范朝冬,任 柯,易靈芝,肖樂意，朱彪明,李 杰

(1.湘潭大學(xué)信息工程學(xué)院,湖南 湘潭 411105; 2.湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院,湖南 長沙 410082)

1 引言

在目前的全局優(yōu)化算法中，啟發(fā)式算法因?qū)崿F(xiàn)簡單且效率高而逐漸成為國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)。當(dāng)前主流的啟發(fā)式算法主要可分為三大類：(1)模擬自然進(jìn)化規(guī)律的優(yōu)化算法，如遺傳算法GA(Genetic Algorithm)[1]、進(jìn)化策略ES(Evolutionary Strategy)[2]等；(2)模擬生物群體的生活習(xí)性與活動(dòng)規(guī)律的優(yōu)化算法，如微粒群優(yōu)化PSO(Particle Swarm Optimization)算法[3]、人工蜂群ABC(Artificial Bee Colony)算法[4]、螢火蟲GSO(Glowworm Swarm Optimization)算法[5]等；(3)模擬物理現(xiàn)象或物理規(guī)律的優(yōu)化算法，如中心引力CFO(Central Force Optimization)算法[6]、萬有引力算法GSA(Gravitational Search Algorithm)[7]、人工物理優(yōu)化APO(Artificial Physics Optimization)算法[8]等。其中,基于物理規(guī)律的優(yōu)化算法因模型規(guī)范且尋優(yōu)效果好，已逐漸成為智能優(yōu)化領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[9]。

2013年，筆者通過模擬分子運(yùn)動(dòng)機(jī)制提出了分子動(dòng)理論優(yōu)化算法MKTOA(Molecular Kinetic Theory Optimization Algorithm)[10]，因該算法同時(shí)考慮了個(gè)體間的吸引和排斥作用，所以取得了較好的優(yōu)化效果；2014年，筆者進(jìn)一步將其應(yīng)用于圖像閾值分割問題，通過搜索最優(yōu)閾值取得了理想的分割效果[11,12]；2015年，為避免MKTOA發(fā)生錯(cuò)誤引導(dǎo)而影響算法效率，筆者提出了M精英協(xié)同進(jìn)化分子動(dòng)理論優(yōu)化算法MECMKTOA(M-Elite Coevolutionary MKTOA)[9]。雖然當(dāng)前對MKTOA的研究已取得一定進(jìn)展，但因其研究才剛剛起步，各方面還不夠完善，局部極值和收斂精度等問題仍有待解決。

針對MKTOA的上述問題，本文提出了一種雙種群分子動(dòng)理論優(yōu)化算法DP-MKTOA(Dual Population of Molecular Kinetic Theory Optimization Algorithm)。該算法將種群分為精英和普通兩個(gè)子群，普通子群執(zhí)行MKTOA的搜索過程進(jìn)行大范圍搜索，而精英子群則通過協(xié)同學(xué)習(xí)而實(shí)現(xiàn)局部搜索；在迭代過程中，分別采用模擬退火個(gè)體更新策略和多樣性監(jiān)測波動(dòng)算子，以免個(gè)體移動(dòng)隨機(jī)性過大并增強(qiáng)算法全局搜索能力，函數(shù)實(shí)驗(yàn)測試驗(yàn)證了DP-MKTOA的有效性。

2 傳統(tǒng)分子動(dòng)理論優(yōu)化算法

在MKTOA中，每個(gè)分子在不同的位置上得到不同目標(biāo)函數(shù)值，表示為個(gè)體的適應(yīng)度值。分子運(yùn)動(dòng)的規(guī)律就是種群的搜索策略。分子間存在的相互作用力有引力、斥力以及不受力的情況。通過這種相互作用力所建立的搜索策略來搜索目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。

吸引算子計(jì)算公式為:

ifrand

(1)

ai=Fi/Mi=GMBest(XBest-Xi)

(2)

排斥算子計(jì)算公式為:

ifPAttraction

Fi=-GMiMBest(XBest-Xi)

(3)

ai=Fi/Mi=-GMBest(XBest-Xi)

(4)

熱運(yùn)動(dòng)算子計(jì)算公式為:

if 1-PFluctuation

(5)

其中,rand為0～1的隨機(jī)數(shù)，PAttraction表示分子所受合力為引力的概率，PElimination為分子所受合力為斥力的概率，PFluctuation代表分子不受力的概率(PAttraction+PElimination+PFluctuation=1)，Mi、MBest分別為分子Xi和最優(yōu)個(gè)體XBest的質(zhì)量，Xi表示第i個(gè)分子的位置。根據(jù)牛頓第二定理，Xi的加速度計(jì)算公式分別如式(2)、式(4)、式(5)所示，其中aij為個(gè)體i的j維加速度，pc∈[0,1]為變異率，本文取pc=0.05。Xmaxj、Xminj分別為解空間的第j維的上、下界，A為振動(dòng)幅度，N(0,1)為服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù),Prand為0～1的隨機(jī)數(shù)。

3 雙種群分子動(dòng)理論優(yōu)化算法

由于MKTOA中個(gè)體只受到當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體引導(dǎo)，故算法易陷入局部極值。對此，本文引入雙種群思想，首先按適應(yīng)度順序?qū)⑷后w分為精英和普通兩個(gè)子種群；然后兩子群分別按不同的搜索策略進(jìn)行搜索，并通過信息交流共同完成尋優(yōu)過程。

3.1 普通種群搜索過程

對于普通種群，執(zhí)行MKTOA搜索行為而進(jìn)行隨機(jī)化搜索，其具體過程如前所述。因MKTOA易陷入局部極值，而種群多樣性的保持有助于增強(qiáng)算法全局搜索能力。對此，為實(shí)現(xiàn)大范圍搜索，本文通過監(jiān)測種群多樣性，充分利用多樣性信息調(diào)節(jié)變異率，設(shè)計(jì)了一種基于種群多樣性監(jiān)測的波動(dòng)算子:

if 1-PFluctuation

(6)

3.2 精英種群搜索過程

因?yàn)榫⒍际莾?yōu)良的候選解，在大范圍移動(dòng)中容易破壞候選解。對此，本文設(shè)計(jì)如下的精英學(xué)習(xí)算子，以便精英間協(xié)同學(xué)習(xí)而實(shí)現(xiàn)精細(xì)化搜索，其定義如式(7)所示：

ui,k=Xi,k+(Xj,k-Xi,k)N(0,1),k=1,2,…,D

(7)

其中：Xi,k(不為最優(yōu)個(gè)體)、Xj,k分別表示精英i、j的第k維分量，D為解向量的維數(shù)，ui,k為協(xié)同操作完成后所得子代個(gè)體的第k維分量，D維分量的集合構(gòu)成個(gè)體μi,N(0,1)為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，因標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在原點(diǎn)附近的概率較大，而遠(yuǎn)離原點(diǎn)的概率較小；即(Xj,k-Xi,k)N(0,1)以較大的概率取得較小值，因而有利于精英在其附近進(jìn)行精細(xì)化搜索，以提高收斂精度。

由于算法的隨機(jī)性，按式(7)得到的子代個(gè)體ui往往比原精英Xi差，很可能引起精英大規(guī)模退化，而影響尋優(yōu)效果。模擬退火算法SA(Simulated Annealing)中的Metropolis接受準(zhǔn)則僅以小概率接受退化個(gè)體，從而使算法在兼顧全局搜索能力的情況下能盡可能地避免個(gè)體退化[13]。對此，本文基于Metropolis接受準(zhǔn)則，設(shè)計(jì)了一種基于模擬退火的個(gè)體更新策略。

(8)

其中,Xi(t)表示第t代時(shí)的精英個(gè)體i，PSA是基于模擬退火原理設(shè)計(jì)的新個(gè)體接受率，T為退火溫度參數(shù)。由式(8)可知：當(dāng)新個(gè)體優(yōu)于原個(gè)體時(shí)，則接受新個(gè)體；否則，以小概率接受比原個(gè)體更差的新個(gè)體，以保持算法跳出局部“陷阱”的能力。

3.3 遷移交流過程

普通種群在迭代過程中，將不斷產(chǎn)生優(yōu)良個(gè)體，這些優(yōu)良個(gè)體有時(shí)甚至比精英種群中的精英還優(yōu)秀，此時(shí)為維持精英種群和普通種群的界限，采用遷移算子將優(yōu)良個(gè)體從普通種群遷入精英種群，同時(shí)將精英種群中的不良個(gè)體從精英種群遷入普通種群。分別記POPCommon、POPElite為普通種群和精英種群，XExcellent、YPoor為普通種群中的最優(yōu)個(gè)體和精英種群中的最差個(gè)體，則遷入、遷出過程如圖1所示。

Figure 1 Migration process between the subgroups圖1 子群間遷移過程

3.4 DP-MKTOA算法流程

雙種群分子動(dòng)理論優(yōu)化算法的算法流程如圖2所示。

Figure 2 Algorithm process of the DP-MKTOA圖2 DP-MKTOA算法流程

3.5 算法收斂性分析

在理論上對算法的收斂性進(jìn)行分析，是算法有效性的重要依據(jù)，對算法改進(jìn)具有指導(dǎo)作用。對此，本文對DP-MKTOA 的收斂性進(jìn)行了初步分析，具體過程如下：

定義1給定的目標(biāo)函數(shù)f，其解空間的范圍為RN，其中N表示維度(N=0,1,2,3,…,n)，則集合:

Ω={Xi|?Xj∈RN,f(Xi)≤f(Xj)}

(9)

稱為函數(shù)f的最優(yōu)解集合。

定義2對于一個(gè)隨機(jī)數(shù)列δ={Y(t),t=1,2,…,T}，如滿足:

(δ∩Ω≠?)=1

(10)

則稱隨機(jī)數(shù)列δ是概率弱收斂于函數(shù)f的最優(yōu)解。

要證明DP-MKTOA的收斂性，即證以下假設(shè)成立。

假設(shè):對于任意的初始種群的給定，DP-MKTOA是概率弱收斂的。

證明Y(t)表示算法第t次迭代時(shí)的種群，記:

χt=P(Y(t+1)∩Ω=?|Y(t)∩Ω≠?)

(11)

λt=P(Y(t+1)∩Ω≠?|Y(t)∩Ω=?)

(12)

由DP-MKTOA的算法過程可知，種群產(chǎn)生的最優(yōu)個(gè)體不會(huì)發(fā)生退化，故χt=0；又由分子熱運(yùn)動(dòng)的擾動(dòng)加速度可知，受力為零的個(gè)體具有從空間一點(diǎn)移動(dòng)到空間任意一點(diǎn)的能力，基于模擬退火機(jī)制可知，個(gè)體還具有跳出局部極值的能力，故λt>0。

由全概率公式可知:

(13)

其中，λmin=min(λi),i=1,2,…,t。

由對任意t，有λt>0，所以0<1-λmin<1。

(14)

所以:

?)=

(15)

故DP-MKTOA以概率1收斂到最優(yōu)解。

□

4 算法性能測試

4.1 基準(zhǔn)測試函數(shù)

為了驗(yàn)證DP-MKTOA的有效性，選用文獻(xiàn)[9]中的15個(gè)經(jīng)典函數(shù)作為基準(zhǔn)測試函數(shù)，這些函數(shù)形態(tài)復(fù)雜，能對算法的性能進(jìn)行全面測試，且這些函數(shù)已被廣泛應(yīng)用于算法性能測試。表1中，f1～f8為單模函數(shù)，f9～f15為多模函數(shù)，f5為噪聲函數(shù)。f8、f15是2維函數(shù)，其它函數(shù)為30維函數(shù)。f1～f15的具體定義如表1所示。

Table 1 Benchmark test functions表1 基準(zhǔn)測試函數(shù)

4.2 算法改進(jìn)有效性驗(yàn)證

為測試DP-MKTOA的性能，選取慣性權(quán)重微粒群算法IWPSO(Inertia Weight Particle Swarm Optimization)、帶隨機(jī)位置的微粒群算法RPPSO(Particle Swarm Optimization with Random Position)、進(jìn)化策略(DE)和分子動(dòng)理論優(yōu)化算法(MKTOA)作為比較對象，各算法參數(shù)設(shè)置與參考文獻(xiàn)[14,15]一致，如表2所示，種群規(guī)模和最大迭代次數(shù)分別為50和2 000。

由表3可知，與IWPSO、RPPSO和DE相比，MKTOA及其改進(jìn)算法DP-MKTOA在收斂精度和算法穩(wěn)定性方面都具有明顯優(yōu)勢。對于函數(shù)f6和f9，傳統(tǒng)MKTOA距離問題的最優(yōu)解較遠(yuǎn)，這是因?yàn)樵撍惴▋H依靠最優(yōu)個(gè)體引導(dǎo)尋優(yōu)過程，易陷于局部極值；而DP-MKTOA因采用雙子群，依靠整個(gè)精英子群對普通子群進(jìn)行引導(dǎo)，并采用多樣性檢測的波動(dòng)算子，能盡量避免陷于局部極值，因而尋優(yōu)結(jié)果更接近于理論最優(yōu)值。對于函數(shù)f5和f14，MKTOA和DP-MKTOA的結(jié)果都接近于理論最優(yōu)值，但因DP-MKTOA對精英個(gè)體采用相互

Table 2 Algorithm parameter Settings表2 算法參數(shù)設(shè)置

Table 3 Benchmark test function experiment表3 基準(zhǔn)測試函數(shù)實(shí)驗(yàn)

學(xué)習(xí)的協(xié)作算子，能在精英附近進(jìn)行精細(xì)化搜索，因而取得了更高的收斂精度。對比實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了改進(jìn)措施的有效性。

4.3 高維及超高維函數(shù)測試

為測試DP-MKTOA求解復(fù)雜問題的能力并分析問題復(fù)雜度的增加對算法性能的影響，用DP-MKTOA分別求解高維和超高維(1 000維及以上)條件下的f10和f13，并將其所求結(jié)果與文獻(xiàn)[16]中的免疫記憶克隆規(guī)劃算法IMCPA(Immune Memory Clonal Programming Algorithm)及無記憶功能的免疫記憶克隆規(guī)劃算法(nIMCPA)進(jìn)行比較。算法終止條件為gbestF<ε，gbestF為算法當(dāng)前的最優(yōu)值，ε為算法的收斂精度，比較結(jié)果如表4所示，其中“#”表示參考文獻(xiàn)中沒有該實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

由表4可知：與IMCPA和nIMCPA相比，在同一收斂精度條件下，DP-MKTOA 所需的函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)相對較少；隨著維數(shù)的增加，DP-MKTOA的函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)增長得相對緩慢。比較結(jié)果表明：DP-MKTOA即使在超高維條件下仍能表現(xiàn)出良好的性能，且其性能不隨問題維數(shù)的增加而迅速下降，表現(xiàn)出良好的魯棒性。

4.4 動(dòng)態(tài)函數(shù)測試

為了檢測算法的動(dòng)態(tài)變化跟蹤能力，選用Shift動(dòng)態(tài)函數(shù)來測試算法的動(dòng)態(tài)優(yōu)化性能[17]。選用如表5所示的典型動(dòng)態(tài)函數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

從表6實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，在典型的Shift動(dòng)態(tài)函數(shù)問題求解上，DP-MKTOA算法在全局最優(yōu)值(Mean)、標(biāo)準(zhǔn)方差(Std.Dev)及其收斂速度方面都表現(xiàn)良好，表明DP-MKTOA具有較好的動(dòng)態(tài)自適應(yīng)尋優(yōu)能力與抗干擾能力。

4.5 算法多樣性分析

由于本文篇幅有限，僅選取f5、f8、f12、f15四個(gè)具有代表性的函數(shù)進(jìn)行分析，其中f5為30維的噪聲函數(shù)，f12為30維的多模函數(shù)，f8、f15是2維函數(shù)。由圖3～圖6的比較結(jié)果可得出以下結(jié)論：各算法的種群多樣性順序?yàn)镈P-MKTOA>MKTOA>RPPSO>IWPSO>DE，其中IWPSO、DE的多樣性迅速下降并趨近于零，這無益于個(gè)體進(jìn)化；RPPSO多樣性下降的速率比較慢，要好于IWPSO、DE，但最終還是在迭代的中后期趨近于零；DP-MKTOA和MKTOA的多樣性較好，能在2 000次的迭代過程中始終保持一定的多樣性，而DP-MKTOA仍優(yōu)于MKTOA。綜上可知，基于種群多樣性監(jiān)測的波動(dòng)算子因能實(shí)時(shí)監(jiān)測種群多樣性，并據(jù)此調(diào)節(jié)波動(dòng)率，對維持種群多樣性(即保持算法全局搜索能力)具有重要意義。

Table 4 Test of high-dimensional functions表4 高維函數(shù)性能測試

Table 5 Dynamic functions表5 動(dòng)態(tài)函數(shù)

Table 6 Dynamic function experiment contrast表6 動(dòng)態(tài)函數(shù)實(shí)驗(yàn)對比

Figure 3 Diversity comparison of f5圖3 對f5求解的多樣性比較

Figure 5 Diversity comparison of f12圖5 對f12求解的多樣性比較

Figure 4 Diversity comparison of f8圖4 對f8求解的多樣性比較

Figure 6 Diversity comparison of f15圖6 對f15求解的多樣性比較

5 結(jié)束語

本文針對傳統(tǒng)分子動(dòng)理論優(yōu)化算法存在尋優(yōu)精度差、易陷入局部極值等不足，提出了以下改進(jìn)措施：(1)采用雙種群思想，每個(gè)子群按不同的策略進(jìn)行搜索，通過分工合作而共同實(shí)現(xiàn)尋優(yōu)過程；(2)為使普通種群在大范圍內(nèi)進(jìn)行搜索，提出了多樣性波動(dòng)算子，基于反饋的種群多樣性信息調(diào)節(jié)變異率，以增強(qiáng)算法的全局搜索能力；(3)為使精英種群實(shí)現(xiàn)精細(xì)化搜索，設(shè)計(jì)了協(xié)同學(xué)習(xí)算子，并采用模擬退火個(gè)體更新策略，盡量避免移動(dòng)隨機(jī)性過大問題，從對比實(shí)驗(yàn)可驗(yàn)證算法改進(jìn)的有效性。為進(jìn)一步測試算法性能，分別以高維函數(shù)和動(dòng)態(tài)函數(shù)作為測試對象，結(jié)果表明DP-MKTOA的性能不隨維數(shù)的增加而迅速下降，且對動(dòng)態(tài)函數(shù)表現(xiàn)出良好的動(dòng)態(tài)尋優(yōu)能力。雖然DP-MKTOA具備較好的綜合尋優(yōu)能力，但測試實(shí)驗(yàn)表明，其性能仍有改善空間，且該算法僅適于求解單目標(biāo)問題，不能直接求解多目標(biāo)問題。因此，逐步對其改進(jìn)和完善，進(jìn)一步提高其尋優(yōu)性能和應(yīng)用范圍，在后續(xù)工作中具有重要意義。

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