劉 磊

(中煤科工集團(tuán)西安研究院有限公司，西安 710077)

0 引言

直流電法超前探測(cè)是解決煤層巷道掌子面前方探測(cè)的一種常用方法[1-3]。傳統(tǒng)方式在迎頭前方布置三個(gè)供電電極，供電電極之后以一定間距布置若干個(gè)接收電極，供電電極分別供電，得到三條電位差曲線并計(jì)算相應(yīng)視電阻率曲線。通過(guò)“交匯”方法進(jìn)行迎頭前方電阻率分布一維解釋[4-5]。數(shù)值模擬結(jié)果表明，迎頭采用點(diǎn)電極供電方式對(duì)前方激勵(lì)有限，巷道內(nèi)可測(cè)量異常幅度較小[6]。“交匯”處理方法過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，運(yùn)用較多。由測(cè)量數(shù)據(jù)到電性分布屬于地球物理反問(wèn)題，求解反問(wèn)題需要建立待反演物理量變化梯度與測(cè)量數(shù)據(jù)之間的近似線性關(guān)系，即計(jì)算雅克比矩陣，不斷獲取模型修正量，通過(guò)反復(fù)迭代最終獲得反演結(jié)果。對(duì)于直流電法反演的研究一般集中于地面情況，從最初的一維到目前的三維反演都有文獻(xiàn)論述[7-8]。

直流電法反演研究文獻(xiàn)很多，shima H在1987年提出了地面電阻率成像的概念，將待成像區(qū)域網(wǎng)格化，試圖建立單元電阻率與視電阻率的近似線性關(guān)系，后來(lái)又嘗試將電位表示成級(jí)數(shù)和，但對(duì)于高阻體和電導(dǎo)率急劇變化的模型遇到了困難[9-10]。毛先進(jìn)利用格林函數(shù)導(dǎo)出2.5維問(wèn)題中研究區(qū)域電位滿足的邊界方程，將電位表示成電阻率的顯示形式，分析空間電位與單元電阻率之間的關(guān)系，克服了shima H方法中的問(wèn)題[11]。李克借鑒醫(yī)學(xué)上成像方法，沿著等位線修正電阻率，隨著深度變大，等位線逐漸平緩，分辨率變差[12]。底青云與李克采用了類似的方法，不同之處在于借鑒地震射線追蹤方法，沿著電流線修正電阻率，同樣存在精度不高的問(wèn)題[13]。物探異常幅度大小取決于供電源和接收裝置距離待探查異常區(qū)的距離，本文提出一種采用掘進(jìn)鉆桿供電的方法，將激勵(lì)電流傳輸至迎頭前方，增大對(duì)異常體的激勵(lì)程度。在巷道內(nèi)接收，對(duì)待探測(cè)區(qū)域進(jìn)行柱狀剖分，建立剖分單元電阻率與異常電位差之間的近似線性關(guān)系，改變供電鉆桿供電深度，形成不同供電狀態(tài)下的線性代數(shù)方程組，最終得到迎頭前方電阻率分布情況。

1 鉆桿供電超前探測(cè)基本原理

均勻全空間點(diǎn)電源電位表達(dá)式有比較簡(jiǎn)單的形式[14]：

(1)

其中，R是點(diǎn)電源與觀測(cè)位置之間的距離，ρ是介質(zhì)電阻率。

根據(jù)JAMES R.WALT的研究成果，低頻短距離條件下，由于供電鉆桿與圍巖介質(zhì)存在明顯的電導(dǎo)率差異，供電電流基本垂直于鉆桿均勻流出，在鉆桿長(zhǎng)度方向上不存在流動(dòng)的電流，鉆桿可視為線電源[15]。線電源全空間的點(diǎn)位表達(dá)式為[16]：

(2)

(x0,y0,z0)是源點(diǎn)的坐標(biāo)，x,y,z是計(jì)算點(diǎn)坐標(biāo)。L為線源長(zhǎng)度，線狀源供電下電位等值線在平面上(z=0)的形態(tài)如圖1。

圖1 線電源(鉆桿供電模式下)電位平面分布Figure 1 Line power supply (under drill stem power supply mode) potential plane distribution

全空間中，點(diǎn)電源的電位等值線為以供電點(diǎn)為圓心的同心圓，在供電點(diǎn)附近，電流密度梯度大，電位值衰減快。對(duì)于超前探測(cè)問(wèn)題，在巷道掌子面供電方式下流經(jīng)掌子面前方的電流密度小，對(duì)異常體激勵(lì)有限。采用鉆桿供電后，開孔點(diǎn)(對(duì)應(yīng)于點(diǎn)電極供電處)前方電流分布均一性增強(qiáng)，強(qiáng)度也大大提高。

實(shí)現(xiàn)超前探測(cè)電阻率反演，需要量化電阻率變化與測(cè)量電壓之間的關(guān)系?，F(xiàn)行反演方法中，一般將待反演區(qū)域離散化并給定初始模型，根據(jù)單元電阻率梯度變化與觀測(cè)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系獲得模型修正量，經(jīng)過(guò)多次迭代求取最小二乘意義下的解，這種方法在未知變量較少的情況下收斂速度快，計(jì)算量小，但容易陷入局部最優(yōu)解。當(dāng)未知參數(shù)較多時(shí)，確定梯度方向的計(jì)算量以待反演參數(shù)個(gè)數(shù)的平方增加，而且導(dǎo)致模型修正量求解方程的病態(tài)性大大增加，帶來(lái)求解的不穩(wěn)定性，反演過(guò)程可能提前終止。

最小二乘意義下的反演過(guò)程中，梯度方向的計(jì)算實(shí)際是為了尋求某種線性關(guān)系，通過(guò)解方程更正模型。直流電場(chǎng)中，電位與單元電阻率關(guān)系復(fù)雜，異常電位與單元電阻率關(guān)系更有規(guī)律。全空間點(diǎn)電源供電下電位計(jì)算模型如圖2。

圖2 全空間點(diǎn)電源電流場(chǎng)中的導(dǎo)電球體模型Figure 2 Conductive sphere model in full space point power supply current field

點(diǎn)電源供電下異常球體的電位表達(dá)式為[14]：

Pn(cosθ)]

(3)

公式(3)可以看出，總電位由兩部分構(gòu)成：正常背景電位值和由于電流激勵(lì)異常體產(chǎn)生的異常電位值?？倛?chǎng)在形式上表示成如下形式：

U=U0+U1

(4)

U0是全空間背景電位，U1是異常電位，背景電位僅與全空間電阻率值和供電點(diǎn)、接收點(diǎn)之間的距離有關(guān)，異常電位形式復(fù)雜，是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，在形式上可進(jìn)一步分解：

(5)

其中，Yn是一個(gè)與階數(shù)和相對(duì)位置關(guān)系有關(guān)的量，qn是描述異常體和圍巖電阻率差異的量。Yn在一定的觀測(cè)方式下，可視為常數(shù)，異常電位只與異常體和圍巖電阻率差異相關(guān)，對(duì)qn表達(dá)式做等價(jià)變換：

(6)

異常體與圍巖電阻率往往相差較大，以u(píng)12的常用對(duì)數(shù)為自變量，d,r,r0均為常數(shù)情況下，qn的變化規(guī)律如圖3所示：

圖3 不同階數(shù)u12與qn的關(guān)系Figure 3 Relationship between u12 and qn at different orders

圖3可以看出，異常體電阻率在0.1～10變化時(shí)，異常電位值與u12存在近似的線性關(guān)系，在能獲取背景電阻率的條件下，可以通過(guò)純異常場(chǎng)電位差值嘗試建立相對(duì)簡(jiǎn)單的近似意義下的線性代數(shù)方程組，相比需要求解雅克比矩陣及其逆矩陣的反演過(guò)程，節(jié)省極大計(jì)算量，能實(shí)現(xiàn)電阻率的快速反演。

2 鉆桿供電超前探測(cè)反演方程

在超前探測(cè)原理一節(jié)闡述了異常電位的計(jì)算方法和反演實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)，井下超前探測(cè)要考慮全空間因素，實(shí)現(xiàn)反演成像，還需要對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)和電阻率分布之間的具體聯(lián)系做進(jìn)一步明確。

圖4 鉆桿供電、巷道接收模式探測(cè)示意圖Figure 4 A schematic diagram of prospecting under drill stem power supply and roadway receiving mode

圖4展示了鉆桿供電超前探測(cè)方法的施工原理圖，接收電極預(yù)先放置在掌子面后方，鉆桿不斷向前鉆進(jìn)，在不同鉆進(jìn)深度分別供電，采集測(cè)量電位差。

由于巷道施工空間限制，采集數(shù)據(jù)觀測(cè)方位十分有限，采集數(shù)據(jù)量也無(wú)法滿足三維反演要求(數(shù)據(jù)量小)，井下超前探測(cè)完全的三維反演難以實(shí)現(xiàn)。鉆桿供電條件下，鉆桿鉆進(jìn)方向和接收數(shù)據(jù)在同一直線上，圍繞該直線，異常位置對(duì)于觀測(cè)數(shù)據(jù)有等值特征，將三維空間進(jìn)行柱狀剖分(圖5)，剖分方案如下。

圖5 鉆桿供電、巷道接收迎頭前方空間剖分示意圖Figure 5 A schematic diagram of front space subdivision under drill stem power supply and roadway receiving mode

將鉆孔開孔點(diǎn)之前的空間，以鉆桿為軸心進(jìn)行柱狀剖分，這種剖分方式與供電、接收之間的關(guān)系最為契合。反演時(shí)，對(duì)異常體定位只考慮鉆進(jìn)和徑向兩個(gè)方向，三維空間利用對(duì)稱關(guān)系簡(jiǎn)化為二維分布(圖6)。

圖6 三維空間剖分對(duì)應(yīng)的偽二維反演網(wǎng)格Figure 6 3D space subdivision corresponding pseudo-2D inversion grid

偽二維反演網(wǎng)格采用不均勻剖分方式，遠(yuǎn)離開孔端逐漸放大網(wǎng)格間距。反演網(wǎng)格繞鉆進(jìn)方向旋轉(zhuǎn)360°即為開孔點(diǎn)前方的三維空間剖分形式，點(diǎn)電源球狀異常體電位表達(dá)式可以看出，供電電流激發(fā)條件下，異常體類似于一個(gè)次生“源”，產(chǎn)生的異常電位疊加于背景電位之上。線電源背景場(chǎng)可采用離散方式進(jìn)行點(diǎn)電源積分疊加，不同網(wǎng)格單元產(chǎn)生的異常電位值也可以采取類似方式疊加到異常場(chǎng)中。將二維反演網(wǎng)格繞軸旋轉(zhuǎn)30°,各單元均對(duì)應(yīng)一部分空間體積，該空間體積用等效球體替代，將該空間體積的異常響應(yīng)作為網(wǎng)格單元的異常響應(yīng)，通過(guò)鉆進(jìn)深度的改變建立線性代數(shù)方程組，具體過(guò)程如下。

①對(duì)反演網(wǎng)格按照先行后列的順序依次編號(hào)，記為m行，n列。

②在鉆桿鉆進(jìn)至0.5m時(shí)(近似為0m)，采用“無(wú)窮遠(yuǎn)”電極和鉆桿作為供電電極向地下供電，按照網(wǎng)格編號(hào)順序分別計(jì)算電阻率差異10倍下1、2號(hào)電極之間的異常電位差，形成1行，m×n列數(shù)據(jù)。

③計(jì)算各網(wǎng)格對(duì)應(yīng)的等效球體對(duì)2、3號(hào)電極之間的異常電位差貢獻(xiàn)，新一行數(shù)據(jù)續(xù)接第一行，…,以此類推，計(jì)算所有網(wǎng)格對(duì)第24、25電極間的異常電位差，形成24行，m×n。

④鉆桿鉆進(jìn)至10，20,……100m,依次重復(fù)步驟②-③形成新的24行，m×n列矩陣并續(xù)接；最終形成24×鉆進(jìn)深度個(gè)數(shù)，m×n列的總體反演矩陣。

⑤采用小四極方式，測(cè)量背景電阻率，從測(cè)量數(shù)據(jù)中減去不同供電狀態(tài)下背景電位大小，得到純異常電位；形成反演方程：

(7)

求解方程，可以得到電阻率分布的二維反演結(jié)果。

3 模型測(cè)試

為驗(yàn)證反演方法可行性，用正演模擬方法生成模擬數(shù)據(jù)，將設(shè)定模型與反演結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，通過(guò)對(duì)比結(jié)果對(duì)反演成像方法優(yōu)劣進(jìn)行評(píng)價(jià)。超前探測(cè)過(guò)程中，斷層、陷落柱是比較常見的構(gòu)造導(dǎo)水通道，采空區(qū)和老窯巷道是比較常見的儲(chǔ)水空間，陷落柱和采空區(qū)分別是比較典型的點(diǎn)狀、面狀構(gòu)造，分別用陷落柱和采空區(qū)兩種模型，說(shuō)明鉆桿供電超前探測(cè)反演效果。

3.1 陷落柱模型超前探測(cè)反演

按圖4所示的施工方法，在巷道中布置25個(gè)接收電極，間隔4m，以開孔點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)立模型如(圖7)。

圖7 鉆桿供電-巷道接收陷落柱超前探測(cè)示意圖Figure 7 A schematic diagram of drill stem power supply roadway receiving subsided column advanced prospecting

接收電極與鉆桿在同一直線上，接收位置-2m至-98m，間距4m，，異常體為邊長(zhǎng)為15m的正六面體，中心坐標(biāo)(35,20,0)，圍巖電阻率100Ω·m，異常體電阻率10Ω·m，鉆桿鉆進(jìn)深度為：0(點(diǎn)電極供電)、10、20、…,100m共11個(gè)深度。在各個(gè)鉆進(jìn)深度下，異常電位差如圖8。

圖8 陷落柱純異常電位差曲線與鉆進(jìn)深度關(guān)系Figure 8 Relationship between subsided column pure abnormal potential difference curve and drilling depth

圖(8)中每條曲線為特定鉆進(jìn)深度下的純異常電位差曲線，接收數(shù)據(jù)按順序排列，0m鉆進(jìn)深度接收數(shù)據(jù)編號(hào)1-24，10m鉆進(jìn)深度接收數(shù)據(jù)編號(hào)25-48，依此類推。數(shù)據(jù)編號(hào)為橫坐標(biāo)，異常電位差值為縱坐標(biāo)。每條接收曲線都隨編號(hào)的增加而減小，最大幅值先增大后減小，鉆進(jìn)深度與異常距離迎頭前方距離相近時(shí)，純異常電位差幅值最大。對(duì)計(jì)算數(shù)據(jù)按前文所提供方法反演，得到電阻率相對(duì)分布如圖9。

圖9 陷落柱模型反演結(jié)果Figure 9 Subsided column model inversion result

反演結(jié)果中，等值線值表示實(shí)際電阻率與背景電阻率比值的常用對(duì)數(shù)，為無(wú)量綱量，負(fù)值表示反演電阻率低于背景，正值對(duì)應(yīng)高阻，絕對(duì)值大小反映偏離程度。陷落柱反演結(jié)果可以看出，反演結(jié)果異常體形態(tài)與實(shí)際存在差距，異常形態(tài)呈“豆瓣”狀，圖9中黑色虛線框標(biāo)明了異常體在模型中的平面位置，反演異常中心與實(shí)際模型一致，分布范圍有所擴(kuò)大。對(duì)比反演網(wǎng)格不難得出結(jié)論：反演網(wǎng)格剖分形式?jīng)Q定了結(jié)果分辨率，反演網(wǎng)格逐漸放大方式符合分辨率隨接收距離變大而減小的規(guī)律，在一定程度上平衡反演矩陣中元素?cái)?shù)量級(jí)差異，減小反演矩陣條件數(shù)，提高穩(wěn)定性，同時(shí)造成距離迎頭較遠(yuǎn)處分辨率降低，分辨率與穩(wěn)定性難以同時(shí)兼顧。

3.2 采空區(qū)模型超前探測(cè)反演

陷落柱是典型點(diǎn)狀構(gòu)造，反演異常中心與模型中心對(duì)應(yīng)良好。采空區(qū)是巷道掘進(jìn)中常見的人為遺留隱患，采空區(qū)在平面上呈面狀分布，空間分布如圖10所示。

圖10 采空區(qū)超前探測(cè)模型示意圖Figure 10 A schematic diagram of worked-out area advanced prospecting model

供電、接收方式與陷落柱探查相同，采空區(qū)模型為厚度5m的板狀體，x方向30～70m，y方向10～50m，圍巖電阻率100Ω·m，異常體電阻率10Ω·m。鉆桿鉆進(jìn)深度：0(點(diǎn)電極供電)、10、20、…,100m共11個(gè)深度。各鉆進(jìn)深度下，異常場(chǎng)電位差如圖11。

圖11 采空區(qū)純異常電位差曲線與鉆進(jìn)深度關(guān)系Figure 11 Relationship between worked-out area pure abnormal potential difference curve and drilling depth

采空區(qū)純異常電位差曲線與陷落柱類似，在鉆桿鉆進(jìn)至采空區(qū)邊界時(shí)，純異常電位幅度最大，采空區(qū)與陷落柱在模型設(shè)計(jì)上，只有分布范圍差異，激發(fā)方式和接收方式并無(wú)顯著改變，異常電壓響應(yīng)只在數(shù)值上存在差異，規(guī)律上變化不明顯。對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理(圖12)。

圖12 采空區(qū)模型的反演結(jié)果Figure 12 Worked-out area model inversion result

圖12為圖10采空區(qū)模型的反演結(jié)果，圖中黑色虛線框?yàn)槟Ｐ椭胁煽諈^(qū)設(shè)定位置，藍(lán)綠色區(qū)域?yàn)閿?shù)據(jù)反演結(jié)果，與陷落柱反演結(jié)果不同，采空區(qū)模型反演并沒(méi)有明確的異常中心，反演結(jié)果異常最突出處為采空區(qū)靠近開孔點(diǎn)一角，其它位置異常幅度減弱，總體可大略判斷范圍，但分辨率不高。

3.3 采空區(qū)超前探測(cè)實(shí)例

為了驗(yàn)證探測(cè)方法的可行性和實(shí)用性，針對(duì)采空區(qū)模型開展了一次實(shí)驗(yàn)，在山西某礦工作面巷道掘進(jìn)過(guò)程中，迎頭前方約50m處存在已知采空區(qū)，采空區(qū)范圍明確。采用本文所陳述的方法，利用鉆桿供電，在巷道中布置接收電極16個(gè)采集電壓數(shù)據(jù)，對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行反演，得到的反演結(jié)果和實(shí)際情況對(duì)照如圖13。

圖13給出了山西某礦實(shí)際采空區(qū)超前探測(cè)反演結(jié)果，紫色方框?yàn)樵摰V已知采空區(qū)，坐標(biāo)原點(diǎn)為鉆孔開口位置，藍(lán)綠色區(qū)域?yàn)榉囱莓惓^(qū)域，從反演結(jié)果可以看出，反演異常區(qū)對(duì)實(shí)際采空區(qū)的反映效果與數(shù)值模擬類似，反演結(jié)果異常最大值處位于采空區(qū)邊界靠近鉆桿位置，偏離鉆桿更遠(yuǎn)區(qū)域分辨率變差，但反演結(jié)果總體能體現(xiàn)采空區(qū)位置。

4 結(jié)論

①直流電場(chǎng)激發(fā)情況下，低阻/高阻異常體激發(fā)的異常場(chǎng)幅度在較大范圍內(nèi)和其本身電阻率與背景電阻率比值的常用對(duì)數(shù)有近似線性關(guān)系，這構(gòu)成了根據(jù)異常電位差進(jìn)行快速反演的基礎(chǔ)。

②從正演模擬結(jié)果看到，固定供電狀態(tài)時(shí)，純異常電位差遠(yuǎn)離異常體時(shí)快速減小，通過(guò)推進(jìn)鉆桿，增加供電深度方式，可以提高異常幅度。增加對(duì)異常激勵(lì)，有助于辨識(shí)異常。

③超前探測(cè)反演結(jié)果分辨率和可靠性對(duì)反演網(wǎng)格的要求相互矛盾，該矛盾主要由觀測(cè)方式缺陷造成，數(shù)據(jù)測(cè)量在同一直線且遠(yuǎn)離異常體，在本質(zhì)上不利于取得好的處理效果。

④采用鉆桿供電方式，能提升對(duì)異常體激勵(lì)，基于這種探測(cè)方式的二維反演方法雖在結(jié)果上并不能完全吻合模型，但突破了常規(guī)一維解釋的局限，對(duì)異常體在鉆進(jìn)方向和徑向兩個(gè)方向的位置都有了更為精確的定位。

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