魏瀟然

(西北大學 新聞傳播學院，陜西 西安 710127)

熔絲沉積成型中最優(yōu)放置方向選擇算法

魏瀟然

(西北大學 新聞傳播學院，陜西 西安 710127)

在熔絲沉積成型制造中，調整物體放置方向可以改善制造后模型表面精確度，并能有效減少打印耗材和打印時間．但是現有最優(yōu)放置角度算法很少兼顧這三因素．文中在考慮這三因素的基礎上，同時分析人們對顯著特征區(qū)域精細程度主觀觀感的不同，以及去除支撐時對模型的損害，提出了支撐體積耗材、模型表面打印耗材、打印時間、模型表面精細度、模型表面顯著特征加權精細度、支撐覆著表面積等6項成型指標與放置角度的關系函數，并根據這6項成型評價指標函數構造最優(yōu)放置角度目標函數；最后，求解最優(yōu)化目標函數以獲取最優(yōu)放置角度．實驗結果表明，該算法可有效計算各種條件下的物體最優(yōu)放置角度，優(yōu)化了制造物體表面的精確度，節(jié)約了打印耗材和打印時間，避免了部分后處理對模型造成的損害．

快速成型;熔絲沉積成型;打印放置方向

三維(3-Dimensional，3D)打印是快速成型領域中的革命性技術，在工業(yè)設計、制造業(yè)、醫(yī)學、建筑等領域已有廣泛的應用．熔絲沉積成型技術[1]是3D打印中最常用的技術之一．在熔絲沉積成型制造前，調整物體放置角度可以改善制造后模型表面精確度，并能有效減少打印耗材和打印時間．關于3D打印以及熔絲沉積成型中的放置角度算法已有大量研究．

上世紀90年代起，已有許多學者對3D打印物體的放置角度選取進行研究．文獻[2]首先分析定義了受不同放置角度影響的打印成型指標，包括模型高度、支撐結構體積和模型表面臺階效應，給出了這些指標的計算方法，并選擇在若干個不同角度下計算這些指標，選擇其中的最優(yōu)放置角度．許多學者利用智能算法對該問題求解，文獻[3]通過估計打印時間、后處理時間和平均表面粗糙度構造了一個多目標的適應度評價函數，利用遺傳算法求解最優(yōu)放置角度．文獻[4]將球極坐標系下兩個角度參數作為基因編碼，構造遺傳算法，對打印高度、臺階效應和打印耗材構造適應度函數，使用遺傳算法求解，計算最優(yōu)放置角度．另有學者專門研究打印放置角度對單項成型評價指標的影響，文獻[5]利用圖形處理器對深度圖像的快速計算能力，提出了一種基于深度圖像的快速支撐結構體積計算方法，并通過遍歷各放置角度尋找支撐結構最小的打印放置角度．文獻[6]分析了圓柱度公差與打印放置角度的關系，提供可視化工具，用于求解多圓柱特征模型的最優(yōu)放置角度．也有學者將放置角度的選擇和其他算法或需求結合起來進行研究，文獻[7]結合人為主觀對顯著區(qū)域及優(yōu)先視點的分析，計算旋轉放置角度，使得支撐結構附著在非顯著區(qū)域，避免去除支撐時對模型的損壞．文獻[8]將模型分割與最優(yōu)旋轉放置角度相結合，將分割后模型的表面法向量盡可能地與打印方向垂直，使得分割后各子模型打印精度最高．許多學者通過確定放置角度，減少支撐結構耗材[9-11]．文獻[9]計算待支撐面積最小的旋轉放置角度，并在此角度下構造了省材的樹形結構有效支撐模型懸空表面．

打印視角存在一個重要問題: 就是受打印放置視角影響的多個指標其最優(yōu)角度可能相差很遠，有時甚至是相悖的，例如減少支撐結構的旋轉角度可能反而增加了物體表面的粗糙度，現有算法只考慮少數幾個指標最優(yōu)，會造成在提高模型某成型指標的同時，卻降低了其他成型指標．

筆者針對熔絲沉積成型，提出外部支撐體積的快速方法、模型打印時間耗材快速估算方法、支撐附著表面積計算方法以及模型精確度、顯著特征度粗糙度計算方法，并建立起這些成型指標和旋轉放置角度的關系函數，構造最優(yōu)放置角度目標函數，求解最優(yōu)化問題，以選擇最優(yōu)放置視角．實驗證明，利用該方法以最優(yōu)放置角度打印模型，可大大提升模型的精細度，并有效減少模型打印耗材與模型打印時間．

1 最優(yōu)角度選擇算法

1.1 問題描述

首先分析打印放置角度與模型各成型指標間的關系．

(1) 放置角度與外部支撐結構的關系．在不同放置角度下，模型打印所需的外部支撐會發(fā)生變化，這是由于改變放置角度，每層打印切片的形態(tài)均會發(fā)生變化，各層切片需要支撐的懸空面積也會隨之變化．如圖1所示，在不同角度下，外部支撐體積差異很大，選擇外部支撐結構體積相對較小的放置角度，可以有效節(jié)約打印外部支撐的耗材以及時間．

(2) 放置角度與支撐附著面積的關系．現有熔絲沉積成型技術中，通常采用與制造材料相同或相近的材質作為外部支撐，旋轉模型改變外部支撐結構的同時，也改變了支撐結構所附著的模型表面區(qū)域，通過旋轉模型角度來減少支撐附著面積，能在一定程度上減少去除支撐對模型造成的不必要損壞．

圖1 不同放置角度下的外部支撐圖2 臺階效應

(3) 放置角度與模型表面精確度的關系．熔絲沉積成型本質是一種分層制造技術，其各層間的臺階效應(如圖2所示)是主要影響其表面精確度的因素，各層間傾角越小，其臺階效應越明顯．旋轉模型的打印放置角度，可以改變各層間的傾角，改善模型臺階效應．

圖3 不同放置視角打印耗材差異

(4) 放置角度與顯著特征精確度的關系．同樣程度臺階效應在同一模型不同局部給人的感觀是不同的，主觀觀測會更注重模型特征顯著區(qū)域，對其精確度要求也較高．在某些應用場景下(如模型展示應用中)，期望顯著特征較細致，而部分非顯著特征可以適當粗糙，故計算時可將特征顯著度加權，在整體精細程度變化不大的前提下，選擇顯著特征更精細的打印角度．

(5) 放置角度與模型打印時間、打印耗材的關系．在不同的放置角度下，模型的打印耗材與打印時間也會發(fā)生變化，一部分原因是由于外部支撐結構體的改變，另一部分原因是由于在模型各層壁厚相同情況下，同一曲面，傾角越大，需要打印的層數越多，耗材也越多．如圖3所示，打印壁厚為常量，并且模型頂層、底層與模型側壁厚度一致，左右兩圖中AD邊、DC邊和BC邊分別平行或垂直于打印托盤，其打印耗材相同; 但是在AB邊上，左側模型要多打印兩層，因每層壁厚相同，故左圖需要耗費更多材料，相應的耗時也更多．合理調整模型放置角度，能有效節(jié)省模型表面打印材料和打印時間．

1.2 各指標的最優(yōu)放置角度選擇算法

對文中使用的坐標系進行定義，對打印空間建立笛卡爾坐標系，其中坐標y軸垂直于打印托盤，z軸朝向屏幕外，坐標系原點為打印托盤左后方點．模型的放置角度可以表示為(α，γ)，表示模型從初始位置繞x軸旋轉角度α，然后繞z軸旋轉角度γ．α和γ旋轉區(qū)間均選擇為[0，π]，即可覆蓋所有放置角度解．

1.2.1 外部支撐耗材快速計算方法

當模型某網格i法向量Ni(ai，bi，ci)與y軸正方向夾角超過臨界角度θ時，認定該處表面為懸空表面，需要添加支撐，文中設該臨界角度為 π/2．則當模型表面某網格朝向模型外的法向量與y軸正方向夾角在(0，π/2] 區(qū)間時，該表面網格需要添加外部支撐．

(1) 將模型所有網格按照重心由高至低進行排序為M(m0， …，mn)，初始取i=0，計算mi在打印托盤平面上的投影si，mi為網格i的面積．計算mi到打印托盤所需要的支撐體積vi，vi為si面積乘以面片重心距打印托盤的距離．根據

(1)

計算mi與y軸的夾角，判斷mi是否需要支撐．

(2) 若mi需要支撐，支撐體積V更新為V+vi．

(3) 若mi不需要支撐，則判斷mi在打印托盤上的投影是否在(m0， …，mn)打印托盤的投影內，若在投影內，則支撐體積V更新為V-vi；若不在投影內，則支撐體積不變．若i≠n，i=i+1，則重復執(zhí)行步驟(1)；若i=n，則返回V作為模型的外部支撐體積．

1.2.2 支撐附著面積計算

對于需要支撐的面片，可以計算其面積作為支撐附著面積．模型支撐附著表面積的計算公式為

(2)

下面分析模型旋轉后，支撐附著面積的計算方法．

計算旋轉后的法向量，并將其代入式(2)，可以獲得當模型繞x軸旋轉α，之后繞z軸旋轉γ時，其對應的支撐附著面積為

(4)

1.2.3 模型表面精確度(臺階效應)評價方法

對臺階效應進行分析．如圖2所示，梯形的斜邊為實際模型表面，而斜邊內側階梯狀邊為熔絲分層堆積形成的打印模型表面，由于熔絲沉積成型分層制造特點，該表面熔絲堆積呈現臺階狀，與實際模型表面有一定差異．尖高(Cusp Height)h可以作為臺階效應的量化評價指標．尖高計算公式為

(5)

其中，l為層厚，cosθ為模型表面法向量與y軸正方向的夾角．

對于一個網格i，其上任意一點的尖高均為該網格法向量Ni(ai，bi，ci)與y軸正方向的夾角的絕對值，度量一個網格的表面精確度Hi，直接用該網格面積si乘以尖高即可．該網格繞x軸旋轉α，并繞z軸旋轉γ后，網格表面精確度計算為

(6)

模型整體的尖高為各網格面片尖高之和，模型上網格面片總數為n，模型繞x軸旋轉α并繞z軸旋轉γ后的整體尖高為

(7)

1.2.4 特征加權的精確度評價方法

高斯曲率可以反應模型某頂點潛在曲面的彎曲程度．文中將高斯曲率作為特征顯著程度的評價指標，采用Meyer的Voronoi方法估算曲率．

利用高斯曲率對各面片的精確度加權，以表示各面片的顯著特征精確度．面片mi的顯著特征精確度Sai(α，γ)和模型整體表面的顯著特征精確度Satotal(α，γ)的表達式為

(8)

其中，k為常量，用于對表面彎曲分布不同的模型進行高斯曲率權重的調節(jié)．例如若模型呈現部分區(qū)域高斯曲率很大(平坦部分高斯曲率小于1，彎曲部分高斯曲率遠大于1)，可以將k設置大于1，控制這些過大曲率．

1.2.5 打印耗材與打印時間計算方法

設模型一網格面片mi的表面積為si，其法向量Ni與y軸正方向的夾角為θ．根據余弦公式計算該夾角角度，進而計算其正弦值．任意網格的打印耗材的計算公式如下:

(9)

利用式(3)可計算模型繞x軸旋轉α，繞z軸旋轉γ后的θ，旋轉后的表面耗材的計算公式為

(10)

外部支撐體積受旋轉影響，但外部支撐始終垂直于打印平臺，故外部支撐打印耗材可以直接根據體積計算．設噴頭擠出速度為p，外部支撐為MS(α，γ)，則模型繞x軸旋轉α，繞z軸旋轉γ后的打印時間為

T(α，γ)=(M(α，γ)+MS(α，γ))/p．

(11)

1.3 求解最優(yōu)放置角度

首先將這6大成型指標分類，可以分為3類: 第1類為打印消耗，其中包括模型表面打印耗材、支撐打印耗材和打印時間，這里估算的打印時間與模型表面打印耗材加上模型支撐耗材之和成正比，故之后進行最優(yōu)化計算時，可以直接調整打印耗材與支撐耗材的權重即可將打印時間納入計算中；第2類為表面精確度計算，其中包括模型表面精確度和顯著特征加權精確度，顯著特征精確度是對模型表面精確度進行曲率加權后的計算結果，可以將兩類精確度計算公式合并表示；第3類為后處理代價計算，文中后處理僅考慮去除支撐的代價，即支撐在模型表面的附著面積．

選擇最優(yōu)打印放置角度時，可以根據需求進行選擇(例如耗時最少，精度最高，后處理最簡便)，選擇三類指標中的某一項; 也可以同時考慮三類指標，由于三類指標均是越低越優(yōu)，直接對其加權生成最優(yōu)化目標函數，其公式如下:

min(C1(Ms(α，γ)+M(α，γ))+C2(Htotal(α，γ)+C21Satotal(α，γ))+C3S(α，γ)) ,

(12)

其中，C1為模型打印耗材耗費權重，C2為模型表面精確度權重，C21為模型表面顯著特征精確度權重，C3為模型后處理代價權重．隨著模型的變大，模型外部支撐耗材增加幅度遠大于模型表面精確度和支撐附著面積等其他成形指標．這是因為與外部支撐計算體積相關，是三維空間中的度量; 而精確度、附著面積等均與面積相關，是二維空間中的度量，雖然模型表面耗材也是體積，但是它是由表面積乘以常量的形式計算獲得的，故其也可以算作與面積相關．如果對其均用線性加權，則物體越大，外部支撐對目標函數的影響會越大，影響最終最優(yōu)放置位置．故對最優(yōu)化目標函數進行優(yōu)化，優(yōu)化后的目標函數為

min(C1(Ms(α，γ)3/2+M(α，γ))+C2(Htotal(α，γ)+C21Satotal(α，γ))+C3S(α，γ)) ．

(13)

觀察上述各成型指標在不同旋轉角度下計算公式可知，對于一個確定模型，這些公式變量均僅為(α，γ)，故最優(yōu)放置視角問題的解可以表示為一個二維方向向量(α，γ)．優(yōu)化算法僅需在二維解空間中搜索即可．最優(yōu)化目標函數為存在多個一類間斷點的無約束優(yōu)化函數．

文中使用改進的Powell方法(Sargent形式)對最優(yōu)打印放置角度進行計算，求解獲得最優(yōu)放置角度．

文中算法具體流程如圖4所示．輸入三維網格模型和打印參數，首先計算模型各網格的法向量與頂點曲率；之后生成各方向的模型打印相應指標計算函數，并構造最優(yōu)化目標函數；最后求解獲得最優(yōu)放置方向．

圖4 文中算法流程圖

2 實驗結果與分析

文中實驗運行機器配置中央處理器(Central Processing Unit，CPU)為Intel Xeon(R) E5-2650@2.00 GHz，內存為 32 GB，圖形處理器(Graphics Processing Unit，GPU)為NVDIA Quadro6000．模型打印使用的是Makerbot Replicator 2X型號的3D打印機．打印使用材料為丙烯腈-丁二烯-苯乙烯塑料(Acrylonitrile Butadiene Styrene plastic，ABS)，配置參數為打印層高 0.2 mm，模型壁厚為2層熔絲，打印速度為 90 mm/s，噴嘴空駛速度為 120 mm/s．

圖5 最優(yōu)放置位置打印結果示例

文中實驗選取材料為ABS塑料，其材料密度ρ=1.05 g/cm3，壁厚t=2．若用戶選取密度不同的材質或壁厚，則需對C1權重進行調整，若ρ大于文中材料密度，或t大于文中選取的壁厚，則C1取值減小; 若ρ小于文中材料密度，或t小于文中選取的壁厚，可適當提高C1取值．C1取值區(qū)間為[0.2，1.0]，C2取值區(qū)間為[0.5，2.0]，C21取值區(qū)間為[0.5，2.0]，C3取值區(qū)間為[0.2，2.0]，可根據具體需求調節(jié)權重取值．圖5為不同需求下模型的最優(yōu)打印角度選擇，圖5(a)、(e)、(i)為耗材較優(yōu)打印放置角度，圖5(b)、(f)、(j)為表面精度較優(yōu)打印放置角度，圖5(c)、(g)為后處理代價較優(yōu)打印放置角度，圖5(d)、(h)、(k)為各指標加權較優(yōu)打印放置角度．表1為實驗統(tǒng)計數據， 其中，#b表示模型打印包圍盒尺寸， #t表示模型打印時間，#m表示模型打印耗材，#sm表示模型精確度，#sa表示支撐結構附著面積．

表1 算法實驗數據統(tǒng)計

3 總結展望

以上分析了打印模型放置角度對模型成型各因素的影響，構造模型旋轉放置角度與支撐結構、打印耗材、打印時間、表面粗糙度、顯著特征粗糙度、支撐附著面積的關系公式，并構造最優(yōu)放置角度目標函數，利用改進的Powell方法求解該最優(yōu)化函數，獲得最優(yōu)放置視角．最后根據實驗結果和實際應用中的具體需求，分析了最優(yōu)化目標函數中各因素權重的選擇，并根據實際需求構造了帶約束的最優(yōu)放置目標函數．實驗結果表明，利用文中方法可有效計算各種需求條件下的物體最優(yōu)放置角度，優(yōu)化了制造物體表面精確度，節(jié)約了打印耗材和打印時間，避免部分后處理對模型造成的損害．

文中列舉的各成型指標計算公式均是針對熔絲沉積成型基本原理和基本算法進行分析的，但在實際應用中，這些成型指標在打印時已有相應的優(yōu)化算法，例如，具體支撐結構生成算法不會使支撐占用待支撐空間的全部體積，具體掃描線和切片算法已經對臺階效應進行了相應優(yōu)化調整．針對實際場景計算旋轉放置角度時，應將這些優(yōu)化算法的因素也考慮進去．這也是后續(xù)的研究方向．

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Optimalprintingdirectionselectioninfuseddepositionmodeling

WEIXiaoran

(School of Journalism and Communication, Northwestern Univ., Xi’an, 710127, China)

In Fused Deposition Modeling (FDM) manufacture, adjustment of the object printing direction can improve the surface accuracy of the manufactured model, and can effectively reduce the printing time and printing material. However, the existing algorithm seldom takes account of all these factors. Considering these three factors and analyzing the people’s subjective perception of the precision of the salient features and the damage caused by removal of the supporting, we propose the relationship functions among printing direction, support structure material, model surface printing supplies, printing time, model surface accuracy, salient features of precision and the processing cost of the model. According to these functions of the six evaluation indexes, the optimal printing direction objective function is constructed, and is solved to obtain the optimal printing direction. Experimental results show that the algorithm can be used to calculate the optimal printing direction of the object in various conditions, optimize the accuracy of the surface of the object, save the printing material and printing time, and avoid the damage caused by the post processing.

rapid prototyping; fused deposition modeling(FDM); printing direction

2017-02-23

時間：2017-06-29

國家自然科學基金資助項目(61373117)

魏瀟然(1987-)，男，講師，E-mail：wxran1987@163.com．

http://kns.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20170629.1735.036.html

10.3969/j.issn.1001-2400.2018.01.018

TP391

A

1001-2400(2018)01-0099-07

(編輯： 齊淑娟)