析法標(biāo)度

圖2 需求結(jié)構(gòu)圖

中的列向量就是元素組Ci中的元素ei1,ei2,…,eini對(duì)Cj中元素ej1,ej2,…,ejnj的影響程度排序向量。如果元素組之間的元素沒有影響，則Wij=0。通過相同的方法最終得到在準(zhǔn)則Ri下的超矩陣W。

由于超矩陣W中的子模塊Wij的每一列都是歸一化的，但超矩陣的整列并不滿足歸一化要求，因此需要以Ri為主準(zhǔn)則，Cj為次準(zhǔn)則的條件下，判斷網(wǎng)絡(luò)層中元素組之間的相對(duì)重要度。根據(jù)上述構(gòu)建判斷矩陣的方法，建立元素組的梯形模糊一致互補(bǔ)判斷矩陣。

相同的方法得到元素組元素在次準(zhǔn)則Cj條件下的權(quán)重向量(a1ja2j…aNj)，這樣的向量有N組，即得到加權(quán)矩陣A：

確定加權(quán)極限超矩陣，將超矩陣中的子矩陣與元素組的權(quán)重做乘積，即：

即為所求加權(quán)超矩陣，且每列都滿足歸一化要求。最后對(duì)加權(quán)超矩陣進(jìn)行冪運(yùn)算，使冪指數(shù)趨于無窮，直到每行元素不再發(fā)生變化，最終得到加權(quán)極限超矩陣。

4 實(shí)例應(yīng)用

在軟件開發(fā)的過程中，針對(duì)顧客需求關(guān)系的復(fù)雜性，用戶需求的模糊性以及軟件用戶與軟件開發(fā)人員之間缺乏共同語言等問題，本文以某測(cè)量?jī)x軟件系統(tǒng)開發(fā)為研究對(duì)象，采用模糊網(wǎng)絡(luò)分析法來確定用戶對(duì)該系統(tǒng)的各項(xiàng)需求權(quán)重，并對(duì)比模糊層次分析法，以驗(yàn)證該方法的正確性。

在系統(tǒng)的開發(fā)過程中,用戶對(duì)該軟件的需求主要包括性能需求、功能需求、界面需求及其他相關(guān)需求（如圖2）。性能需求主要包括軟件的可靠性、可擴(kuò)展性、安全性、兼容性、系統(tǒng)穩(wěn)定性和執(zhí)行效率等；功能需求主要反映在軟件必須要實(shí)現(xiàn)的功能，而用戶對(duì)系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)的功能主要有數(shù)據(jù)采集、輪廓/粗糙度/波紋度圖形顯示、輪廓尺寸標(biāo)注、粗糙度/波紋度參數(shù)評(píng)定、運(yùn)動(dòng)控制、工作區(qū)顯示、運(yùn)動(dòng)參數(shù)設(shè)置、指定格式保存文件、打印等；一款好的軟件不僅僅局限在強(qiáng)大的功能，軟件界面的質(zhì)量直接關(guān)系到用戶能否高效、準(zhǔn)確、輕松地工作，主要表現(xiàn)在軟件的可理解性、易操作性、美觀性等；另外還包括其他需求如費(fèi)用、開發(fā)周期等。

4.1 模糊網(wǎng)絡(luò)分析法

通過分析顧客各項(xiàng)需求之間的相互聯(lián)系，建立各元素組之間的網(wǎng)絡(luò)圖（如圖3）。

圖3 網(wǎng)絡(luò)層各組件的關(guān)聯(lián)

表2 初始超矩陣

通過對(duì)圖中各元素組之間元素的相互關(guān)聯(lián)，進(jìn)行間接優(yōu)勢(shì)度比較，即相對(duì)于一個(gè)準(zhǔn)則（主準(zhǔn)則），兩個(gè)元素相對(duì)于第三個(gè)元素（次準(zhǔn)則）的重要度進(jìn)行比較。圖中箭頭連線代表元素組之間的元素存在相互制約，以元素組C3中的元素e31為次準(zhǔn)則，建立元素組C1的判斷矩陣R1。因此需要計(jì)算各元素組之間相互影響的優(yōu)先權(quán)重，即元素組優(yōu)先權(quán)矩陣見表3，而這些優(yōu)先權(quán)就是為加權(quán)超矩陣對(duì)應(yīng)模塊的權(quán)重。

將初始超矩陣中的子矩陣分別與元素組的權(quán)重做乘積,獲得加權(quán)超矩陣見表4，其中加權(quán)超矩陣的每一列都滿足歸一化要求。最后通過運(yùn)用Matlab對(duì)加權(quán)超矩

由于R1是模糊一致互補(bǔ)判斷矩陣，具有滿意的一致性，不需進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。根據(jù)公式（4）解得綜合模糊數(shù)De1i：

根據(jù)公式（5）、（6）求解在元素e31準(zhǔn)則下元素組C1的層次單排序。

歸一化得e31準(zhǔn)則下元素e11、e12和e13權(quán)重向量：

綜上，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)層各組件關(guān)聯(lián)圖得各準(zhǔn)則條件下元素組元素的權(quán)重向量，建立初始完全超矩陣見表2。

由于初始完全超矩陣的子模塊的每一列都是歸一化，但是初始超矩陣的每一整列并不滿足歸一化要求，陣進(jìn)行冪運(yùn)算，使冪指數(shù)趨于無窮，直到每列元素不再發(fā)生變化，此時(shí)的矩陣即為加權(quán)極限超矩陣見表5。

表3 元素組優(yōu)先權(quán)矩陣

通過表5加權(quán)極限超矩陣可知各元素的權(quán)重向量為：

（0.031，0.02，0.03，0.097，0.054，0.097，0.061，0.101，0.072，0.058，0.037，0.036，0.042，0.04，0.052，0.058，0.038，0.04，0.022，0.018）

4.2 網(wǎng)絡(luò)分析法

由文獻(xiàn)[8]網(wǎng)絡(luò)分析法，考慮判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)，根據(jù)1～9標(biāo)度方法，以元素組C3中的元素e31為次準(zhǔn)則，建立元素組C1的判斷矩陣R1′：

表4 加權(quán)超矩陣

表5 加權(quán)極限超矩陣

求解判斷矩陣R1′，特征向量W′為：

一致性檢驗(yàn)有（其中RI=0.58）λmax=3.02，CI=(λmax-n)/(n-1),CR=CI/RI=0.01＜0.1 ，即一致性檢驗(yàn)符合要求。

相同方法，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)層各組件關(guān)聯(lián)圖得各準(zhǔn)則條件下元素組元素的權(quán)重向量，進(jìn)而獲得初始完全超矩陣，最終通過加權(quán)極限超矩陣得到各項(xiàng)需求的權(quán)重。

（0.027，0.019，0.036，0.090，0.055，0.092，0.061，0.091，0.072，0.060，0.039，0.040，0.043，0.043，0.053，0.057，0.039，0.041，0.022，0.02）

4.3 模糊層次分析法

將文獻(xiàn)[13-15]建立的模糊層次分析法模型運(yùn)用到該測(cè)量軟件需求權(quán)重的求解中,求得界面要求、性能要求、功能要求以及其他要求的元素組內(nèi)部元素的層次單排序，如下：

然后，對(duì)界面要求、性能要求、功能要求、其他要求進(jìn)行層次排序，如下：

最終確定層次總排序WpiWei,即元素在所在層中的層次單排序值乘以該元素所在層次的權(quán)重。得到總排序向量如下：

4.4 方案的比較分析

為選取滿意的權(quán)重A，通過方案結(jié)果的準(zhǔn)確性B1、方案的適用范圍B2及求解效率B3三方面對(duì)模糊網(wǎng)絡(luò)分析法C1，模糊層次分析法C2和網(wǎng)絡(luò)分析法C3三種權(quán)重方案進(jìn)行評(píng)價(jià)。通過定量化比較判斷兩兩之間的相對(duì)重要度[10]，建立判斷矩陣見表6～9。

表6 判斷矩陣A-B

表7 判斷矩陣B1-C

表8 判斷矩陣B2-C

表9 判斷矩陣B3-C

判斷矩陣A-B的特征向量W=[0.73 0.19 0.08]T，最大特征根λmax=3.07，一致性檢驗(yàn)有：

CI=(λmax-n)/(n-1)=0.035

則一致性指標(biāo)CR（其中RI=0.58）：

CR=CI/RI=0.06＜0.1

判斷矩陣具有滿意的一致性。

判斷矩陣Bi-C的特征向量、一致性指標(biāo)CR分別為W1=[0.67 0.10 0.23]T，CR=0.069；W2=[0.42 0.13 0.46]T,CR=0.008 ；W3=[0.13 0.69 0.18]T,CR=0.078。則各方案相對(duì)于各準(zhǔn)則的排序值見圖4，層次總排序見圖5。

圖4 方案各準(zhǔn)則排序直方圖

圖5 各方案總排序直方圖

由直方圖4～5可知，模糊網(wǎng)絡(luò)分析法所得權(quán)重更能反映顧客的需求強(qiáng)度，更加適合復(fù)雜需求關(guān)系的權(quán)重求解；模糊層次分析法適合求解遞階層次結(jié)構(gòu)中的元素權(quán)重，不適合解決復(fù)雜關(guān)系系統(tǒng)（網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)）中的權(quán)重問題；網(wǎng)絡(luò)分析法未考慮評(píng)價(jià)的模糊性評(píng)價(jià)問題且判斷矩陣需一致性檢驗(yàn)，使得準(zhǔn)確性沒有模糊網(wǎng)絡(luò)分析法高,且求解過程復(fù)雜。通過方案的比較分析，由于模糊網(wǎng)絡(luò)分析法在理論上不但考慮了準(zhǔn)則與準(zhǔn)則之間、準(zhǔn)則與指標(biāo)之間以及各項(xiàng)指標(biāo)之間的相互聯(lián)系，還考慮了模糊性判斷和模糊一致互補(bǔ)判斷矩陣問題，因此在顧客需求多且復(fù)雜的情況時(shí)，適合采用模糊網(wǎng)絡(luò)分析法求解權(quán)重。

5 結(jié)論

本文著重于在軟件開發(fā)過程中對(duì)顧客需求權(quán)重的研究，利用網(wǎng)絡(luò)分析法和模糊數(shù)學(xué)相結(jié)合的方法，對(duì)各項(xiàng)需求建立網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而利用梯形模糊區(qū)間數(shù)建立改進(jìn)的模糊一致互補(bǔ)判斷矩陣，整合加權(quán)極限超矩陣確定各項(xiàng)需求的權(quán)重。

建立的改進(jìn)一致互補(bǔ)判斷矩陣明顯提高了判斷的一致性和權(quán)重的計(jì)算效率。利用梯形模糊區(qū)間數(shù)代替1～9標(biāo)度方法建立判斷矩陣，降低了相對(duì)重要度評(píng)判的主觀性，相對(duì)重要度更加準(zhǔn)確。

模糊網(wǎng)絡(luò)分析法與模糊層次分析法實(shí)例應(yīng)用的對(duì)比分析表明，模糊網(wǎng)絡(luò)分析法更適合解決需求過于復(fù)雜的系統(tǒng)。

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