于娜

[關(guān) ? ?鍵 ? 詞] ?解析幾何;模擬試題;一般結(jié)論

[中圖分類號(hào)] ?G633.65 ? ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] ?A ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)] ?2096-0603（2018）27-0136-01

在我們的高三模擬考試試題中，有兩道解析幾何試題值得我們研究一番，能使我們更好地研究這類題目和編擬模擬試題.

題1.如圖1，點(diǎn)B（■，0）是圓A：（x+■）2+y2=16內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是圓A上的任意一點(diǎn)，線段BP的垂直平分線l和半徑AP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓A上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程;

（2）點(diǎn)E（2，0），F(xiàn)（0，1），直線QE與y軸交于點(diǎn)M，直線QF與x軸交于點(diǎn)N，求EN×FM的值.

解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)Q在BP的垂直平分線上，∴QB+QA=QP+QA=4，從而點(diǎn)Q的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，此時(shí)，a=2，c=3∴b=1，所以曲線C的方程為■+y2=1.

（2）由題設(shè)知，直線的斜率存在.

設(shè)直線QE的方程為y=k（x-2），Q（x1，y1），E（x2，y2），

由y=k（x-2）■+y2=1，得（1+4k2）x2-16k2x+16k2-4=0，

因?yàn)閤1x2=■，x2=2，

所以x1=■，所以Q（■，■），

因?yàn)辄c(diǎn)F，N，Q共線，kFN=kFQ，

所以■=■，即xN=■=■，

又直線QE與y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)為yM=-2k，

所以EN=2-xN=■，F(xiàn)M=1-yM=1+2k，

所以EN×FM=4

此題有沒有一般性的結(jié)論，答案是肯定的.

推廣 已知點(diǎn)P（x0，y0）是橢圓■+■=1（a>b>0）上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，

A（a，0），B（0，b），直線AP交y軸于點(diǎn)C，直線BP交x軸于點(diǎn)D，則BC·AD為定值.

證明：直線AP方程為y=■（x-a），則C（0，■），

同理直線BP方程為y=■x+b，則D（■，0），

所以BC=■，AD=■

所以BC·AD=■·■

=■=2ab.

題2.已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）過(guò)點(diǎn)T（■，-■），且半焦距c=■.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）如圖2，已知點(diǎn)D（■，0），A（2，1），過(guò)點(diǎn)B（3，0）的直線l與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ與x軸分別相交于M，N兩點(diǎn)，試問DM·DN是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值：如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（1）解：由題意，得a2-b2=3■+■=1，解得■+■=1

（2）設(shè)直線l的方程為x=my+3，P（x1，y1），Q（x2，y2），當(dāng)直線AP的斜率不存在時(shí)，直線BP與橢圓C相切，不符合題意，同理可得直線AQ的斜率存在，故直線AP方程為

y-1=■（x-2），則點(diǎn)M（■，0），同理點(diǎn)N（■，0）

由a2-b2=3■+■=1，得（2+m2）y2+6my+3=0，

由Δ=36m2-12（2+m2）>0，得m2>1，

又y1+y2=-■，y1y2=■

所以DM·DN=[■-■][■-■]

=■=■=■

故DM·DN為定值，且DM·DN=■.

這個(gè)■是不是偶然結(jié)果，不是偶然結(jié)果，那么必然結(jié)果是什么，經(jīng)過(guò)一番探索，答案是點(diǎn)D的橫坐標(biāo)與點(diǎn)B的極線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間距離的平方.

我們利用一些高中教材以外的知識(shí)對(duì)我們解過(guò)的解析幾何進(jìn)行一番深刻的挖掘和推廣，能使我們更加靈活地研究高考試題和模擬試題，也會(huì)為我們編擬高考訓(xùn)練模擬試題提供更廣闊的思維空間.