， ，玉

(山東科技大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，山東 青島 266590)

隨著現(xiàn)代通信技術(shù)的快速發(fā)展和影像傳輸要求的日益提高，信息安全尤其是圖像信息的安全已成為通信領(lǐng)域的熱點(diǎn)問(wèn)題[1]。由于圖像數(shù)據(jù)具有能量分布不均勻、數(shù)據(jù)量大、數(shù)據(jù)二維分布、原始數(shù)據(jù)存在大量冗余等特點(diǎn)，使得傳統(tǒng)加密算法并不適合彩色圖像加密[2]。混沌系統(tǒng)因其對(duì)初始條件的極度敏感性、偽隨機(jī)性、遍歷性等特點(diǎn)，在圖像加密領(lǐng)域具有得天獨(dú)厚的優(yōu)越性。

近年來(lái)，基于確定混沌系統(tǒng)的彩色圖像加密研究取得了一些重要的研究結(jié)果，Lang[3]利用顏色混合和分?jǐn)?shù)階傅里葉變換域中的混沌置換提出了一種加密算法；Wang等[4]基于兩個(gè)復(fù)雜混沌系統(tǒng)，使用不同的置換、異或操作并結(jié)合多級(jí)加密結(jié)構(gòu)提出了一種加密算法；Zhang等[5]基于Chen系統(tǒng)使用三維位矩陣置換并針對(duì)原圖像的像素建立隨機(jī)訪問(wèn)機(jī)制提出了一種加密算法；庹朝永等[6]基于二維Logistic映射，使用比特異或與隨機(jī)重組并結(jié)合像素值的RGB重新分割提出了一種加密算法；盧輝斌等[7]基于自治三維混沌系統(tǒng)使用三維混沌序列的其中一維置亂圖像RGB分量的像素位置，用另外兩維序列設(shè)置置亂每個(gè)像素比特位的權(quán)值和閾值提出了一種加密算法；劉云等[8]基于三維Chen系統(tǒng)，使用行置亂及列置亂并結(jié)合折疊處理提出了一種加密算法。何松林[9]基于Logistic混沌序列，使用多個(gè)加密矩陣與基色矩陣進(jìn)行多次異或并結(jié)合對(duì)RGB分量進(jìn)行隨機(jī)化處理提出了一種加密算法。邢麗坤等[10]基于混沌使用RGB分量分別加密并結(jié)合分?jǐn)?shù)階Fourier變換提出了一種加密算法。

密鑰空間的大小是衡量加密安全性的一個(gè)非常重要的指標(biāo)。與參數(shù)確定的混沌系統(tǒng)相比，具有電子元器件參數(shù)攝動(dòng)的混沌電路，可以在原有的動(dòng)力學(xué)特性中引入偽隨機(jī)性[11]，因此具有更豐富的動(dòng)力學(xué)特性，這使得加密系統(tǒng)具有更大的密鑰空間。參數(shù)攝動(dòng)可視為電子元器件的固有屬性，電子元器件的參數(shù)攝動(dòng)因其變化過(guò)程非常復(fù)雜而不能用數(shù)學(xué)表達(dá)式加以描述，如果對(duì)確定的混沌電路引入電子元器件的參數(shù)攝動(dòng)，可以在發(fā)送方和接收方進(jìn)行保密通信。切換操作是一種重要的變換方法，在很多領(lǐng)域都有應(yīng)用[12]。很多復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為源自切換系統(tǒng)，因?yàn)橥ㄟ^(guò)切換操作可以很容易地獲得小范圍的參數(shù)攝動(dòng)。而這些系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為相較于其單個(gè)獨(dú)立系統(tǒng)產(chǎn)生的動(dòng)力學(xué)行為要復(fù)雜的多[13-15]。因此，在混沌加密系統(tǒng)中使用切換操作意義重大。混沌系統(tǒng)中使用切換操作的研究已有很多[16-22]。然而，這些研究主要集中在使用有限次的切換操作上。

本研究設(shè)計(jì)了新的混沌電路，該電路利用電子元器件的參數(shù)攝動(dòng)和無(wú)限次的切換操作，獲得更大的密鑰空間。首先將一個(gè)絕緣柵型場(chǎng)效應(yīng)管的漏極和源極與蔡氏電路中的線性電阻相串接，即實(shí)現(xiàn)將該場(chǎng)效應(yīng)管的輸出電阻與上述線性電阻相串聯(lián)。通過(guò)利用混沌的遍歷性來(lái)控制該場(chǎng)效應(yīng)管的柵極和源極，使該場(chǎng)效應(yīng)管的輸出電阻呈現(xiàn)一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，最終使受驅(qū)動(dòng)的蔡氏電路的等效線性電阻成為時(shí)變電阻。為了控制上述等效的線性電阻的變化范圍，進(jìn)而使該混沌電路具有更復(fù)雜的吸引子，特意設(shè)定一些元器件參數(shù)，并使用一些必要的電路來(lái)控制該場(chǎng)效應(yīng)管的輸入端電壓的變化。仿真結(jié)果和安全性分析證實(shí)了基于本電路的加密方法的有效性和可行性。

1 新混沌電路的設(shè)計(jì)

蔡氏電路的動(dòng)力學(xué)方程的表達(dá)式：

(1)

其中：

f(x)=bx+0.5(a-b)[x+1-x-1]。

(2)

式(1)是蔡式電路的狀態(tài)方程去量綱后得到的動(dòng)力學(xué)方程；式(2)是蔡式電路里的非線性電阻的伏安特性曲線對(duì)應(yīng)的分段線性函數(shù)；式(2)的三段分別代表上述分段線性函數(shù)的三個(gè)組成部分，且是經(jīng)過(guò)變量替換處理的。式(1)和式(2)中，α、β、a、b為固定不變的常量。

用電子仿真軟件Multisim 12.0進(jìn)行仿真，電路圖如圖1所示，其中(Ⅰ)部分為受驅(qū)動(dòng)的蔡氏電路(左上角)，(Ⅱ)部分為蔡氏激勵(lì)電路(右下角)。絕緣柵型場(chǎng)效應(yīng)管(2N6659)及其外圍電路用以實(shí)現(xiàn)時(shí)變電阻的作用，具體為：首先利用混沌的遍歷性控制該場(chǎng)效應(yīng)管的柵極和源極，使得該場(chǎng)效應(yīng)管的輸出電阻呈現(xiàn)一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，然后將該場(chǎng)效應(yīng)管的漏極和源極與受驅(qū)動(dòng)的蔡氏電路中的線性電阻相串接，使得受驅(qū)動(dòng)的蔡氏電路中的等效線性電阻變成時(shí)變電阻。為控制上述等效的線性電阻的變化，進(jìn)而使該混沌電路具有更復(fù)雜的吸引子，將蔡氏激勵(lì)電路的變量y選作原始激勵(lì)變量，借助絕對(duì)值電路和同相加法電路來(lái)最終控制場(chǎng)效應(yīng)管的輸入回路。電路元器件參數(shù)為：R1=R17= 1.7 kΩ，R2=R19= 2.2 kΩ，R3=R4=R18=R20= 0.2 kΩ，R5=R7=R21=R22= 22 kΩ，R6=R23= 3.3 kΩ，R8= 9.981 kΩ，R9= 1 kΩ，R10=R11=R12=R14=R15=R16= 100 kΩ，R13= 25 kΩ，C1=C3= 100 nF，C2=C4= 10 nF，L1=L2= 18 mH，V1= 500 mV，運(yùn)放是TL082CD，模擬乘法器是AD633。受驅(qū)動(dòng)的蔡氏電路仿真圖如圖2所示。

圖1 新混沌電路的電路圖Fig.1 Circuit diagram of new chaotic circuit

圖2 新混沌電路狀態(tài)變量x和y的相圖Fig.2 Phase portraits of state variables x and y

2 加密方案

本加密算法利用新設(shè)計(jì)的混沌電路產(chǎn)生密鑰流，用像素置亂和替代相結(jié)合的方法對(duì)原始圖像進(jìn)行加密。其中，像素置亂用以擾亂原始圖像的像素位置，降低相鄰像素間的相關(guān)性；像素值替代用于改變置亂后圖像的像素灰度，擾亂圖像的統(tǒng)計(jì)特性。

2.1 混沌加密序列的產(chǎn)生

通過(guò)對(duì)受驅(qū)動(dòng)的蔡氏電路的狀態(tài)變量x和y的采樣，分別得到兩組混沌序列{xn}、{yn}。這兩組混沌序列經(jīng)過(guò)處理后將用來(lái)完成對(duì)彩色圖像的R通道的加密。通過(guò)改變受驅(qū)動(dòng)的蔡氏電路的線性電阻R1的阻值，得到了用于對(duì)彩色圖像的G、B通道進(jìn)行加密的另外四組混沌序列。其中，用于對(duì)R通道進(jìn)行加密所用的阻值是1.70 kΩ，對(duì)G、B通道進(jìn)行加密所用的阻值分別是1.72和1.75 kΩ。本文對(duì)R通道的加密過(guò)程進(jìn)行介紹，G、B通道加密過(guò)程和R通道的相同。

2.2 加密步驟及仿真結(jié)果

Step 1：讀入彩色圖像的R通道Amn，1≤i≤m，1≤j≤n，m和n分別是圖像的高度和寬度，將矩陣A按列拉直并得到序列Ln×m{l1,l2, …,ln×m}；

Step 2：對(duì)混沌序列{xn}、{yn}進(jìn)行截取，使之與序列Ln×m等長(zhǎng)；

Step 3：對(duì)經(jīng)過(guò)截取得到的新的混沌序列{xn}、{yn}進(jìn)行預(yù)處理，將其均變?yōu)檎麛?shù)序列，且上述整數(shù)序列位于區(qū)間 [0, 255] 內(nèi)。計(jì)算公式分別如下：

Xn=abs(Xn/max(|Xn|)×255)，

(3)

Yn=mod(abs(fix((Yn-fix(Yn))×103)),256)。

(4)

使用大小為200×200的彩色圖像“Lena”作為明文圖像，利用Matlab R2013b軟件進(jìn)行仿真。仿真結(jié)果如圖3～4所示。

圖3 仿真圖像Fig.3 Images used in the simulation

(a)-(c)明文圖像R、G、B通道的灰度圖；(d)-(f) 密文圖像R、G、B通道的灰度圖

圖4明文圖像和密文圖像各個(gè)通道的灰度圖
Fig.4 Gray images of each channel of the plain image and encrypted image

3 安全性分析

3.1 灰度分布直方圖對(duì)比

直方圖通過(guò)統(tǒng)計(jì)不同像素的個(gè)數(shù)，可以反映圖像像素值的分布規(guī)律。直方圖分布越均勻，則說(shuō)明圖像像素值分布越無(wú)規(guī)律可循，從而有效防止攻擊者從統(tǒng)計(jì)特性方面獲取有效信息。原始圖像和加密圖像各個(gè)通道的直方圖如圖5所示。通過(guò)對(duì)比可以看出，原始圖像的像素值集中分布在某些點(diǎn)，而加密圖像的像素值則是均勻分布。即原始圖像經(jīng)過(guò)加密處理后，在對(duì)抗?jié)撛诘慕y(tǒng)計(jì)攻擊時(shí)具有較高的安全性。

(a)-(c)原始圖像R、G、B通道的直方圖；(d)-(f)加密圖像R、G、B通道的直方圖圖5 原始圖像和加密圖像各個(gè)通道的灰度分布直方圖Fig.5 Histograms of plain image and encrypted image in each channel

3.2 相關(guān)性分析

通過(guò)每次隨機(jī)選取10 000對(duì)相鄰的像素值，分別計(jì)算原始圖像和加密圖像在水平方向、垂直方向和對(duì)角線方向的相關(guān)系數(shù)。計(jì)算公式如下：

(5)

(6)

(7)

(8)

其中：x和y分別表示兩相鄰像素的灰度值，p為圖像的總像素個(gè)數(shù)，pxy為相鄰像素的相關(guān)系數(shù)。

仿真結(jié)果如圖6和表1所示。通過(guò)對(duì)比可知，原始圖像相鄰像素的相關(guān)性非常大，而加密圖像相鄰像素的相關(guān)性卻非常小，說(shuō)明原始圖像的統(tǒng)計(jì)特征已完全被隨機(jī)分散，即無(wú)法檢測(cè)到原始圖像和加密圖像之間的相關(guān)性。

3.3 信息熵分析

信息熵的計(jì)算公式為：

(9)

其中：n表示圖像的灰度等級(jí)，pi表示灰度值為i的像素出現(xiàn)的概率。

(a)-(c)原始圖像水平、垂直、對(duì)角線方向相鄰像素相關(guān)性；(d)-(f)加密圖像水平、垂直、對(duì)角線方向相鄰像素相關(guān)性圖6 原始圖像和加密圖像各個(gè)方向的相鄰像素相關(guān)性Fig.6 Correlations of plain image and encrypted image in every directions

方向原始圖像加密圖像水平0.9074-0.0159垂直0.9639-0.0253對(duì)角線0.9046-0.0005898

表2 加密圖像的信息熵Tab.2 Information entropies of encrypted image

由于所用原始圖像的灰度等級(jí)是256，即信源的符號(hào)數(shù)是256，那么該信源的理想熵值為8。圖像的熵值越接近8，則圖像的灰度分布越均勻。仿真結(jié)果如表2所示，結(jié)果表明：密文圖像的各個(gè)通道的信息熵均非常接近8，即密文圖像的各個(gè)通道的灰度分布中可用的明文信息非常少。

3.4 密鑰空間和密鑰靈敏度分析

提出的新混沌電路的密鑰空間理論上可為無(wú)窮大。

加密所用的混沌序列的的原理可分為如下幾步：

第一步：本方法通過(guò)對(duì)蔡氏電路的動(dòng)力學(xué)軌道進(jìn)行采樣，得到一有限長(zhǎng)時(shí)間序列{an}。然后將蔡氏電路的線性電阻由1.70 kΩ 改為1.92 kΩ，并得到另一有限長(zhǎng)時(shí)間序列{bn}。通過(guò)將序列{an}的前t1個(gè)項(xiàng)和序列{bn}的第t1+1項(xiàng)到第2t1項(xiàng)組合起來(lái)得到序列{cn}。原理圖如圖7所示。

圖7 產(chǎn)生組合混沌序列的原理圖Fig.7 Schematic diagram of the combination of chaotic sequence

圖8 新蔡氏電路產(chǎn)生混沌序列的原理圖Fig.8 Schematic diagram of the chaotic sequence for new Chua’s circuit

圖9 新混沌電路產(chǎn)生混沌序列的原理圖Fig.9 Schematic diagram of the chaotic sequence of the new chaotic circuit

圖7中軌道編號(hào)0：R1=1.70 kΩ，初始狀態(tài)為(x0,y0)；軌道編號(hào)1：R1=1.92 kΩ，初始狀態(tài)為(x0,y0)。

第二步：基于有限次切換操作的新蔡氏電路的混沌序列的原理圖，如圖8所示。

圖8中軌道編號(hào)n：初始狀態(tài)為(xn,yn)的軌道；點(diǎn)劃線：R1阻值分界線，線上部分為1.70 kΩ、線下部分為1.92 kΩ。初始時(shí)刻，系統(tǒng)在蔡氏電路(其線性電阻R1阻值為1.70 kΩ)處于初始狀態(tài)為(x0,y0)時(shí)的軌道上演化；t1時(shí)刻進(jìn)行切換，R1阻值變?yōu)?.92 kΩ，系統(tǒng)開(kāi)始在蔡氏電路處于線性電阻阻值為1.92 kΩ、初始狀態(tài)為(xt1,yt1)時(shí)的軌道上演化；2t1-2時(shí)刻進(jìn)行第二次切換，R1阻值變?yōu)?.70 kΩ，系統(tǒng)開(kāi)始在蔡氏電路處于線性電阻阻值為1.70 kΩ、初始狀態(tài)為(x2t1-2,y2t1-2)時(shí)的軌道上演化。

第三步：本算法中新混沌電路產(chǎn)生混沌序列的主原理圖如圖9所示。系統(tǒng)的軌道離開(kāi)初始狀態(tài)點(diǎn)后，受驅(qū)動(dòng)蔡氏電路的線性電阻的阻值就開(kāi)始在有限范圍內(nèi)時(shí)刻變動(dòng)且變化過(guò)程復(fù)雜，故而接下來(lái)的每一時(shí)刻，軌道都在進(jìn)行切換且可能切換到整個(gè)軌道范圍里的任一軌道之上?？紤]初始狀態(tài)的情況，就是將上述每一軌道按照?qǐng)D8中的方式擴(kuò)展為n條軌道，即系統(tǒng)軌道離開(kāi)初始狀態(tài)點(diǎn)后的每一時(shí)刻，軌道都在進(jìn)行切換且可能切換到對(duì)應(yīng)于蔡氏電路處于線性電阻阻值為有限范圍內(nèi)任一值、初始狀態(tài)為無(wú)數(shù)狀態(tài)中某一特定狀態(tài)時(shí)的軌道。而且，通過(guò)設(shè)定相關(guān)參數(shù)使得系統(tǒng)的狀態(tài)點(diǎn)始終是從一個(gè)雙渦卷混沌吸引子的軌道跳到另一個(gè)雙渦卷混沌吸引子的軌道上。

鑒于混沌系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)，元器件參數(shù)的小范圍攝動(dòng)對(duì)混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響與切換操作對(duì)混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響并非是簡(jiǎn)單的線性疊加。相反，二者結(jié)合在一起，時(shí)刻都在共同發(fā)揮作用。即此時(shí)元器件參數(shù)的小范圍攝動(dòng)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響已不可忽視。

為了分析密鑰靈敏度，僅將圖1中受驅(qū)動(dòng)蔡氏電路的虛擬線性電阻R1的阻值由1.700 000 000 0 kΩ變?yōu)?.700 000 000 1 kΩ，保持軟件Multisim 12.0里相關(guān)仿真參數(shù)的一致，并按照產(chǎn)生原混沌加密序列的操作過(guò)程進(jìn)行操作，最終得到對(duì)應(yīng)的新的混沌加密序列{Xn2}、{Yn2}。仿真結(jié)果如圖10所示。

由仿真結(jié)果可知，使用錯(cuò)誤的密鑰進(jìn)行解密得到的圖像完全不同于原始圖像，即解密算子即使僅有10-10的偏差，解密將完全失敗?？梢?jiàn)此加密算法足以對(duì)抗枚舉攻擊。

(a)原始圖像；(b)正確密鑰解密的圖像；(c)錯(cuò)誤密鑰解密的圖像圖10 原始圖像和解密圖像Fig.10 Plain image and decrypted images

4 結(jié)論

基于電子元器件的參數(shù)攝動(dòng)和實(shí)時(shí)切換操作設(shè)計(jì)了一種新混沌電路，對(duì)彩色圖像進(jìn)行加密。通過(guò)引入時(shí)變電阻使得該混沌電路相較于確定的混沌加密系統(tǒng)擁有更好的偽隨機(jī)性，大大提高了加密的安全性。此外，基于上述新混沌電路的加密系統(tǒng)，在保證安全性能的前提下，使用更加簡(jiǎn)單的加密算法且易于編程實(shí)現(xiàn)。由于電路通常是基于標(biāo)準(zhǔn)元器件來(lái)實(shí)現(xiàn)的，因此混沌電路器件定型和必要的外圍電路的設(shè)計(jì)需要綜合考慮多方面因素，具備一定的電路方面的先驗(yàn)知識(shí)可以很好地解決上述問(wèn)題?？傊?，新混沌電路在通信系統(tǒng)保密性方面具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。仿真結(jié)果說(shuō)明了新混沌電路的正確性、加密方法的有效性。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱和貴.信息安全中混沌圖像加密算法及其相關(guān)問(wèn)題研究[D].長(zhǎng)春：吉林大學(xué)，2014.

[2]何希平.基于混沌的圖像信息安全算法研究[D].重慶：重慶大學(xué)，2006.

[3]LANG J.Color image encryption based on color blend and chaos permutation in the reality-preserving multiple-parameter fractional Fourier transform domain[J].Optics Communications,2015,338:181-192.

[4]WANG L Y,SONG H J,LIU P.A novel hybrid color image encryption algorithm using two complex chaotic systems[J].Optics and Lasers in Engineering,2016,77:118-125.

[5]ZHANG W,YU H,ZHAO Y L,et al.Image encryption based on three-dimensional bit matrix permutation[J].Signal Processing,2016,118:36-50.

[6]庹朝永,秦拯,黎謙.聯(lián)合二維 Logistic 混沌映射與比特重組的彩色圖像加密算法[J].計(jì)算機(jī)科學(xué),2013,40(8):300-302.

TUO Chaoyong,QIN Zheng,LI Qian.Color image encryption algorithm based on 2D logistic chaotic map and bit rearrange [J].Computer Science,2013,40(8):300-302.

[7]盧輝斌,王麗佳.基于 Hopfield 網(wǎng)絡(luò)的彩色圖像混沌加密算法[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(信息科學(xué)版)，2014,32(2):131-137.

LU Huibin,WANG Lijia.Color image encryption algorithm of chaotic based on the Hopfield network[J].Journal of Jilin University (Information Science Edition),2014,32(2):131-137.

[8]劉云,鄭永愛(ài),基于混沌系統(tǒng)的彩色圖像加密新方案[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2011,47(3):90-93.

LIU Yun,ZHENG Yong′ai.Novel encryption scheme for color image based on chaotic system[J].Computer Engineering and Applications,2011,47(3):90-93.

[9]何松林.基于混沌序列的數(shù)字彩色圖像加密算法[J].計(jì)算機(jī)工程，2011,37(10):114-116.

HE Songlin.Encryption algorithm for digital color image based on chaotic sequences[J].Computer Engineering,2011,37 (10):114-116.

[10]邢麗坤,華正春,牛秀齡,等.基于混沌和 FRFT 的彩色圖像加密算法[J].電腦知識(shí)與技術(shù)，2016,12(12):201-203.

XING Likun,HUA Zhengchun,NIU Xiuling,et al.Color image encryption algorithm based on chaos and FRFT[J].Computer Knowledge and Technology,2016,12(12):201-203.

[11]VATS V B,PARTHASARATHY H.A perturbation-based model for rectifier circuits[J].International Journal of Differential Equations,2006(3):1-13.

[12]LI Q L,LIU H J,SONG X K,et al.Modeling and stability analysis of three-phase converter based on switching system theory[J].Transactions of China Electronical Society,2009,24:89-95.

[13]ZHANG Z,BI Q.Bifurcation in a piecewise linear circuit with switching boundaries[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,2012,22(2):1-18.

[14]GARDINI L,FOU RNIER-PRUNARET D,CHARGE P.Border collision bifurcations in a two-dimensional piecewise smooth map from a simple switching circuit[J].Chaos:An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science,2011,21(2):023106-023118.

[15]BORAH M,SINGH P P,ROY B K.Improved chaotic dynamics of a fractional-order system,its chaos-suppressed synchronization and circuit implementation[J].Circuits,Systems,and Signal Processing,2016,35(6):1871-1907.

[16]WANG B,ZHONG S M,DONG X C.On the novel chaotic secure communication scheme design[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2016,39:108-117.

[17]RODRIGUES V P,OLIVEIRA T,CUNHA J P.Globally stable synchronization of chaotic systems based on norm observers connected in cascade[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems II:Express Briefs,2016,63(9):883-887.

[18]ZEMLYANYI O V.Keying of the broadband chaotic signal spectrum for data transmission[J].Telecommunications and Radio Engineering,2016,75(5):401-411.

[19]HUANG L L,ZHANG J,SHI S S.Circuit simulation on control and synchronization of fractional order switching chaotic system[J].Mathematics and Computers in Simulation,2015,113:28-39.

[20]MA T.Synchronization of multi-agent stochastic impulsive perturbed chaotic delayed neural networks with switching topology[J].Neurocomputing,2015,151:1392-1406.

[21] GAO X,XIE F,HU H.Enhancing the security of electro-optic delayed chaotic system with intermittent time-delay modulation and digital chaos[J].Optics Communications,2015,352:77-83.

[22] HSU W T,TSAI J S H,GUO F C,et al.From fault-diagnosis and performance recovery of a controlled system to chaotic secure communication[J].International Journal of Bifurcation,2014,24(12):1-30.