何裕平

[摘 要] 利用線性代數(shù)知識(shí)探討在生產(chǎn)管理等方面的應(yīng)用。通過建立問題的數(shù)學(xué)模型，解決人們生活中實(shí)際的問題。

[關(guān) 鍵 詞] 線性代數(shù)；數(shù)學(xué)模型；開式投入—產(chǎn)出模型

[中圖分類號(hào)] G712 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 2096-0603（2018）06-0163-01

開式投入—產(chǎn)出模型的研究對(duì)象是k個(gè)企業(yè)組成的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)。它與閉式投入—產(chǎn)出模型的不同點(diǎn)在于：（1）產(chǎn)品除了滿足本系統(tǒng)的內(nèi)部各企業(yè)的消耗外，還有一部分產(chǎn)品滿足經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)外部的要求。（2）產(chǎn)品的價(jià)格是固定的。（3）每個(gè)企業(yè)的產(chǎn)量與需求是平衡的，所求的是各企業(yè)的產(chǎn)量。因?yàn)閮r(jià)格是固定的，所以可以用各企業(yè)產(chǎn)值來衡量產(chǎn)量。

設(shè)1.xi為第i個(gè)企業(yè)的總產(chǎn)值，xi≥0 （1）

2.di為系統(tǒng)外部所需求的第i個(gè)企業(yè)的產(chǎn)值，di≥0 （2）

3.cij第j個(gè)企業(yè)生產(chǎn)單位產(chǎn)值所需用第i個(gè)企業(yè)的產(chǎn)值，cij≥0

由此得到向量x，d和矩陣c，x=x1x2…xk稱為生產(chǎn)向量d=d1d2…dk≥0，稱為需求向量，c=c11 c12 … c1kc21 c22 … c2k… … … …ck1 ck2 … ckk≥0 稱為消耗矩陣，從cij和xj的定義，可以得出■cijxj是第i個(gè)企業(yè)消耗于經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)內(nèi)部的產(chǎn)品總值。因而xi-■cijxj是第i個(gè)企業(yè)可供外部使用的產(chǎn)值。它應(yīng)該等于系統(tǒng)外部需求量di。另一方面■cijxj，又正好是列向量cx第i個(gè)分量，因此我們得到下列方程

x-cx=d （3）

即（I-c）x=d，因?yàn)閏與d是已知的，可求x。

實(shí)際上，人們希望經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)對(duì)任何外部需求都有唯一的生產(chǎn)方案，即（3）對(duì)任何需求向量d≥0都有非負(fù)的唯一解，消耗矩陣c應(yīng)滿足一定的條件。可以證明：若消耗矩陣c的任何一行（或一列）元素之和都小于1，則有非負(fù)的唯一解。

例 某鎮(zhèn)有三個(gè)主要企業(yè)：煤礦、電廠和鐵路。設(shè)在一周內(nèi)，每個(gè)企業(yè)生產(chǎn)1元產(chǎn)值的消耗以及外部對(duì)各企業(yè)產(chǎn)值的需求量列表如下：?jiǎn)挝唬ㄔ?/p>

為了恰好滿足內(nèi)外全部需求，問每個(gè)企業(yè)一周內(nèi)產(chǎn)值各為多少元？設(shè)：煤礦、電廠、鐵路一周總產(chǎn)值分別為x1，x2，x3則有生產(chǎn)向量x=x1x2x3需求向量d=50000250000，消耗矩陣c=0 0.65 0.550.25 0.05 0.100.25 0.05 0，方程組（I-c）x=d為1 -0.65 -0.55-0.25 0.95 -0.1-0.25 -0.05 0x1x2x3=50000250000

因?yàn)橄禂?shù)矩陣可逆，所以解為

x=x1x2x3=（I-C）-1=■756 542 470220 690 190200 170 63050000250000=1200875616328330

通過實(shí)例，利用開式投入—產(chǎn)出模型，解決了我們生活中實(shí)際的問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]David C.Lay線性代數(shù)及其應(yīng)用[M].機(jī)械工業(yè)出版社，2005.

[2]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].高等教育出版社，2011.