徐愈強

摘 要：在日常生活中，多端口電路就有廣泛的應用，其中常見的便是Y—Δ這樣的三端網(wǎng)絡的相互轉化。而這種轉化通常來說通過不同端口的等效懸空可以推導出電阻之間的關系。而本文則提出一種利用歐姆定律來實現(xiàn)對Y—Δ電路的這一轉換，來加深對于歐姆定律的理解，有助于更容易的對此類型問題進行一個解答。

關鍵詞：直流電路；歐姆定律；Y形電路；Δ形電路

電阻是對回路中某一段導體對電流的阻礙作用的量化描述，在實際的回路中，節(jié)點之間的電學特性往往比單個電阻，或者多電阻的串聯(lián)或并聯(lián)復雜，通常處理節(jié)點之間的電路問題，主要靠黑匣子測試方法，即不去預先確定電路中由哪些等效電路構成，二是通過測試節(jié)點間的電特性，反向建模去模擬節(jié)點之間的電特性，由此形成的電路是等效電路，雖然與實際電路的具體形式不一定相同，但其電特性可以互換。

對于更加復雜的電阻組態(tài)，不能直接用串并聯(lián)方程和歐姆定律計算電阻大小的情形，如在復雜電網(wǎng)中，存在交叉的節(jié)點群，無法通過簡單的并聯(lián)或者串聯(lián)進行計算，因此需要結合數(shù)學方法，結合歐姆定律進行分析求解，而往往這樣的工具還是不夠，有的電阻的鏈接方法不是常見的形式，在此條件下，需要將這種類型的連接形式，等效變換為熟悉的串并聯(lián)結構，因此要求等效變換的前提是，變換前后的網(wǎng)絡其電特性要完全一致，即兩點之間的電阻相同，節(jié)點流入的電路也相同，節(jié)點的個數(shù)也保持不變，只等效節(jié)點內部的電路部分；即整個被變換的網(wǎng)絡，可以完全用新的變換后的網(wǎng)絡來替代，而不對電路中其他部分造成任何影響。

最典型的電阻網(wǎng)絡是形如Y結構和△結構的電阻連接關系，在實際的電路網(wǎng)中，這兩種電阻的分布關系也是最常見的，因此先從兩種電路的等效變換著手，通過上述討論的原則，推導出應該滿足的交換數(shù)學表達式，再次基礎上，分析了一種新的電阻網(wǎng)絡，用同樣的原則進行了推導，最后本文對這種共性的方法進行了總結。

本文先就Y形電路到Δ電路的轉換進行論證。

首先，我們將兩個電路圖看做兩個黑匣子，只留出①，②，③三個端口在外面，原則是，從端口看進去的電阻，以及流入流出的電流，在變換前后不變；給出一個先決的等效條件：①，②，③按鈕處對應的電壓電流分別相等。即

現(xiàn)在，我們先對Δ形電路進行一個分析，對于1號端口的干路電流分析，因為I1 這個主干電流在經過第一個交接點時，就會有分流現(xiàn)象，一個是流向2號端口，一個流向3號端口，根據(jù)串聯(lián)電路的電流關系可以得知，干路電流等于各支路電流之和，而且，根據(jù)歐姆定律，我們可以得到電流等于該電路兩端電壓除以該電路上的電阻：I=U/R。

而這樣的式子在另外兩個端口依然適用，我們就可以將這個式子同理推導過去，就可以得到這樣一個總的式子：

以上，就是關于Δ形電路各電阻之間的關系的一個分析與推導，下面，我們用同樣的分析方法來分析一下另外一個Y形電路，并通過之前的先決條件來找到兩電路轉換的方式。

那么，關于Y形電路，首先，在這個電路的最中間有一個節(jié)點，而我們由圖一可以看到，三個電流都會匯向這個節(jié)點，而由日常生活中的現(xiàn)象我們可以得知，電流不可能就像這樣一直增加下去。所以，這里我們可以得到第一個方程：

現(xiàn)在，我們來單獨分析1、2這兩個端口，在這里我們再次運用到歐姆定律，并且給出一個U12來代表1、2號這兩個端口之間的總電壓，所以由歐姆定律：I=U/R，我們可以得到另一個方程：

現(xiàn)在，我們拋開1號端口，來看2、3號這兩個，由我們剛剛所提到的，可以同理推導過來，同樣給出一個U23，就得到了另一個方程式：

那么，我們也可以得到最后一個方程：

我們仔細觀察這四個方程式，發(fā)現(xiàn)他們可以互相轉化，并用來表示某一個數(shù)值，因此，我們將這四個方程式聯(lián)立起來，將其化簡可以很清楚地得到各個干路電流與各支路電阻的關系，關系式如下：

以上，就是對于Y形電路的一個分析結果，我們仍然可以將電流用電阻與電壓表示出來，現(xiàn)在，我們就可以開始進行轉換了。

那么，我們就可以將這個公式帶入到實際問題之中，來驗證是否存在著一些問題。

對于此問題，我們可以先將4、5、6這三個電阻看成一組（1號組），將1、2、3看成一組（2號組），顯而易見，一號組組成的是一個Δ形電路，而二號組組成了一個Y形電路。

這里給出一個圖如圖三，例：在圖示的電路之中，R1=3Ω，R2=6Ω，R3=9Ω，R4=12Ω，R5=15Ω，R6=18Ω，U=3v，忽略電源內阻，試求，通過電源的電流。

因此，對于此問題，我們可以先將2號組，也就是Y形電路變換為一個Δ形電路，以此來達到簡化電路的目的。

而將2號組變?yōu)棣ば坞娐泛?，就可以發(fā)現(xiàn)，兩個Δ形電路的三個電阻，分別兩兩構成了一個并聯(lián)的部分，于是，我們就可以對這個電路做進一步的簡化，可以看到，在簡化后，只剩下一個Δ形的電路了。，而此時，我們就可以把這個問題看做一個簡單的串并聯(lián)問題從而得出答案了。

推算過程：將六個電阻分組，1、2、3為一組（二號組），4、5、6為一組（一號組）。

根據(jù)Y形電路—Δ形電路的轉化，可以將二號組變?yōu)轭愃朴谝惶柦M的Δ形電路。

由串并聯(lián)關系可得，R12、R4的并聯(lián)電阻=11*12/（11+12）

同理可得，R23、R5的并聯(lián)電阻=33*15/（33+15）

R31、R6的并聯(lián)電阻=16.5*18/（16.5+18）

在最后，可以得到只剩一個Δ形電路，此時，將這個Δ形，看做一個電阻與另外兩個電阻的并聯(lián)，來等效成一個電阻。

R總計算出來，約為：5.3255Ω

此時，我們就可以對提上所要求的，對流過電源的電流進行求解，

I總=U總/R總≈0.5633A 所求得解。

本文就Y形—Δ形電路的轉換，利用歐姆定律進行了一個較為詳細的論述，總的來說，其原則在于從任何端口向電阻網(wǎng)絡看進去，都符合歐姆定律的等效原則，以此保證對電路中其他部分的電壓電流都不產生任何影響，在計算基本的Y結構和△結構的等效交換量化關系基礎上，計算表明等效代換后的量值并沒有對結果有任何影響，文中的方法在證明的方面較其他的證明方法要略微簡單一些，讓初學者也可以很快的去理解到證明的過程。但本文提供的方法并不利于將此概念進行一個較為深入的理解，仍有進一步進行深入分析的必要。

而像這樣一類的問題，我們有時候或可以不僅僅將目光放在更為深奧的知識上，以求得解決方法。我們更應該好好利用我們所學過的，比如說歐姆定律，這樣的話，我們也許可以得到一個更為簡便的方案，幫助我們探索更為深奧的層面。

電路理論包含了包括基爾霍夫電流定律（KCL）和基爾霍夫電壓定律（KVL），其描述了通過任何一個節(jié)點的電流之和為0，即流入的電流必完全流出，而不存在電流堆積的現(xiàn)象，其二任何一個閉合的回路的電勢差為0，在這兩個基本定理的基礎上，通過分析不同的節(jié)點，以及選擇不同的回路，可以同時得到多個電壓電流關系，這構成了整個電路分析的理論基礎。此外，通過本文的分析方法，進一步地，可以將復雜的電阻網(wǎng)絡進行等效變化后計算，其好處是顯而易見的，等效變換使得電路分析更加直觀和清晰，有利于迅速的對復雜網(wǎng)絡的求解和計算。

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