葛 靈， 張 杰

(西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系， 成都 611756)

0 引 言

近年來，鐵路在經(jīng)濟(jì)發(fā)展中起著越來越重要的作用，對社會發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。在汽車、船舶、航天器等眾多運(yùn)輸工具中，火車具有成本低、運(yùn)輸距離長、安全性好等優(yōu)勢，是一種便捷的交通運(yùn)輸工具。從安全、舒適、速度、價(jià)格等綜合因素來看，鐵路將是大多數(shù)人長途旅行選擇的主要交通方式。社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平、居民消費(fèi)水平、城鎮(zhèn)化水平等會影響鐵路客運(yùn)量的變化，同時(shí)也會受到氣候條件、法定節(jié)假日、運(yùn)輸服務(wù)質(zhì)量與舒適度以及政策等因素的影響[1]，鐵路客運(yùn)量呈現(xiàn)增長趨勢并具有一定的規(guī)律性。分析與預(yù)測鐵路客運(yùn)量，提高預(yù)測率有助于鐵路部門更好地進(jìn)行資源配置，促進(jìn)我國鐵路運(yùn)輸不斷發(fā)展。

申耀偉[2]運(yùn)用灰色動(dòng)態(tài)GM(1，1)模型，對武昌車站2006—2020年的客運(yùn)量進(jìn)行了預(yù)測。劉會芳[3]綜合比較單一多元線性回歸、時(shí)間序列以及支持向量機(jī)的分析預(yù)測法，最終建立了精確度較高的鐵路客運(yùn)量組合預(yù)測模型。針對局限于單變量序列的鐵路客運(yùn)量預(yù)測，林璐[4]探討了鐵路客運(yùn)量的主要影響因素，并將其一起作為輸入變量序列納入模型、參與預(yù)測；通過比較B-J、灰色預(yù)測、灰色線性回歸以及ARIMAX模型，認(rèn)為ARIMAX模型的預(yù)測效果最好。郝軍章等[5]利用Eviews和SPSS分析與建模，對我國鐵路客運(yùn)量建立SARIMA模型，探究數(shù)據(jù)之間的季節(jié)性變化。曹韓、許曉鈴[6]運(yùn)用R軟件，針對1997—2016年鐵路客運(yùn)量月度數(shù)據(jù)，建立鐵路客運(yùn)量乘法季節(jié)ARIMA模型，改進(jìn)了預(yù)測方法。

據(jù)新聞報(bào)道，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)至2017年10月底，全國鐵路已完成固定資產(chǎn)投資超6 200億元；鐵路客運(yùn)量、貨運(yùn)量大幅度增長[7]。研究鐵路客運(yùn)量變化并預(yù)測，仍是有意義的。對于具有顯著長期趨勢和明顯季節(jié)性的客運(yùn)量序列，簡單的ARIMA模型不能充分提取其間相關(guān)信息。R語言操作簡便，分析效果良好，在數(shù)據(jù)挖掘中具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用優(yōu)勢[8]。故本文建立乘積季節(jié)模型，利用Eviews和R這兩種不同的軟件來對中國鐵路客運(yùn)量進(jìn)行建模與預(yù)測，通過分析比較選擇最優(yōu)的操作與模型。

1 乘積季節(jié)模型

如果有一序列{Xt}經(jīng)過d階差分和D階長度為s的季節(jié)差分后變成了平穩(wěn)序列，并且可以利用ARMA模型對差分后的平穩(wěn)序列建模，則稱序列{Xt}模型結(jié)構(gòu)為簡單季節(jié)模型[9]：

通過季節(jié)差分和差分可以消除序列的周期性，但并不能完全消除季節(jié)性。如果隨機(jī)序列{Xt，t=0，±1，±2，…}有如下結(jié)構(gòu)，則稱其為乘積季節(jié)模型，記ARIMA(p，d，q)×(P，D，Q)s：

其中，p是消除同一周期不同周期點(diǎn)之間相關(guān)性的自回歸階數(shù)，q是消除同一周期不同周期點(diǎn)之間相關(guān)性的移動(dòng)平均階數(shù)，P是消除不同周期的同一周期點(diǎn)之間相關(guān)性的自回歸階數(shù)，Q是消除不同周期的同一周期點(diǎn)之間相關(guān)性的移動(dòng)平均階數(shù)，d是差分的階數(shù)，D是季節(jié)差分的階數(shù)，s是周期長度。

U(Bs)=1-u1Bs-u2B2s-…-uPBPs

V(Bs)=1-v1Bs-v2B2s-…-vQBQs

可以對不同周期的同一周期點(diǎn)之間的相關(guān)性進(jìn)行擬合：

φ(B)=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp

θ(B)=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq

以此消除同一周期不同周期點(diǎn)之間的相關(guān)性。

2 數(shù)據(jù)來源

為研究中國鐵路客運(yùn)量，從國家統(tǒng)計(jì)局獲取了2005年1月至2017年6月我國鐵路客運(yùn)量數(shù)據(jù)，見表1。將2005年1月至2016年12月的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集(記為序列x)，建立適當(dāng)模型并預(yù)測后6期數(shù)據(jù)；將2017年1月至6月的數(shù)據(jù)作為測試集，評估模型的預(yù)測能力。

3 結(jié)果與分析

3.1 基于Eviews的時(shí)間序列分析

3.1.1 直觀分析和相關(guān)分析

通過軟件操作，得到序列x描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果：其相伴概率為0.005 335，拒絕序列x為正態(tài)分布的原假設(shè)；經(jīng)繪制序列x的QQ圖后發(fā)現(xiàn)：圖形并不呈現(xiàn)出一條直線，故認(rèn)為序列x不服從正態(tài)分布。

通過自相關(guān)和偏相關(guān)分析，可得序列x的樣本偏自相關(guān)系數(shù)如圖1：

圖1 序列x的樣本自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)

從圖1中可以看出，序列x的樣本自相關(guān)系數(shù)在滯后期為12、24時(shí)出現(xiàn)最大值，說明序列x具有波動(dòng)性和季節(jié)性，需進(jìn)行差分操作。

3.1.2 單位根檢驗(yàn)

序列x單位根檢驗(yàn)結(jié)果，認(rèn)為x是非平穩(wěn)序列。由于序列x具有波動(dòng)性和季節(jié)性，序列x進(jìn)行對數(shù)變換后又進(jìn)行一階差分，得序列x1。由線性分析可知其均值在零點(diǎn)附近波動(dòng)，再通過單位根檢驗(yàn)序列x1為平穩(wěn)序列。

3.1.3 季節(jié)性分析

利用軟件得到一階差分序列x1的自相關(guān)和偏相關(guān)函數(shù)圖，如圖2所示。

圖2 序列x1樣本自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)

由圖2可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)滯后期為12的倍數(shù)時(shí)，序列x1的樣本偏自相關(guān)系數(shù)較大。顯然地，序列具有季節(jié)性，周期為12個(gè)月。

3.1.4 模式識別與初步定階

當(dāng)k>1時(shí)，樣本自相關(guān)系數(shù)1步截尾。

當(dāng)k>3時(shí)，樣本偏相關(guān)系數(shù)4步截尾。

綜上所述，據(jù)Box-Jenkins思想用ARMA(4，1)模型對序列x2進(jìn)行擬合。即需擬合和檢驗(yàn)的ARMA模型為ARMA(4，3)、ARMA(3，2)、ARMA(2，1)，即對原序列l(wèi)ogx嘗試用ARIMA(4，1，3)×(0，1，0)12、ARIMA(3，1，2)×(0，1，0)12、ARIMA(2，1，1)×(0，1，0)12進(jìn)行擬合。

3.1.5 參數(shù)估計(jì)與相應(yīng)的AIC值

利用軟件可得到各個(gè)模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)、模型的剩余平方和、模型的AIC值，具體的數(shù)值見表2。

表2 序列x2的各個(gè)模型的相應(yīng)結(jié)果Table 2 The result of models about the sequence

其中，ARMA(2，1)模型的AIC值最小，即對原序列l(wèi)ogx用ARIMA(2，1，1)×(0，1，0)12進(jìn)行擬合比較恰當(dāng)。

3.1.6 參數(shù)顯著性檢驗(yàn)

利用模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，選擇最小二乘法，得到的檢驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。

圖3 序列x2的ARMA(2，1)模型的參數(shù)檢驗(yàn)結(jié)果

P值近乎于0，擬合結(jié)果較好。即對原序列l(wèi)ogx用ARIMA(2，1，1)×(0，1，0)12進(jìn)行擬合是比較恰當(dāng)?shù)摹?/p>

3.1.7 模型適用性檢驗(yàn)

對序列x2ARMA(2，1)進(jìn)行適應(yīng)性檢驗(yàn)，殘差序列resid的樣本自相關(guān)系數(shù)除個(gè)別外，其余均滿足：

殘差序列在單位根檢驗(yàn)下，結(jié)果顯示是平穩(wěn)的。

綜上所述，模型ARMA(2，1)對序列x2是適應(yīng)性的。

所以，綜合圖3各項(xiàng)系數(shù)，鐵路客運(yùn)量取自然對數(shù)后的值logx模型結(jié)構(gòu)滿足：

(1+0.4727B+0.417148B2)(1-B)(1-B12)Xt=εt+0.610 824εt-1

Xt=logxt

(1)

3.1.8 模型預(yù)測

利用上述模型，采用條件期望預(yù)測方法對全國客運(yùn)量取了對數(shù)后值的變化情況進(jìn)行預(yù)測，向前做6步預(yù)測，根據(jù)條件期望預(yù)測公式得：

0.610 824εt=10.098 395 95

同理，可得：

將自然對數(shù)形式轉(zhuǎn)換回去，得到原序列的預(yù)測值，依次為：24 304、27 040、24 022、27 190、25 868和26 238，填制如表3。

表3 預(yù)測結(jié)果與真實(shí)值之間的誤差Table 3 The deviation between the predicted resultand the true value

3.2 基于R的時(shí)間序列分析

3.2.1 平穩(wěn)性檢驗(yàn)

對于客運(yùn)量序列x，繪制其時(shí)間變化趨勢圖：認(rèn)為圖形有明顯的上升趨勢、些許的指數(shù)趨勢，同時(shí)具有周期變化，故序列是非平穩(wěn)的。

將序列x轉(zhuǎn)換成對數(shù)序列x3，經(jīng)一階差分與中心化處理，得序列Z，經(jīng)檢驗(yàn)序列Z是平穩(wěn)序列。

3.2.2 模型的識別與定階

對序列Z進(jìn)行相關(guān)性分析，繪制自相關(guān)和偏相關(guān)圖，如圖4所示。

圖4 序列Z的樣本自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)

從ACF和PACF可以看出，該序列在滯后期為12和24處有明顯的波動(dòng)，說明該序列接下來需要做長度為12的一階季節(jié)差分。結(jié)果如圖5所示。

圖5 樣本穩(wěn)定性和相關(guān)系數(shù)圖

對于非季節(jié)項(xiàng)，只做了一階非季節(jié)差分，故d=1，由偏自相關(guān)圖可以知道p=2，q=1。對于季節(jié)項(xiàng)，已做一階12步季節(jié)差分，故D=1，由偏自相關(guān)圖可以知道P=4，Q=2。

在時(shí)間序列分析中，季節(jié)算子的階數(shù)小于等于一階，所以最終對序列建立ARIMA(2，1，1)×(1，1，1)12模型。

3.2.3 模型適應(yīng)性檢驗(yàn)

模型適應(yīng)性檢驗(yàn)即是殘差序列的白噪聲檢驗(yàn)。直接調(diào)用R軟件函數(shù)，結(jié)果中p值都大于0.9，通過適應(yīng)性檢驗(yàn)。

3.2.4 模型參數(shù)估計(jì)與預(yù)測

模型參數(shù)估計(jì)方法主要有矩估計(jì)、最小二乘估計(jì)、極大似然估計(jì)，本文采用極大似然估計(jì)，得到如下模型：

(1-0.369B12)(1+0.435 4B+0.398B2)(1-B12)(1-B)Zt=(1+0.829 9B12)(1+0.644 1B)εt

調(diào)用函數(shù)，得到模型后6個(gè)預(yù)測值，將自然對數(shù)形式轉(zhuǎn)換回去，得到原序列的預(yù)測值，如表4所示。

表4 預(yù)測結(jié)果與真實(shí)值之間的誤差Table 4 The deviation between the predicted resultand the true value

3.3 預(yù)測結(jié)果比較

研究兩種軟件分析下的預(yù)測效果，綜合預(yù)測結(jié)果表3和預(yù)測結(jié)果表4得表5。

表5 兩種軟件預(yù)測結(jié)果與真實(shí)值之間的誤差Table 5 The deviation between the predicted result and the true value under two softwares

(1) Eviews操作下，分析結(jié)果最終建立ARIMA(2，1，1)×(0，1，0)12模型；R操作下，最終建立ARIMA(2，1，1)×(1，1，1)12模型。

(2) Eviews操作下的預(yù)測誤差率在9%以下，平均預(yù)測誤差為4.59%；R操作下的預(yù)測值誤差率均在5.5%以下，平均預(yù)測誤差為3.36%，兩種操作下誤差率都小于10%，是有效預(yù)測。但是相比之下，R預(yù)測結(jié)果更為精準(zhǔn)。

Eviews模式識別與參數(shù)估計(jì)階段，本文研究過是否可以建立ARIMA(2，1，1)×(1，1，1)12模型。但季節(jié)AR算子和季節(jié)MA算子并沒有通過t檢驗(yàn)，p值很大，故拒絕原假設(shè)。最終選擇建立ARIMA(2，1，1)×(0，1，0)12模型。

為使研究結(jié)果更具有說服力，本文用R直接建立ARIMA(2，1，1)×(0，1，0)12模型，得：

(1+0.47B+0.413 1B2)(1-B)(1-B12)Xt=

Xt=logxt

由于各軟件操作分析方法與精度稍有不同，總體上看，此模型與Eviews建立的模型(*)結(jié)果基本一致。表6為預(yù)測結(jié)果與真實(shí)值之間的誤差。

表6 預(yù)測結(jié)果與真實(shí)值之間的誤差Table 6 The deviation between the predicted resultand the true value

R操作下的預(yù)測值誤差率波動(dòng)大，平均預(yù)測誤差為4.29%(大于3.36%，小于4.59%)，較ARIMA(2，1，1)×(1，1，1)12模型其預(yù)測結(jié)果稍差，但預(yù)測結(jié)果仍好于用Eviews建立的ARIMA(2，1，1)×(0，1，0)12模型。由于兩種軟件操作分析方法的不同，致使分析建模結(jié)果稍有不同；綜合上述，建議使用R軟件分析中國鐵路客運(yùn)量數(shù)據(jù)，對客運(yùn)量數(shù)據(jù)未來變化能進(jìn)行更有效的預(yù)測。

4 結(jié) 論

在兩種統(tǒng)計(jì)軟件操作下，對中國鐵路客運(yùn)量數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練與測試，都可以較好地建立模型預(yù)測中國鐵路客運(yùn)量的未來變化值。

(1) Eviews建立乘積季節(jié)模型，經(jīng)歷了相關(guān)分析、平穩(wěn)性檢驗(yàn)、季節(jié)性分析、顯著性檢驗(yàn)、適用性檢驗(yàn)等一系列流程，最終進(jìn)行模型的識別與定階，利用條件期望預(yù)測法預(yù)測。分析思維更加嚴(yán)謹(jǐn)，但操作較為復(fù)雜。

(2) R軟件分析并建模，歷經(jīng)平穩(wěn)性采用一階自然對數(shù)差分消除序列線性遞增趨勢后，在模型識別與定階過程中，利用相關(guān)性研究選擇進(jìn)行一階季節(jié)差分，繼而進(jìn)行模型的適用性檢驗(yàn)、參數(shù)估計(jì)與模型預(yù)測。可利用程序包中相關(guān)函數(shù)直接進(jìn)行分析與預(yù)測，操作較為簡便，數(shù)據(jù)預(yù)測的正確率較高。

通過本文的研究，可以利用R建立ARIMA(2，1，1)×(1，1，1)12模型。經(jīng)檢驗(yàn)，模型的預(yù)測精度較好，可為預(yù)測未來全國鐵路客運(yùn)量變化提供一定的參考價(jià)值。

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