■張志勇

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,是歷年高考的必考知識(shí)點(diǎn),其中三角函數(shù)的周期、最值和值域是高考的必考內(nèi)容。解決這類(lèi)問(wèn)題,不僅需要用到三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、圖像及三角函數(shù)的恒等變形,而且還會(huì)涉及函數(shù)、不等式、方程等知識(shí)。下面主要討論三角函數(shù)的周期、最值和值域問(wèn)題,希望能引起大家的重視。

一、求解三角函數(shù)的周期問(wèn)題

三角函數(shù)的周期是三角函數(shù)的重要性質(zhì),求三角函數(shù)的周期,一般是先化目標(biāo)函數(shù)為一種函數(shù)的形式,再借助常見(jiàn)三角函數(shù)的周期來(lái)求解。

例1 函數(shù)f(x)=5-4sin2x+4sin4x的最小正周期是____。

解:通過(guò)誘導(dǎo)公式將原函數(shù)化簡(jiǎn)。

二、求解三角函數(shù)的最值問(wèn)題

求三角函數(shù)最值的主要途徑:一是利用三角函數(shù)的有界性;二是利用二次函數(shù)的單調(diào)性等。

例2 求函數(shù)y=(sin2x+1)(cos2x+3)的最大值。

解:可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最大值。

令sin2x=t,則0≤t≤1,cos2x=1-t。所以原函數(shù)可等價(jià)轉(zhuǎn)化為y=(t+1)(1-t+

因?yàn)?≤t≤1,所以當(dāng)t=1即sin2x=1時(shí),

三、求解三角函數(shù)的值域問(wèn)題

求三角函數(shù)的值域的常用方法有配方法、基本不等式法、判別式法、圖像法等。

例3 已知函數(shù)f(x)=2sin2x+sin2x,x∈[0,2π],求使f(x)為正值的x的集合。

解:先利用誘導(dǎo)公式將原函數(shù)化簡(jiǎn),再求解。

解:對(duì)無(wú)理式函數(shù)求值域,不能利用其單調(diào)性進(jìn)行判斷,可考慮用三角換元法去根號(hào)求解。