劉春陽(yáng)

一、理論支撐

1.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的結(jié)果。

2.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)某一個(gè)領(lǐng)域所表達(dá)出的綜合性能力。初中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生需要具備的核心素養(yǎng)有數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等。

二、教學(xué)目標(biāo)

通過(guò)展開(kāi)、折疊，感受立體圖形與平面圖形之間的關(guān)系；有些立體圖形按照不同方式展開(kāi)成平面圖形，有些平面圖形也可以折疊成立體圖形；能想象并畫出簡(jiǎn)單幾何體的表面展開(kāi)圖，能根據(jù)表面展開(kāi)圖判斷、制作簡(jiǎn)單幾何體；經(jīng)歷、體驗(yàn)圖形的變化過(guò)程，發(fā)展空間觀念，養(yǎng)成研究性學(xué)習(xí)的良好習(xí)慣。

三、教學(xué)重、難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)。通過(guò)展開(kāi)、折疊，感受立體圖形與平面圖形之間的關(guān)系，體驗(yàn)圖形的變化過(guò)程，發(fā)展空間觀念。

2.教學(xué)難點(diǎn)。能想象并畫出簡(jiǎn)單幾何體的表面展開(kāi)圖，能根據(jù)表面展開(kāi)圖判斷、制作簡(jiǎn)單幾何體。

四、教學(xué)設(shè)計(jì)

活動(dòng)一：圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖。

1.圖片展示，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖片中的建筑物，探尋學(xué)過(guò)的幾何圖形——圓柱體。

引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圓柱體模型，分組討論下列問(wèn)題：

問(wèn)題1：怎么求圓柱體的側(cè)面積？

問(wèn)題2：圓柱體側(cè)面展開(kāi)會(huì)是什么圖形？

討論結(jié)束后，先請(qǐng)一位學(xué)生演示：沿圖1的虛線剪開(kāi)，展開(kāi)，觀察所得圖形，再探究它與立體圖形之間存在的數(shù)量關(guān)系。

設(shè)計(jì)意圖：從建筑物著手，抽象出幾何圖形，作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考。學(xué)生能真切感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活。培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。圓柱體的側(cè)面是曲面，其面積不容易計(jì)算，采取的策略是將曲面平面化，把不能直接解決的問(wèn)題，通過(guò)轉(zhuǎn)化，變成可以用已有的知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想。

2.教師引導(dǎo)學(xué)生思考。

問(wèn)題3：將圓柱體的側(cè)面沿不同的路線剪開(kāi)，展開(kāi)，所得到的平面圖形是否相同？

問(wèn)題4：這些平面圖形之間有什么關(guān)系？

學(xué)生按照自己設(shè)計(jì)的路線（如圖2）剪開(kāi)，并展開(kāi)成平面圖形，在小組內(nèi)討論，得出結(jié)論：將圓柱體的側(cè)面沿不同的路線剪開(kāi)，展開(kāi)所得到的平面圖形不相同，但是這些圖形經(jīng)過(guò)變換后，都可以得到第一種圖形——長(zhǎng)方形。得出圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖之間的關(guān)系：

立體圖形（側(cè)面）平面圖形

數(shù)量：1.圓柱底面圓的周長(zhǎng)等于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)；

2.圓柱的高等于長(zhǎng)方形的寬；

3.圓柱側(cè)面積等于長(zhǎng)方形的面積。

思想方法：轉(zhuǎn)化思想。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷展開(kāi)與折疊的全過(guò)程，體會(huì)立體圖與平面圖形之間的關(guān)系，增強(qiáng)空間想象能力；讓學(xué)生明白展開(kāi)與折疊都是解決問(wèn)題的辦法，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想；讓學(xué)生設(shè)計(jì)出不同的路線，剪開(kāi)，展開(kāi)，有助于培養(yǎng)學(xué)生設(shè)計(jì)問(wèn)題的能力和創(chuàng)新意識(shí)，同時(shí)又能增強(qiáng)學(xué)生做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的操作能力。先從“數(shù)量”角度探究剪的圖形與長(zhǎng)方形之間存在相等關(guān)系，進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生思考：從“形”的角度看，它們之間會(huì)不會(huì)存在著某種必然的聯(lián)系？體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想。多樣化的展開(kāi)方式有較強(qiáng)的創(chuàng)新性，同時(shí)也體現(xiàn)了圖形的內(nèi)在統(tǒng)一性。創(chuàng)新意識(shí)是學(xué)生核心素養(yǎng)中的核心，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，數(shù)學(xué)教學(xué)有不可替代的作用和價(jià)值。

活動(dòng)二：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖。

實(shí)物展示：在日常生活中，有些建筑物可以抽象成圓錐體。仿照研究圓柱體側(cè)面展開(kāi)圖的方法，探究圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖。

問(wèn)題5：怎么計(jì)算圓錐的側(cè)面積？ 圓錐體側(cè)面展開(kāi)又會(huì)是怎樣的圖形呢？

操作：請(qǐng)一名學(xué)生演示，將圓錐側(cè)面沿如圖4的虛線剪開(kāi)，展開(kāi)，然后，其他同學(xué)各自將課桌上的圓錐側(cè)面沿虛線剪開(kāi)，展開(kāi)，再將其卷起作為圓錐的側(cè)面，反復(fù)操作。

探究它們之間的數(shù)量關(guān)系：

立體圖形（側(cè)面）平面圖形

數(shù)量：1.圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)；

2.圓錐的側(cè)面積等于扇形的面積；

3.圓錐母線等于扇形的半徑。

思想方法：轉(zhuǎn)化思想

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)質(zhì)就是教會(huì)學(xué)生提出問(wèn)題、思考問(wèn)題和探究解決問(wèn)題的方法。因?yàn)閳A柱體和圓錐的側(cè)面都是曲面，所以探究圓錐的側(cè)面和扇形之間的“數(shù)”與“形”的關(guān)系就完全可以借助探究圓柱體側(cè)面的方法，放手讓學(xué)生自主完成。用類比的方法去學(xué)習(xí)新知識(shí)，發(fā)現(xiàn)新結(jié)論，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的方法。學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)是學(xué)生核心素養(yǎng)的重要組成部分。這部分教學(xué)設(shè)計(jì)是為了進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生對(duì)圓柱體與扇形的空間意識(shí)和實(shí)踐操作能力，引導(dǎo)學(xué)生勤思考、善歸納、會(huì)總結(jié)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng)。

活動(dòng)三：正方體的側(cè)面展開(kāi)圖。

實(shí)物展示：如果一個(gè)幾何體的表面是平面，它的表面展開(kāi)圖會(huì)是什么樣呢？我們以正方體為例，探究正方體沿部分棱剪開(kāi)、展開(kāi)所得到的圖形。

問(wèn)題6： 將一個(gè)正方體紙盒沿部分棱剪開(kāi)，展開(kāi)，會(huì)得到什么樣的平面圖形呢？

問(wèn)題7： 將一個(gè)正方體紙盒沿部分棱剪開(kāi)并展開(kāi)得到平面圖形，至少需要剪開(kāi)幾條棱？

（要求： 正方體表面展開(kāi)成的6個(gè)正方形要相連，即其中每個(gè)正方形至少要有一條邊與其他的正方形的邊重合。）

設(shè)計(jì)意圖：正方體的6個(gè)面都是平面，通過(guò)動(dòng)手操作，讓學(xué)生感悟到同一個(gè)正方體紙盒的表面沿不同的棱剪開(kāi)，展開(kāi)成的平面圖形不相同。讓學(xué)生經(jīng)歷從獨(dú)立操作到交流分享的過(guò)程，培養(yǎng)其合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣和意識(shí)。

教師在學(xué)生剪出的圖形中任選一種引導(dǎo)學(xué)生思考：

問(wèn)題8：你怎樣得到如圖所示的平面圖形？

學(xué)生分組討論并解釋如何操作，對(duì)于難點(diǎn)問(wèn)題，可展開(kāi)討論。

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)要求展開(kāi)正方體紙盒，目的是要求學(xué)生將操作與思考結(jié)合起來(lái)。如何剪？這樣剪行嗎？下一步又怎么剪？定向剪裁的展開(kāi)方式是本課的難點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求較高。動(dòng)手操作和動(dòng)畫演示相結(jié)合，可以較好地培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成落實(shí)到每一節(jié)課上。

在問(wèn)題8的基礎(chǔ)上，教師利用幾何畫板把剛才的動(dòng)畫逆向演示，將其折疊可以得到正方體，提出下面問(wèn)題：

問(wèn)題9：下面圖形能折疊成正方體嗎？若能，請(qǐng)指出相對(duì)面。

設(shè)計(jì)意圖：“先想一想，再折一折”是一個(gè)觀察、思考、實(shí)踐的過(guò)程，其中“想一想”是理性的思考，有助于提高學(xué)生的空間想象能力，“折一折”是操作活動(dòng)，可以讓學(xué)生直接感受平面圖形與立體圖形之間的關(guān)系，并驗(yàn)證“猜想”是否正確，有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

問(wèn)題10：下面圖形能折疊成正方體嗎？若不能，怎樣改變其中一個(gè)正方形的位置，使它與其余5個(gè)小正方形重新拼接后能折疊成正方體？

教師可讓一個(gè)學(xué)生到講臺(tái)前操作，并思考：可移動(dòng)的正方形有幾個(gè)？移動(dòng)一個(gè)正方形后，將其擺放的位置有幾處？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)觀察、思考，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)，圖示的平面圖形不能沿虛線折疊成一個(gè)正方體，通過(guò)平移可以改變形狀，使之可以折成一個(gè)正方體。這樣既鍛煉學(xué)生的實(shí)際操作能力，又發(fā)展學(xué)生的空間想象能力?？梢苿?dòng)的正方形有3個(gè)，移動(dòng)一個(gè)正方形后將其擺放的位置有4處，又強(qiáng)化學(xué)生的分類思想。提醒學(xué)生要從多角度思考問(wèn)題，考慮問(wèn)題要全面。

思考：把下列圖形沿虛線折疊，觀察其圍成的幾何體。

設(shè)計(jì)意圖：把所給的圖形沿虛線折疊，并加以判斷，這一過(guò)程突出了學(xué)生的自主操作，引導(dǎo)學(xué)生再次感知：平面圖形和立體圖形可以通過(guò)折疊和展開(kāi)相互轉(zhuǎn)化，并解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)一步滲透轉(zhuǎn)化思想，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

五、教學(xué)反思

1.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是提升數(shù)學(xué)思維的支撐。

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》特別強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)的結(jié)果?！皵?shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”是在“做”中積累起來(lái)的，因此在教學(xué)中，我讓學(xué)生親身參與了“剪一剪”“展一展”“折一折”“拼一拼”等活動(dòng)，讓學(xué)生在獲得豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，又經(jīng)歷了探究、思考、抽象、歸納等數(shù)學(xué)思維的全過(guò)程，既達(dá)到對(duì)展開(kāi)與折疊的過(guò)程體會(huì)，又讓學(xué)生真正明白展開(kāi)與折疊是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效辦法。這樣既能增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀能力，又能讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)的理性思維。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生思考和創(chuàng)新的起點(diǎn)，是核心素養(yǎng)形成的有效支撐。

2.高質(zhì)量問(wèn)題是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心。

一個(gè)高質(zhì)量的數(shù)學(xué)問(wèn)題要能夠激發(fā)學(xué)生的好奇心，引起學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性的思維，啟迪學(xué)生的智慧。問(wèn)題3和問(wèn)題4既可以引導(dǎo)學(xué)生從邊長(zhǎng)、面積這樣的數(shù)量角度思考，也可以引導(dǎo)學(xué)生從“圖形”本身的角度思考。當(dāng)一連串的問(wèn)題得到解決，學(xué)生才恍然大悟，圓柱體側(cè)面沿不同的路線剪開(kāi)，展開(kāi)，得到的平面圖形都可以經(jīng)過(guò)變換得到長(zhǎng)方形，因此我們?cè)谘芯繄A柱體的側(cè)面展開(kāi)圖時(shí)，只需沿母線剪開(kāi)，展開(kāi)即可。在教學(xué)過(guò)程中，教師考慮到學(xué)情和數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，不急于求成，而是緊緊抓住學(xué)生思維的閃光點(diǎn)追問(wèn)，既突破了難點(diǎn)，又作為新知識(shí)的生成點(diǎn)，“生成”一些新的教學(xué)資源，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)。教師能夠及時(shí)把握，因勢(shì)利導(dǎo)， 有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)，可謂彰顯了智慧，啟迪了思維。

3.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的精髓。

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)科的特質(zhì)，是數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的重要標(biāo)志。數(shù)學(xué)思想方法的掌握是提高數(shù)學(xué)思維能力的必經(jīng)之路，是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，需要在教學(xué)中不斷挖掘和滲透。本節(jié)課的核心數(shù)學(xué)思想方法有：轉(zhuǎn)化思想、分類思想、數(shù)形結(jié)合思想。

總之，一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課只有以提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為認(rèn)知目標(biāo)，才是有效的、高效的、實(shí)效的課堂。