胡建林

最近分別參與了兩次活動：紹興市數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)研討會和舟山市定海區(qū)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)研討會，并在紹興市中考復(fù)習(xí)研討會上就“關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)，提高復(fù)習(xí)效率”的主題與同行進(jìn)行了討論，在舟山市定海區(qū)中考復(fù)習(xí)研討會上展示了一堂相似三角形的復(fù)習(xí)課.兩次活動的參與，讓我對中考復(fù)習(xí)有了新的體會和感悟，本文以相似三角形一種基本圖形的復(fù)習(xí)課為例，用“相似三角形對應(yīng)高線長之比等于相似比”這樣的“邏輯連貫”數(shù)學(xué)問題為一節(jié)課的主線進(jìn)行復(fù)習(xí)，旨在說明教師可以通過“邏輯連貫”問題，如一個常用定理，一個基本圖形，一種常規(guī)方法等，貫穿數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂，使學(xué)生上一堂課精一類題，在理解知識點(diǎn)的同時綜合運(yùn)用各種思想方法解決問題，也借此拋磚引玉，與大家探索提高中考復(fù)習(xí)效率的有效方法.

一、復(fù)習(xí)課堂現(xiàn)狀

在中考復(fù)習(xí)中，往往存在這樣一些比較普遍的現(xiàn)象，一是一輪基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)后，教師往往以整節(jié)課的題目講解代替了復(fù)習(xí)課，使復(fù)習(xí)課十分單調(diào)乏味；二是復(fù)習(xí)課時覺得這個也重要那個也重要，于是不肯放棄任何問題，不看考綱，不分難易，不論主次，什么都講，什么都要求學(xué)生掌握，表面看面面俱到，十分華麗，但實(shí)質(zhì)是沒有突出重點(diǎn)，而由此產(chǎn)生的結(jié)果往往是西瓜芝麻一起丟，一堂課下來學(xué)生聽得累，教師講得也累，收到的效果自然也不是特別好.

二、“邏輯連貫”教學(xué)思考

首先，在日常教學(xué)中發(fā)現(xiàn)“相似三角形對應(yīng)高線長之比等于相似比”這個性質(zhì)教材中也不是以黑體字的形式出現(xiàn)，而且學(xué)生用得少，也就慢慢忽視了這一性質(zhì)的存在.但各地中考試題中出現(xiàn)用這一性質(zhì)解決問題的題目還是比較多的，是一個容易忽略的問題.因此，怎樣對此性質(zhì)進(jìn)行復(fù)習(xí)，并由問題解決的過程中，啟迪學(xué)生思考，領(lǐng)悟分析、思考和解決問題的方法是教師需要解決的一個問題.

其次，因性質(zhì)小，可以考慮直接給學(xué)生這一性質(zhì)，讓學(xué)生在證明這一性質(zhì)的過程中重新認(rèn)識，做好知識上和思想上的準(zhǔn)備，它起著承上啟下的作用，教學(xué)中應(yīng)突出這一點(diǎn).

第一，承上.應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生重新認(rèn)識抽象的“基本圖形”.第二，啟下.應(yīng)關(guān)注例題的教學(xué)，即將簡單的“基本圖形”與下面例題“較復(fù)雜的圖形”建立起關(guān)聯(lián)性整合.使學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中深刻感受到如何發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的整個過程，理解和認(rèn)識知識發(fā)生和發(fā)展的必然的因果關(guān)系.體現(xiàn)了教師用書上對“理解”的闡述：能描述對象的特征及由來；能明確闡述此對象和有關(guān)對象之間的聯(lián)系，從學(xué)生思維發(fā)展水平的角度出發(fā)，從數(shù)學(xué)內(nèi)容的發(fā)生發(fā)展過程的角度出發(fā)，達(dá)成“過程性目標(biāo)”.

再次，“由小及大”，基于學(xué)生，把握問題設(shè)計(jì)的主線.在溫習(xí)好性質(zhì)后，充分利用變式教學(xué)，創(chuàng)設(shè)一個個蘊(yùn)含著活動性的問題，由問題情境構(gòu)建模型，從一個正方形到n個正方形再到矩形甚至三角形.這樣，以一個圖形為基礎(chǔ)，教師引導(dǎo)剖析了各題型，學(xué)生經(jīng)歷了一系列有梯度、有思維含量、有數(shù)學(xué)思想的變式題，學(xué)生就能從“相似三角形對應(yīng)高線長之比等于相似比”這個邏輯連貫的數(shù)學(xué)問題完成“性質(zhì)”的數(shù)學(xué)本質(zhì)刻畫；同時，在學(xué)生心中埋下了思維的種子，一旦今后遇到類似問題，這粒種子也許就能生根發(fā)芽.

三、“邏輯連貫”教學(xué)展示

基于以上的教學(xué)思考，給學(xué)生提供豐富的形象素材，從“表象”到“本質(zhì)”，構(gòu)筑起表象與數(shù)學(xué)本質(zhì)的橋梁，從而提供一個抓住本質(zhì)并對本質(zhì)有準(zhǔn)確理解的思維過程，促進(jìn)學(xué)生在抽象的過程中充分理解高度抽象的“性質(zhì)”.因此，教學(xué)以“性質(zhì)重溫”為基礎(chǔ)，輔之以“變式問題驅(qū)動”.通過類比分析，將歸納方法與嚴(yán)密思考相結(jié)合，直觀與抽象相結(jié)合，促使學(xué)生思維呈一個清晰的“螺旋上升”過程.

可構(gòu)建如下框架：性質(zhì)重溫，提出問題→變式引導(dǎo)，類比分析→承上啟下，運(yùn)用性質(zhì)→中考鏈接，性質(zhì)再應(yīng)用.

（一）性質(zhì)重溫，提出問題

相似三角形對應(yīng)高線長之比等于相似比，常見情形如圖1所示，△ABC中，DE∥BC，AM⊥BC交DE于點(diǎn)N，則DEBC=ANAM.

（二）變式引導(dǎo)，類比分析

如圖2所示，在△ABC中，D，E分別在AC，BC上，DE∥AB.過D，C，E分別向AB作垂線，垂足分別為F，H，G，CH交DE于P，已知CH=6，AB=12.

1.正方形問題：

變式（1）：如圖3所示，若四邊形DFGE是正方形，求正方形的邊長.

變式（2）：如圖4所示，若四邊形DFGE是并排的兩個相等的正方形，求正方形的邊長.

變式（3）：如圖5所示，若四邊形DFGE是并排的n個相等的正方形，求正方形的邊長.

練習(xí)：如圖6所示，已知M是線段AB上一點(diǎn)，若△MDE是等腰直角三角形，求DE的長.

設(shè)計(jì)意圖：這個練習(xí)是對以上正方形問題的鞏固提高，其實(shí)質(zhì)就是以上變式（1）（2）兩種情況，同時，解決這個問題要進(jìn)行分類討論，把問題轉(zhuǎn)化為正方形的情況，融多種數(shù)學(xué)思想于一體，有較豐富的思維含量.

2.矩形問題：

變式（1）：如圖7所示，矩形DFGE的最大面積為多少？

變式（2）：如圖8所示，已知M是線段AB上一點(diǎn)，則△MDE最大面積為多少？

設(shè)計(jì)意圖：由正方形問題過渡到矩形問題，旨在培養(yǎng)學(xué)生知識的遷移能力，從中也體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，解決問題時，還需要建立面積關(guān)于邊長的二次函數(shù)模型，從而發(fā)現(xiàn)變化情況，求出面積的最大值，從中可以培養(yǎng)學(xué)生的建模能力.

（三）承上啟下，運(yùn)用性質(zhì)

折疊問題：

變式（1）：如圖9所示，在DE的下方，作以DE為邊長的正方形，設(shè)DE=x，正方形與△ABC的重疊面積為y，求y與x的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

變式（2）：如圖10所示，將△CDE沿DE折疊，使△CDE落在四邊形ABED所在平面，設(shè)點(diǎn)C落在平面的點(diǎn)為M，DE的長為x，△MDE與四邊形ABED重疊部分的面積為y，當(dāng)x為何值時，y最大，最大值為多少？

設(shè)計(jì)意圖：折疊問題使復(fù)習(xí)的梯度再次得以提升，思維含量大大提高，能培養(yǎng)學(xué)生的分類討論的能力，能鍛煉學(xué)生如何把問題轉(zhuǎn)化為已學(xué)內(nèi)容或者已解決的內(nèi)容的能力，即轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

（四）中考鏈接，性質(zhì)再應(yīng)用

中考鏈接（2013年紹興中考22題）：

若一個矩形的一邊是另一邊的兩倍，則稱這個矩形為方形.如圖11所示，矩形ABCD中，BC=2AB，則稱ABCD為方形.

（1）設(shè)a，b是方形的一組鄰邊長，寫出a，b的值（一組即可）；

（2）在△ABC中，將AB，AC分別五等分，連接兩邊對應(yīng)的等分點(diǎn)，以這些連接線為一邊作矩形，使這些矩形的邊B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的對邊分別在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如圖12所示.

① 若BC=25，BC邊上的高為20，判斷以B4C4為一邊的矩形是不是方形？為什么？

② 若以B3C3為一邊的矩形為方形，求BC與BC邊上的高之比.

設(shè)計(jì)意圖：展示中考題，是這一性質(zhì)在中考運(yùn)用中的生動體現(xiàn)，激起學(xué)生研究這一問題的動力和信心，同時，中考題的解決，使這一性質(zhì)的運(yùn)用再次得到鞏固.

四、“邏輯連貫”教學(xué)亮點(diǎn)

本課教學(xué)能根據(jù)數(shù)學(xué)新課標(biāo)的基本理念，精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，采用啟發(fā)式教學(xué)能引導(dǎo)學(xué)生分析、思考、探索、理解和掌握相似三角形的性質(zhì)，同時充分利用多媒體教學(xué)手段，調(diào)動學(xué)生多種感官參與學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在變式中運(yùn)用所學(xué)知識，體現(xiàn)了復(fù)習(xí)課的知識習(xí)題化，習(xí)題層次化.

（一）習(xí)題引路，有理有利

在知識梳理中，采用“一步到位”的策略給出本節(jié)課所要復(fù)習(xí)的知識（相似三角形的性質(zhì)、基本圖形“A字圖”），切實(shí)做到知識習(xí)題化、知識問題化.教師從熟悉的問題出發(fā)，并借助問題串的形式，讓學(xué)生在解題中不僅回顧了要復(fù)習(xí)的知識，而且強(qiáng)化了對基本圖形和基本方法的認(rèn)識，對綜合性例題的學(xué)習(xí)很有幫助作用，通過這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，既有理又有利.

（二）習(xí)題變式，層層推進(jìn)

在變式引導(dǎo)，類比分析教學(xué)過程中，采用“小步走”的策略.先通過較簡單的例題入手，引導(dǎo)學(xué)生利用相似判定及性質(zhì)求正方形、矩形的邊長.隨后，設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)的問題，通過逐步增加或改變一些條件，一步一步地引導(dǎo)學(xué)生深入分析問題和解決問題.學(xué)生在不同條件下尋求解決問題的方法，不僅有效鞏固了相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，而且明確了此類題的解題思路：兩個三角形相似，對應(yīng)邊上的高之比等于底邊之比.同時，引導(dǎo)學(xué)生整理，歸納“基本圖形”，強(qiáng)化對基本圖形和基本方法的認(rèn)識.為承上啟下，運(yùn)用性質(zhì)的教學(xué)過程打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)；設(shè)計(jì)的變式習(xí)題，不僅揭示了解決幾何問題的基本方法，更是豐富了學(xué)生的思維空間，提高了學(xué)生的思維靈活性，促使學(xué)生的推理能力進(jìn)一步得到深化和提高.

（三）基于學(xué)生，提高效率

本節(jié)課復(fù)習(xí)由一個“邏輯連貫”問題入手，涉及的知識點(diǎn)較多，題目設(shè)計(jì)的數(shù)量大.但是，通過導(dǎo)學(xué)案和課件進(jìn)行演示，使本節(jié)課有充足的時間讓學(xué)生進(jìn)行思考和參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，同時也有足夠的時間進(jìn)行師生互動.從真實(shí)的課堂學(xué)習(xí)活動中，可以看到學(xué)生在分析問題、解決問題和歸納總結(jié)中時間充足、思考充分、解題過程規(guī)范有序；與此同時，教師有更多的時間參與學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，能更加深入了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和學(xué)習(xí)效果，能更有效把控學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成度，更體現(xiàn)了復(fù)習(xí)的效率.

五、結(jié)束語

在邏輯連貫上做大文章，講透做足.不妨做一些這樣的整理、歸納，教學(xué)中確定一個邏輯連貫，以此為主線，整理相關(guān)題型，并通過變式輔助教學(xué)；復(fù)習(xí)無定法，與其追求“大而全”的大包圍形式，不如尋求“小而精”的格局，前者力爭面面俱到，可惜平均化而無重點(diǎn)，或泛泛之談，怎給人留下印象？后者可能不全面，但勝在有取舍有重心，可以談得深說得透，使學(xué)生在上完一堂復(fù)習(xí)課后扎實(shí)掌握了一個定理的深入運(yùn)用，熟練掌握了一種方法的巧妙運(yùn)用，深入理解了一個圖形的本質(zhì)特征，使中考復(fù)習(xí)重點(diǎn)突出，難點(diǎn)突破，亮點(diǎn)不斷，記憶猶新.

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