何貞志，徐曉冬，邵明輝

(1.江蘇師范大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 徐州 221116；2.蘭州理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050)

0 引 言

滾動(dòng)軸承廣泛應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，軸承缺陷是引起機(jī)械故障的重要因素之一。軸承缺陷包括兩大類：分布式缺陷和局部式缺陷。一般來說，軸承劃傷缺陷是引起軸承失效的主要原因。

軸承劃傷缺陷的振動(dòng)響應(yīng)模型是為了研究缺陷對軸承沖擊引起的軸承振動(dòng)響應(yīng)，在軸承結(jié)構(gòu)振動(dòng)模型的基礎(chǔ)上提出的一種軸承振動(dòng)簡化模型[1]。對軸承缺陷模型的建立主要存在以下方法：

(1)局部式缺陷的沖擊序列模型。MCFADDEN等[2-3]使用一串串周期性脈沖函數(shù)模擬單點(diǎn)和多點(diǎn)局部式缺陷對軸承振動(dòng)的影響，使用脈沖函數(shù)中的放大系數(shù)表示缺陷的沖擊程度；CHOUDHURY等[4]使用沖擊力序列模擬軸承局部式缺陷的激勵(lì)作用，該沖擊力激起了內(nèi)圈、外圈等軸承元件的共振模態(tài)；陳於學(xué)等[5]利用脈沖沖擊波模擬滾動(dòng)軸承早期缺陷振動(dòng)；曹宏瑞等[6]、武濟(jì)鋼等[7]利用一系列沖擊脈沖描述滾動(dòng)體經(jīng)過損傷時(shí)產(chǎn)生的沖擊現(xiàn)象。

(2)軸承系統(tǒng)的多體動(dòng)力學(xué)模型，這種模型建立軸承系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，并對其進(jìn)行求解得到軸承系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)，將軸承缺陷引起的軸承元件間的附加趨近量添加到正常情況下的彈性趨近量中，根據(jù)Hertz接觸理論計(jì)算接觸載荷。ARSLAN等[8]建立了軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，研究了局部式缺陷引起的角接觸球軸承的振動(dòng)特性；PATEL等[9]考慮局部式缺陷的寬度和深度建立了套圈含局部式缺陷的滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)模型；MOAZEN等[10]考慮滾動(dòng)體的質(zhì)量建立了滾動(dòng)軸承非線性動(dòng)力學(xué)模型，研究了局部式缺陷對接觸載荷及振動(dòng)的影響。

本文將通過引入劃傷缺陷引起軸承內(nèi)、外圈之間額外彈性趨近量，利用余弦函數(shù)建立內(nèi)圈劃傷、外圈劃傷的缺陷模型，從而得到劃傷缺陷滾動(dòng)軸承外圈的非線性動(dòng)力學(xué)模型，并基于Simulink進(jìn)行仿真求解，得到外圈的缺陷振動(dòng)響應(yīng)，同時(shí)對振動(dòng)特性進(jìn)行分析，為滾動(dòng)軸承振動(dòng)仿真分析及故障診斷提供理論依據(jù)。

1 滾動(dòng)軸承劃傷缺陷動(dòng)力學(xué)模型

假設(shè)軸承內(nèi)圈以恒速旋轉(zhuǎn)，外圈在外加徑向載荷Fr的作用下不轉(zhuǎn)動(dòng)。本研究在建立滾動(dòng)軸承振動(dòng)模型時(shí)，忽略滾動(dòng)體的質(zhì)量，將滾動(dòng)體與外圈和內(nèi)圈間的接觸采用彈簧和阻尼來代替，討論軸承的振動(dòng)特性，軸承的振動(dòng)模型如圖1所示。

圖1 軸承的振動(dòng)模型

假設(shè)滾動(dòng)體勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則t時(shí)刻第j個(gè)滾動(dòng)體的方位角可以寫為：

(1)

式中：ωc—保持架轉(zhuǎn)動(dòng)角頻率；φ0—首個(gè)滾動(dòng)體的初始方位角；Z—滾動(dòng)體個(gè)數(shù)。

1.1 接觸變形量

考慮無缺陷軸承中的接觸情況。根據(jù)圖1所示的球軸承振動(dòng)模型，在外界因素的作用下，軸承轉(zhuǎn)動(dòng)過程中內(nèi)、外圈滾道與滾動(dòng)體之間產(chǎn)生接觸變形，方位角φj處的正常軸承內(nèi)、外圈滾道的相對趨近量δj可以表示為：

δj=-xsinφj-zcosφj-Cr

(2)

式中：Cr—滾動(dòng)軸承的徑向間隙。

若軸承元件中存在缺陷，當(dāng)缺陷位于滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈滾道的接觸區(qū)域時(shí)，缺陷的存在將產(chǎn)生額外的彈性趨近量δ′。

滾動(dòng)軸承內(nèi)、外圈滾道表面劃傷缺陷模型如圖2所示。

圖2 劃傷缺陷示意圖

此處假設(shè)缺陷為早期劃傷缺陷，即缺陷寬度較小，滾動(dòng)體經(jīng)過劃傷缺陷時(shí)不與缺陷底部接觸。

當(dāng)滾動(dòng)體進(jìn)入損傷區(qū)域時(shí)，其和滾道之間由于缺陷產(chǎn)生的額外趨近量可使用余弦函數(shù)表示為[11]：

(3)

式中：v—接觸零件之間移動(dòng)的相對速度；wd—缺陷寬度；φd0—缺陷初始方位角；φj，φd—滾動(dòng)體和缺陷的瞬時(shí)方位角；φ—缺陷范圍角，φ≈2wd/d；d—?jiǎng)潅毕菟跐L道的直徑(內(nèi)圈或外圈滾道)；Δ—缺陷引起趨近量的幅值。

Δ大小由缺陷嚴(yán)重程度及軸承幾何尺寸決定：

(4)

式中：“+”—內(nèi)圈劃傷情況；“-”—外圈劃傷情況；φb≈2wd/Db；Db——滾動(dòng)體直徑。

此時(shí)，內(nèi)、外圈間的總接觸變形量為原接觸變形與缺陷引起的內(nèi)、外圈額外趨近量之和，即：

δej=δj+δ′

(5)

1.2 接觸載荷和阻尼力

在滾動(dòng)軸承的接觸問題分析中，只有當(dāng)滾子和內(nèi)、外圈滾道接觸時(shí)才產(chǎn)生接觸載荷Qsj，因此，本研究將接觸載荷表示為分段函數(shù)，即當(dāng)接觸變形量為正值時(shí)才存在接觸載荷，否則接觸載荷為0。根據(jù)Hertz接觸理論，方位角φj處內(nèi)、外圈的接觸載荷Qsj可表示為[12]：

(6)

式中：Kn—內(nèi)、外圈等效載荷-變形系數(shù)；n—載荷-變形指數(shù)。

對球軸承，n=3/2；對滾子軸承，n=10/9。

同樣的，接觸副間的阻尼力Qdj可以寫為：

(7)

式中：c—等效粘性阻尼系數(shù)。

1.3 軸承外圈動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)圖1可以得到軸承外圈X向和Z向的運(yùn)動(dòng)微分方程分別為：

(8)

(9)

式中：mo—外圈質(zhì)量；Fr—施加在外圈上的徑向載荷；Z—滾子個(gè)數(shù)；Qsj，Qdj—方位角φj處內(nèi)、外圈接觸副間接觸載荷和阻尼力，分別由式(6，7)給出。

2 Simulink動(dòng)力學(xué)仿真模型

Matlab是當(dāng)今較流行的以數(shù)值計(jì)算為主的軟件，其中自帶的仿真工具包Simulink可以較為方便地按照給定方程對動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行建模、仿真求解和分析。用戶既可用方框圖建立仿真模型[13]，也可以使用Matlab語言編寫M文件構(gòu)建模型。與傳統(tǒng)的仿真軟件相比，Simulink具有直觀、方便、靈活的特點(diǎn)。

利用Simulink進(jìn)行數(shù)值仿真的一般步驟為：建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型；在Simulink中建立數(shù)字仿真模型并設(shè)置仿真參數(shù)[14]；執(zhí)行仿真得出仿真結(jié)果并分析。

2.1 建立仿真模型

使用標(biāo)準(zhǔn)的積分模塊，根據(jù)軸承外圈x向和z向加速度得到相應(yīng)的速度、位移狀態(tài)，根據(jù)式(8，9)可以得到Simulink環(huán)境下的滾動(dòng)軸承劃傷缺陷動(dòng)力學(xué)模型，如圖3所示。

其中，為了使程序框圖整潔、易理解，模型中使用了Subsystem、From、Goto、Bus Creator、Bus Selector等模塊。

其中，F(xiàn)orceSum模塊的功能是根據(jù)每個(gè)滾子位置處的接觸彈性力Qsj和阻尼力Qdj計(jì)算x向和z向總接觸載荷，如圖4所示。

圖4 計(jì)算總接觸載荷的ForceSum模塊

根據(jù)軸承外圈、內(nèi)圈之間的相互位置關(guān)系及劃傷缺陷模型，由式(2，5)可計(jì)算各滾子處的接觸變形量δj，根據(jù)接觸載荷的計(jì)算公式(6，7)，得到軸承外圈的接觸載荷，如圖5所示。

圖5 各滾子處接觸載荷的計(jì)算

在滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)問題中的載荷為接觸載荷，僅當(dāng)軸承元件接觸時(shí)存在載荷，即該接觸載荷為分段函數(shù)，如式(6，7)所示。使用Simulink標(biāo)準(zhǔn)模塊可以對此進(jìn)行建模，但模型將比較復(fù)雜。因此使用Matlab function實(shí)現(xiàn)模型中的分段函數(shù)，具有簡單直觀的特點(diǎn)，如圖5中Judgement模塊所示。

2.2 設(shè)置仿真參數(shù)

利用Simulink對動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行仿真，需要對仿真參數(shù)進(jìn)行合理的設(shè)置：

(1)仿真時(shí)間的設(shè)置。開始時(shí)間為0 s，停止時(shí)間為0.2 s；

(2)求解器類型的選擇。選擇Variable-step變步長、ode45算法；

(3)初始值的設(shè)置。x、z的積分初值設(shè)置為靜力平衡情況下的x0、z0。

3 仿真結(jié)果及分析

以某型號球軸承為例，主要參數(shù)如表1所示。

表1 球軸承主要參數(shù)

其中，徑向載荷為1 000 N，主軸轉(zhuǎn)速(內(nèi)圈轉(zhuǎn)速)為1 500 r/min，可得內(nèi)圈轉(zhuǎn)動(dòng)頻率ωs為25 Hz。對于內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)、外圈不轉(zhuǎn)動(dòng)的軸承，當(dāng)軸承內(nèi)圈滾道、外圈滾道存在缺陷時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系可得到滾動(dòng)體通過內(nèi)圈滾道或外圈滾道上一個(gè)缺陷的通過頻率，即內(nèi)圈缺陷頻率、外圈缺陷頻率，分別表示為：

(10)

(11)

因此，可得保持架轉(zhuǎn)動(dòng)頻率ωc為9.5 Hz，外圈缺陷頻率ωo為76.3 Hz，內(nèi)圈缺陷頻率ωi為123.7 Hz。

3.1 正常軸承仿真結(jié)果

滾動(dòng)軸承無缺陷時(shí)，利用Simulink仿真得到的內(nèi)圈-外圈接觸變形量及接觸載荷的變化、軸承外圈Z向的加速度響應(yīng)如圖6所示。

圖6 正常軸承振動(dòng)響應(yīng)

由圖6可知：

(1)在徑向載荷作用下，軸承中某一滾動(dòng)體處的內(nèi)圈-外圈接觸變形量和接觸載荷均呈周期性變化，如圖6(a，b)所示；

(2)在軸承轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，某一滾動(dòng)體并不是始終與內(nèi)圈、外圈接觸，存在脫離接觸的情況，即圖中接觸變形量及接觸載荷為零的時(shí)刻，該時(shí)間與徑向載荷、軸承結(jié)構(gòu)及游隙等有關(guān)，如圖6(a，b)所示；

(3)正常軸承外圈Z向存在周期性的低幅振動(dòng)(最大幅值約為0.2 m/s2)，其周期為滾動(dòng)體通過頻率，如圖6(c)所示。實(shí)際上，這種振動(dòng)是由于使用了有限個(gè)滾動(dòng)體支撐方式，在軸承運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，鋼球的方位角是不斷變化的，導(dǎo)致軸承承載區(qū)內(nèi)的承載鋼球數(shù)目及承載力周期性變化，軸承的剛度呈周期性變化，而軸承剛度變化引起了軸承的振動(dòng)。

3.2 劃傷缺陷軸承振動(dòng)仿真結(jié)果

令劃傷缺陷的寬度為0.8 mm，深度為0.1 mm，初始方位角為0°。本研究分別設(shè)劃傷缺陷位于外圈滾道和內(nèi)圈滾道，利用Simulink進(jìn)行仿真求解，得到軸承外圈向振動(dòng)加速度信號隨時(shí)間的變化，如圖7所示。

圖7 劃傷缺陷軸承振動(dòng)響應(yīng)(a外圈劃傷b內(nèi)圈劃傷)

對應(yīng)的包絡(luò)譜如圖8所示。

圖8 劃傷缺陷軸承振動(dòng)包絡(luò)譜(a外圈劃傷b內(nèi)圈劃傷)

由圖(7，8)可以看出：

(1)軸承劃傷缺陷激起了軸承的高頻固有振動(dòng)，表現(xiàn)為軸承外圈振動(dòng)信號中周期性的阻尼振蕩衰減波，如本例中外圈劃傷和內(nèi)圈劃傷引起的振動(dòng)衰減波周期分別為13.11 ms和8.09 ms；

(2)產(chǎn)生的阻尼振蕩衰減波出現(xiàn)的頻率與鋼球通過缺陷的頻率有關(guān)，即特征缺陷頻率，通過對振動(dòng)信號進(jìn)行包絡(luò)分析可以有效地提取特征缺陷頻率，可以看到軸承缺陷頻率及其倍頻的存在，即外圈缺陷頻率為76.3 Hz，內(nèi)圈缺陷頻率為123.6 Hz，這與理論結(jié)果一致；

(3)外圈劃傷缺陷產(chǎn)生的阻尼振蕩衰減波幅值基本相等，而內(nèi)圈劃傷缺陷產(chǎn)生的阻尼振蕩衰減波幅值受到了調(diào)制，調(diào)制波的周期為39.68 ms，頻率為25.2 Hz，即為內(nèi)圈的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率；這在圖8包絡(luò)譜分析中表現(xiàn)為在內(nèi)圈劃傷缺陷頻率附近存在旁瓣頻率成分，間隔為內(nèi)圈轉(zhuǎn)動(dòng)頻率25.2 Hz，該現(xiàn)象與文獻(xiàn)[1]給出的結(jié)果一致。

3.3 動(dòng)力學(xué)模型驗(yàn)證

基于BVT-5型軸承振動(dòng)測量儀，筆者分別使用含有內(nèi)圈劃傷、外圈劃傷缺陷的滾動(dòng)軸承進(jìn)行振動(dòng)測試。當(dāng)施加徑向載荷為1 000 N，主軸轉(zhuǎn)速為1 500 r/min時(shí)，采集軸承外圈徑向振動(dòng)信號，并對其進(jìn)行包絡(luò)分析。本研究將實(shí)驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果作對比，如圖9所示。

圖9 動(dòng)力學(xué)模型的驗(yàn)證

其中，本研究對振動(dòng)包絡(luò)譜幅值經(jīng)過了歸一化處理。由對比結(jié)果可以看出：劃傷缺陷軸承振動(dòng)的仿真結(jié)果與實(shí)測結(jié)果基本一致，都存在劃傷缺陷頻率及其倍頻成分。因此，本文給出的基于Simulink的滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)分析結(jié)果是正確的。

4 結(jié)束語

基于接觸力學(xué)方法，本文通過將額外彈性趨近量引入到缺陷激勵(lì)模型中，建立了滾動(dòng)軸承劃傷缺陷的非線性動(dòng)力學(xué)模型，并基于Matlab/Simulink對模型進(jìn)行仿真求解，得到了接觸變形、接觸載荷及外圈加速度隨時(shí)間的變化結(jié)果。

根據(jù)仿真結(jié)果，本文對缺陷軸承的振動(dòng)特性進(jìn)行了分析。研究結(jié)果表明：徑向載荷作用下，正常軸承內(nèi)圈-外圈接觸變形量和接觸載荷均呈周期性變化，導(dǎo)致軸承剛度呈周期性變化，因而軸承外圈Z向仍存在周期性的低幅振動(dòng)；劃傷缺陷激起軸承的高頻固有振動(dòng)，產(chǎn)生周期性的阻尼振蕩衰減波，其出現(xiàn)的頻率為特征缺陷頻率；外圈缺陷引起的阻尼衰減波幅值基本相等，而內(nèi)圈缺陷引起的阻尼衰減波幅值受到了調(diào)制。同時(shí)，根據(jù)劃傷缺陷引起的振動(dòng)響應(yīng)包絡(luò)譜的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果的對比，驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)模型及Simulink仿真模型的正確性。

參考文獻(xiàn)(References):

[1] TANDON N， CHOUDHURY A. A review of vibration and acoustic measurement methods for the detection of defects in rolling element bearings[J].TribologyInternational，1999，32(8):469-480.

[2] MCFADDEN P D， SMITH J D. The vibration produced by multiple point defects in a rolling element bearing[J].JournalofSoundandVibration，1985，98(2):263-273.

[3] MCFADDEN P D， SMITH J D. Model for the vibration produced by a single point defect in a rolling element bearing[J].JournalofSoundandVibration，1984，96(1):69-82.

[4] CHOUDHURY A， TANDON N. Vibration response of rolling element bearings in a rotor bearing system to a local defect under radial load[J].JournalofTribology，2006，128(2):252-261.

[5] 陳於學(xué)，王冠兵，楊曙年. 滾動(dòng)軸承早期缺陷振動(dòng)的簡化模型[J]. 軸承，2007(10):18-21，34.

[6] 曹宏瑞，李亞敏，成 瑋，等. 局部損傷滾動(dòng)軸承建模與轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)仿真[J]. 振動(dòng)、測試與診斷，2014，34(3):549-552.

[7] 伍濟(jì)鋼，楊曾增，蔣 勉，等. 滾動(dòng)軸承表面損傷故障動(dòng)力學(xué)建模方法研究[J]. 機(jī)械傳動(dòng)，2016(2):27-33.

[8] ARSLAN H， AKTURK N. An investigation of rolling element vibrations caused by local defects[J].JournalofTribology，2008，130(4):41101.

[9] PATEL V N， TANDON N， PANDEY R K. A dynamic model for vibration studies of deep groove ball bearings considering single and multiple defects in races[J].JournalofTribology，2010，132(4):41101.

[10] AHMADI A M, PETERSEN D， HOWARD C. A nonlinear dynamic vibration model of defective bearings-the importance of modelling the finite size of rolling elements[J].MechanicalSystemsandSignalProcessing，2015，52-53(1):309-326.

[11] PATEL V N， TANDON N， PANDEY R K. Vibration studies of dynamically loaded deep groove ball bearings in presence of local defects on races[J].ProcediaEngineering，2013( 64):1582-1591.

[12] HARRIS T A， KOTZALAS M N. Rolling bearing analysis[M]. New York: Wiley，2001.

[13] 孔佳元，張 雷.考慮柔性和間隙的螺旋引緯機(jī)構(gòu)仿真分析[J].輕工機(jī)械，2017，35(1)：5-9.

[14] 徐國寶，馬金鳳，王延軍.基于Adams的跌落式裝箱機(jī)動(dòng)力學(xué)仿真研究[J].包裝與食品機(jī)械，2016(1)：44-47.