張 杰，孫 文，梅宇庭，范玉磊

(61243部隊(duì)，新疆 烏魯木齊 830006)

0 引 言

重力場模型是指用來表示地球重力位的一組已知系數(shù)，其核心是位系數(shù)值，現(xiàn)廣泛應(yīng)用于衛(wèi)星發(fā)射、重力數(shù)據(jù)處理等多個(gè)領(lǐng)域[1]。在似大地水準(zhǔn)面的逼近和求解中，重力位模型的精度能夠很大程度影響似大地水準(zhǔn)面計(jì)算精度，有必要對(duì)其進(jìn)行詳細(xì)比較與分析，以獲取最佳模型和逼近階數(shù)。

1 重力場模型研究進(jìn)展

1.1 概述

構(gòu)建重力場模型的方法主要有調(diào)和分析法和最小二乘配置法以及用于提高局部區(qū)域逼近精度的拼接法、譜權(quán)綜合法等。目前，國內(nèi)外學(xué)者和研究機(jī)構(gòu)已發(fā)布多種系列、不同階次的重力位模型。國外影響力較大的有美國俄亥俄州立大學(xué)的OSU系列，德國地學(xué)研究中心的EIGEN系列，美國國家地理空間情報(bào)局的EGM系列，美國德州大學(xué)奧斯汀分?？臻g研究中心的GGM系列等；國內(nèi)主要有武漢大學(xué)的WDM系列，中科院測量與地球物理研究所的IGG系列，西安測繪研究所的DQM系列以及解放軍測繪學(xué)院的UGM系列等[1]。

隨著重力測量衛(wèi)星(CHAMP、GRACE、GOCE)的發(fā)射，全球范圍的時(shí)變重力場研究成為可能。相對(duì)固定的重力位系數(shù)模型、時(shí)變重力場模型除了提供傳統(tǒng)的位系數(shù)之外還提供了與時(shí)間相關(guān)的變化參數(shù)，用于計(jì)算重力場隨時(shí)間的變化。這是重力位模型理論研究的重大突破與跨越[1]。

1.2 研究進(jìn)展

以下列出了一些具有代表性的模型及其詳細(xì)情況(表1，時(shí)變重力場模型尚未有全球公認(rèn)的優(yōu)秀模型，故未予列出)。

表1中最具有代表性的為EGM系列，即EGM96和EGM2008[2]。EGM96聯(lián)合衛(wèi)星跟蹤數(shù)據(jù)(包括LAGEOS、LAGEOS-2、Ajisai、Starlette、Stella和GFZ-1)、衛(wèi)星測高數(shù)據(jù)(包括TOPEX/Poseidon、ERS-1和Geosat)以及地面重力觀測數(shù)據(jù)求解得到360階地球重力場模型和海面地形模型(Dynamic Ocean Topography Model)。EGM2008模型在EGM96模型的基礎(chǔ)上增加了衛(wèi)星跟蹤衛(wèi)星數(shù)據(jù)(GRACE)，使用經(jīng)過進(jìn)一步處理的衛(wèi)星測高數(shù)據(jù)和地面重力數(shù)據(jù)構(gòu)成全球5′×5′格網(wǎng)分辨率的重力異常模型；與地形相關(guān)的計(jì)算主要基于SRTM數(shù)據(jù)、南極和格陵蘭島的冰蓋觀測數(shù)據(jù)(ICESat激光測高數(shù)據(jù))以及衛(wèi)星測高構(gòu)建的海深數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)形成一個(gè)全球地形模型DTM2006.0，然后通過DTM2006.0計(jì)算地形相關(guān)項(xiàng)。EGM2008模型相較EGM96模型不僅極大提高了空間分辨率(由30′×30′提高到5′×5′)，而且提高了各類擾動(dòng)場元在全球范圍內(nèi)的逼近精度。例如EGM2008模型全球范圍內(nèi)逼近大地水準(zhǔn)面的精度達(dá)到11.1 cm(共5個(gè)測試區(qū)域，不包括中國地區(qū))，而在中國區(qū)域的逼近精度約為14 cm(移除系統(tǒng)差以后)。

表1 部分重力場模型概況

2012年德國地學(xué)中心發(fā)布了完整到1949階次的全球重力場模型EIGEN-6C2[3]，相比EGM2008模型，前者增加了GOCE重力梯度觀測數(shù)據(jù)，在高頻信號(hào)方面具有較大提升，但有必要對(duì)其進(jìn)行精度驗(yàn)證。自EGM2008模型發(fā)布以來，構(gòu)建似大地水準(zhǔn)面模型、重力場模型等所用參考模型一直為EGM2008，經(jīng)過多年發(fā)展，EGM2008模型的高頻信號(hào)部分已不能滿足現(xiàn)實(shí)研究和工程需要。EIGEN-6C2利用了大量EGM2008所沒有的GOCE衛(wèi)星梯度數(shù)據(jù)，這將極大增加高頻信號(hào)部分的模型精度。故本文選擇將EGM2008模型與EIGEN-6C2模型進(jìn)行比較分析。

2 重力場模型計(jì)算理論

2.1 擾動(dòng)位的計(jì)算

利用重力位模型求解擾動(dòng)位的公式如下：

(1)

2.2 勒讓德函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)計(jì)算

正?；殡S勒讓德多項(xiàng)式的遞推有多種方法，例如標(biāo)準(zhǔn)前向行推法、標(biāo)準(zhǔn)前向列推法、跨階次遞推法以及Belikov列推法等。吳星、王建強(qiáng)等[4-5]利用2160階勒讓德函數(shù)的遞推計(jì)算詳細(xì)比較了上述幾種遞推方法(表2)。

表2 4種遞推方法的計(jì)算速度比較

前兩種遞推法在階次較高時(shí)由于舍入誤差迅速增大而精度有限[4]，后兩種遞推則不存在此問題；且Belikov列推法相對(duì)跨階次遞推法具有更高的計(jì)算效率，故本文選取Belikov列推法，其基本原理如下[3-4]：

(2)

利用重力位模型求解擾動(dòng)場元的公式為：

(3)

其中，垂線偏差子午分量的計(jì)算涉及伴隨勒讓德多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)計(jì)算[4]：

(4)

3 EGM2008與EIGEN-6C2模型比較分析

重力似大地水準(zhǔn)面和重力垂線偏差的計(jì)算通常采用“移去—恢復(fù)”方法，即利用重力場模型精密逼近重力似大地水準(zhǔn)面和重力垂線偏差的中低頻部分信號(hào)，再利用移除模型重力異常的剩余重力異常數(shù)據(jù)計(jì)算其中高頻部分，然后恢復(fù)全頻段信號(hào)。

目前公認(rèn)精度較高的全球重力場模型主要有2160階次的EGM2008模型以及1949階次的EIGEN-6C2模型，下面利用實(shí)測數(shù)據(jù)對(duì)兩個(gè)超高階重力場模型——我國的高程異常及垂線偏差逼近精度加以比較分析，計(jì)算時(shí)分別采用超高階模型垂線偏差和重力異常單點(diǎn)計(jì)算公式，并考慮點(diǎn)位的高程數(shù)據(jù)。

3.1 垂線偏差精度

本文共使用我國境內(nèi)1 381個(gè)實(shí)測GPS/天文點(diǎn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行模型垂線偏差精度比較(表3)。

垂線偏差子午分量與卯酉分量的計(jì)算誤差變化情況如下所示(圖1)。

表3 模型垂線偏差計(jì)算誤差統(tǒng)計(jì)/″

圖1 模型垂線偏差誤差變化

比較表3、圖1可知，在垂線偏差的計(jì)算精度方面，兩個(gè)模型在全國范圍內(nèi)的逼近精度較為接近，EIGEN-6C2模型精度略優(yōu)于EGM2008。但比較兩個(gè)分量的誤差變化曲線可以發(fā)現(xiàn)，無論是子午還是卯酉分量，EGM2008的誤差變化幅度較小，分析可能是因?yàn)閷?shí)測數(shù)據(jù)較為陳舊，我國天文測量數(shù)據(jù)更新緩慢，這些點(diǎn)的實(shí)測垂線偏差存在較大誤差造成的。

3.2 高程異常精度

本文使用我國境內(nèi)各等級(jí)GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)共6 827個(gè)進(jìn)行模型高程異常精度比較。以下列出了兩種模型計(jì)算所得我國境內(nèi)GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)的高程異常值與實(shí)測值比較的誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果(表4)。

表4 模型高程異常計(jì)算誤差統(tǒng)計(jì)/m

由表4可以看出，兩種模型計(jì)算我國高程異常時(shí)均存在較大系統(tǒng)差，約為25 cm。分別統(tǒng)計(jì)兩種模型在有系統(tǒng)差和無系統(tǒng)差情況下(減去各自誤差均值)的計(jì)算精度，可以發(fā)現(xiàn)，無論從誤差極值或均方根方面，EIGEN-6C2模型相比EGM2008模型都具有更高的高程異常計(jì)算精度，提高程度約為4 cm。

全國范圍內(nèi)GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)的模型高程異常計(jì)算誤差如下所示(圖2)，可以看出，EIGEN-6C2模型高程異常計(jì)算精度明顯優(yōu)于EGM2008模型。

圖2 模型高程異常誤差變化(有系統(tǒng)差)

4 結(jié) 語

由上述比較可以看出，相比EGM2008模型，無論是垂線偏差還是高程異常的計(jì)算，EIGEN-6C2模型的計(jì)算精度更高，更加適合作為我國大范圍重力場逼近的參考場。同時(shí)，利用EIGEN-6C2模型結(jié)果與實(shí)測數(shù)據(jù)的對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有數(shù)據(jù)中可能存在較大誤差的部分，從而需要進(jìn)一步提升數(shù)據(jù)的使用效果，為今后實(shí)施復(fù)測提供一定參考。

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