彭見輝，趙天嬋，殷素峰，劉文潔

0 引言

機(jī)械臂工作空間是指機(jī)械臂末端執(zhí)行器上坐標(biāo)系在參考坐標(biāo)系中所到達(dá)的空間點(diǎn)的集合[1]，其大小不僅表示末端執(zhí)行器的活動(dòng)范圍，更是體現(xiàn)機(jī)械臂工作能力的主要參數(shù)[2]。針對(duì)工作空間的求解問題，主要是圖解法、解析法和數(shù)值法三種，解析法表達(dá)式較復(fù)雜，不適于工程實(shí)際應(yīng)用；圖解法雖直觀易于工程應(yīng)用，但求出的工作空間為剖截面或剖截線，且解析法、圖解法對(duì)關(guān)節(jié)較多的機(jī)械臂工作空間求解時(shí)過于復(fù)雜；數(shù)值法是將極值理論、優(yōu)化方法作為基礎(chǔ)，可分析任意形式的機(jī)械臂，且隨著計(jì)算機(jī)軟硬件發(fā)展，越來越多的被用來求解分析工作空間[3]。

本文采用一種基于隨機(jī)概率分布的數(shù)值分析法——蒙特卡洛法，結(jié)合MATLAB仿真軟件對(duì)混凝土水力破拆機(jī)械臂的工作空間進(jìn)行求解、分析。

1 機(jī)械臂結(jié)構(gòu)及參數(shù)方程

混凝土水力破拆機(jī)械臂結(jié)構(gòu)如圖1，主要由主回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)θ1、伸縮關(guān)節(jié)d2、橫向回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)θ3、俯仰關(guān)節(jié)θ4和橫向移動(dòng)關(guān)節(jié)d5五個(gè)自由度構(gòu)成，主回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)安裝在機(jī)器設(shè)備機(jī)座上，機(jī)械臂末端安裝高壓噴槍，工作時(shí)噴槍擺動(dòng)幅度較小，在求解工作空間時(shí)可將噴槍視為豎直。

圖1 機(jī)械臂結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

參照D-H法則在機(jī)械臂各連桿末端上建立坐標(biāo)系[4]，如圖2所示，以o0x0y0z0作參考坐標(biāo)系，在噴槍頂點(diǎn)建立坐標(biāo)系o6x6y6z6，與o5x5y5z5相比其位置向x5軸負(fù)方向偏移230 mm，dx=-230 mm，y5軸正方向偏移490 mm，dy=490 mm。機(jī)械臂各連桿D-H參數(shù)如表1所示。

圖2 機(jī)械臂D-H坐標(biāo)系

表1 機(jī)械臂連桿D-H參數(shù)

表1中各關(guān)節(jié)D-H參數(shù)代入式（1），即知相鄰連桿間齊次變換坐標(biāo)矩陣0T1、1T2、2T3、3T4、4T5、5T6。

其 中 ， cθi=sinθi， cαi-1=cosαi-1， sθi=sinθi，sαi-1=sinαi-1， i=1,2,???n 。

將0T1、1T2、2T3、3T4、4T5、5T6依次相乘，可得噴槍頂點(diǎn)坐標(biāo)系o6x6y6z6在參考坐標(biāo)系o0x0y0z0中的位姿0T6[5]，如式（2）所示。

式（2）中，[nxnynz]T、[oxoyoz]T、[axayaz]T、[pxpypz]T依次為噴槍頂點(diǎn)坐標(biāo)系o6x6y6z6中的x6、y6、z6、坐標(biāo)原點(diǎn)o6在參考坐標(biāo)系o0x0y0z0中的向量表達(dá)式。

按矩陣相等原則[6]，則機(jī)械臂末端噴槍的頂點(diǎn)在參考坐標(biāo)系o0x0y0z0中的位姿如式（3）所示。

其中： c13=cos(θ1+θ3)，其余類推。

2 機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)參數(shù)驗(yàn)證

以Robotics Toolbox為工具仿真機(jī)械臂從初始位姿至水平破拆位姿的動(dòng)作，即噴槍頂點(diǎn)從初始位置a=[π/2 0-π/2-π/2 0] ， 至 終 止 位 置 點(diǎn)a=[π/4 200-π/4-π/2 300]，仿真時(shí)間 1 s ，采樣時(shí)間0.005 s，機(jī)械臂最后位姿如圖3，仿真完成后輸出各關(guān)節(jié)角度或位移變化曲線如圖4。

由圖3、4知，各關(guān)節(jié)的角度或位移隨時(shí)間變化的曲線平滑且無異常點(diǎn)，機(jī)械臂各連桿未有位置錯(cuò)位現(xiàn)象，驗(yàn)證了機(jī)械臂D-H參數(shù)及方程的正確。

圖3 機(jī)械臂最終位姿

圖4 關(guān)節(jié)1～5的角度或位移-時(shí)間曲線

3 工作空間

3.1 工作空間描述

結(jié)合圖1、2及表1，在各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)給定任意一組數(shù)據(jù)，參照式（3）即可求出噴槍頂點(diǎn)坐標(biāo)系o6x6y6z6原點(diǎn)在參考坐標(biāo)系o0x0y0z0中的一個(gè)位置，在取盡各關(guān)節(jié)變量qi(qimin≤qi≤qimax)范圍內(nèi)所有值后，則所能求出的噴槍頂點(diǎn)坐標(biāo)系原點(diǎn)在參考坐標(biāo)系中全部點(diǎn)構(gòu)成了機(jī)械臂末端噴槍的工作的集合W(P)，即是其工作空間[7]。

其中：W(P)代表的集合即為噴槍工作空間，p(q)∶Q?R3為機(jī)械臂位置分量，q為關(guān)節(jié)的變量，Q為關(guān)節(jié)的取值區(qū)間。

按式（3），P=[px,py,pz]T是噴槍頂點(diǎn)相對(duì)參考坐標(biāo)系的位置向量，則W(P)表達(dá)式如（5）所示：

3.2 運(yùn)動(dòng)空間仿真

在MATLAB中按照蒙特卡洛法求解噴槍工作空間W(P)的思路如下[8]：

1）將表1中各關(guān)節(jié)qi的D-H參數(shù)予以賦值；

2）用rand函數(shù)在[0,1]區(qū)間內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)值視為一個(gè)步長，則機(jī)械臂中各移動(dòng)關(guān)節(jié)隨機(jī)值是di=dimin+(dimax-dimin)×rand[0,1]，旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)隨機(jī)值是θi=θimin+(θimax-θimin)×rand[0,1]；

3）將2中產(chǎn)生的隨機(jī)值代入式（3），解得的數(shù)值(px,py,pz)即為噴槍頂點(diǎn)的一個(gè)工作位置；

4）考慮圖像精度及運(yùn)算時(shí)間，把2、3的重復(fù)次數(shù)設(shè)定為m=50 000次，則可計(jì)算出50 000個(gè)噴槍工作點(diǎn)(px,py,pz)；

5）再以scatter函數(shù)把噴槍m=50 000個(gè)工作點(diǎn)輸出，即可求得機(jī)械臂末端噴槍頂點(diǎn)的工作空間。

機(jī)械臂末端噴槍的工作空間及其xoy、xoz、yoz三面上的投影如圖5、6、7、8所示。

結(jié)合圖1及圖5、6、7、8可知：機(jī)械臂末端噴槍頂點(diǎn)橫向最大移動(dòng)范圍是0～2 630 mm，縱向最大移動(dòng)范圍是0～1 890 mm（縱向最大移動(dòng)距離=800 mm+基座高565 mm+機(jī)器設(shè)備高425 mm），噴槍的縱向最大作業(yè)深度是630 mm（最大作業(yè)深度=1 720 mm-基座高565 mm-機(jī)器設(shè)備高425 mm）。

圖5 噴槍三維工作空間

圖6 工作空間xoy面投影

圖7 工作空間xoz面投影

圖8 工作空間yoz面投影

4 總結(jié)

（1）以D-H法則構(gòu)建了各連桿運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，且在Robotics Toolbox中仿真了機(jī)械臂從初始位姿至水平破拆位姿的動(dòng)作過程，輸出了各關(guān)節(jié)角度或位移隨時(shí)間變化曲線，證明了D-H參數(shù)及運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的正確；

（2）按照推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的結(jié)果，完成了在MATLAB中以蒙特卡洛法對(duì)機(jī)械臂末端噴槍工作空間的仿真、求解，分析得到了噴槍的工作空間及橫向、縱向、最大縱向作業(yè)深度等主要參數(shù)，對(duì)后續(xù)機(jī)械臂末端噴槍的軌跡規(guī)劃和運(yùn)動(dòng)控制具有一定參考意義。

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