馮韻珊

【摘要】文章對因式分解的方法進行了總結，主要包括：提取公因式法、公式法，分組分解法、十字相乘法和雙十字相乘法、拆項和添項法等.并通過實例說明了因式分解在教育教學中應該注意的問題與技巧.

【關鍵詞】 因式分解 解題方法 教學技巧

在中學數(shù)學教學中，多項式因式分解是一種重要的代數(shù)變形方法，被廣泛地應用在初等數(shù)學之中，是我們解決許多數(shù)學問題的有力工具，不僅用于計算代數(shù)式的化簡，求值解方程和不等式代數(shù)內(nèi)容，而且在幾何、三角等解不等式代數(shù)中扮演重要角色.因此學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對于培養(yǎng)學生的解題技能，發(fā)展學生的思想能力，都有著十分獨特的作用.本文通過實例教學說明因式分解的方法與技巧。

一、提取公因式法

各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項公因式.若多項式各項含有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提取公因式法.

方法：當各項系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)應取各項系數(shù)的最大公約數(shù)字母取各項的相同的字母而且各項字母的指數(shù)取次數(shù)最低.如果多項式的第一項是負的，在教學中要強調(diào)提出“-”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)成為正數(shù).提取“-”號時，注意多項式的各項都要變號.

例1：分解因式.

分析：這是一個簡單的二項式，各項系數(shù) 的最大公因數(shù)為 ，因為第一項是負的，所以最大公因數(shù)為 ，各項字母 最低指數(shù)為 ，可以直接提取公因式 .

解： .

點悟：通過分析、觀察，提出公因式.

口訣：找準公因式，一次要提盡，全家都搬走，留“1”把家守，提負要變號，變形看奇偶.

注意：把 變成 不叫提取公因式.

二、公式法

如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法.

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點悟：套用完全平方公式，再化簡分解的結果.能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)（或式）的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)（或式）的積的2倍.

小結：學生運用公式法的關鍵是熟悉公式，而這些公式都是把乘法公式反過來得到的.只有掌握并牢固記住各公式的形式和特點，善于觀察出一個多項式能否化成符合公式的模型結構，才能準確的利用公式分解.

三、十字相乘法

利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法.

例5：因式分解 .

分析：這個多項式可以看作是關于 的二次三項式，把 看作常數(shù)項，在分解二次項及常數(shù)項系數(shù)時，只需分解 和 ，用十字交叉線分解后，經(jīng)過觀察，選取合適的一組：

小結：十字相乘法有兩種情況：（1） 型的式子的因式分解，這類二次三項式的特點是：二次項系數(shù)是1；常數(shù)項是兩個數(shù)的積；一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因式的和.因此，可以直接將某些二次項的系數(shù)是1的二次三項式因式分解為 .（2） 型式子的因式分解，如果有 ， ，且有 時，那么 .

口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中.

四、雙十字相乘法

雙十字相乘法屬于因式分解的一類，類似于十字相乘法.雙十字相乘法就是二元二次六項式，原始的式子如下： （ ， 為未知數(shù)），其余都是常數(shù).

步驟：（1）先用十字相乘法分解二次項； （2）先依一個字母（如 ）的一次系數(shù)分數(shù)常數(shù)項.如十字相乘法；（3）再按另一個字母的一次系數(shù)進行檢驗，如十字相乘法，這一步不能省，否則容易出錯；（4）縱向相乘，橫向相加.

例7：因式分解 .

分析：這是一個二次六項式，可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解.

小結：雙十字相乘法是在十字相乘法的基礎上產(chǎn)生的，即經(jīng)過兩次十字相乘法再得出結果的，例題中的做法就是按照了以上步驟進行才得以解決，這種做法不難，無非就是分成兩步，然后逐步求解因式.

五、分組分解法

利用分組來分解因式的方法叫做分組分解.分組分解法是因式分解中較為復雜的一種方法，是提取公因式和公式法的綜合運用，只能用于有四項或六項還有大于六項的方程，一般的分組分解有兩種形式：二、二分法，三、一分法.

例8：因式分解 .

小結：（1）二、二分法的步驟：分組后每組可提取公因式或利用公式進行分解；各組分解后，兩大項仍可繼續(xù)提公因式分解；（2）三、一分法的步驟：三項一組的可用完全平方公式分解；兩大項可用平方差公式繼續(xù)分解.

六、換元法

有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同部分換成另一個未知數(shù)，然后進行因式分解，最后再轉換回來，這種方法叫做換元法.

例10：因式分解 .

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點悟：解題時應靈活采用多種方法進行因式分解.

注意：換元后勿忘還原.

小結：這兩題中的項數(shù)和次數(shù)比較高，結構復雜，如果全部展開會把問題復雜化，所以可考慮對相同的部分進行換元，把問題變得簡單化，這樣更容易分解因式.

七、拆、添項法

這種是把多項式的某一項拆開或者填補上互為相反數(shù)的兩項（或幾項），使原式適合于提取公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解.要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形.

例12：因式分解 .

分析：上式可先考慮拆項，再分解.因為 是 與 的平方和，缺少含 項.故將 拆成 與 的和，將原多項式變形為四項式，再進行因式分解.

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點悟：拆項前、后的值不變，分組后靈活運用公式進行因式分解.

小結：通過整理幾個同類項合并或將兩個僅符號相反的同類項互相抵消，但是這里需要恢復那些被合并或相互抵消的項，可用添項和拆項法.

綜上所述不難發(fā)現(xiàn)，因式分解是把一個多項式分解成幾個整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運算，在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用，在其它學科中也有廣泛應用，在初中教育教學中應注意以下幾點：

1. 因式分解的對象是多項式；

2. 因式分解的結果一定是整式乘積的形式；

3. 分解因式，必須進行到每一個因式都不能再分解為止；

4. 結果如有相同因式，應寫成冪的形式；

5. 因式分解的一般步驟是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個步驟都不能實施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解；

（2）若上述方法都行不通，可以嘗試用雙十字相乘法、換元法、拆項、添項法等方法.

參考文獻

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