李雪琴趙云芳 唐艷妮 楊衛(wèi)軍

(火箭軍工程大學基礎部,西安 710025)

1 引 言

實現(xiàn)量子信息處理,至少需要構造一個可靠的量子存儲器,用以存儲、接收和發(fā)送量子信息;另外,還需要一個量子邏輯門用以操控量子信息[1].量子信息技術的關鍵在于如何保持量子器件的量子相干特性,以及在集成芯片上實現(xiàn)多個量子存儲器(或量子節(jié)點)之間的量子糾纏[2].氮空位色心(NV center)由金剛石晶體中一個替代碳原子的氮原子和一個鄰近的空穴構成[3,4],被認為是實現(xiàn)固態(tài)量子信息處理的理想選擇之一[5,6].金剛石NV center的電子自旋基態(tài)可視為較理想的量子比特[7],一是因為其具有較長的相干時間,在室溫條件下能夠達到毫秒量級,在極低溫度下可以達到幾秒甚至是幾十秒[8];二是對于編碼在NV center基態(tài)的量子比特,不僅能夠利用激光對其進行初始化、測量和讀取[9],還可以通過微波對其進行量子操控[10].因此NV center作為固態(tài)量子器件廣泛用于量子信息研究領域,并取得了一系列有應用價值的研究成果.

分離量子節(jié)點之間的糾纏是實現(xiàn)量子信息處理的前提條件,相干性較好的金剛石NV center也就成為研究量子節(jié)點糾纏的熱門系統(tǒng).同一個金剛石中兩個相距10 nm的NV centers能夠通過磁耦合產(chǎn)生糾纏[11],但兩個分離金剛石中的NV centers卻很難產(chǎn)生糾纏.此外,兩個分離的NV centers與同一個球形微波腔的耦合系統(tǒng),可以通過拉曼躍遷的方法實現(xiàn)分離NV centers之間的糾纏,但是由于微波腔的耗散而達不到期望的耦合強度[12].然而,固態(tài)的金剛石NV centers自旋系綜不需要特殊的囚禁技術就可以與超導諧振器發(fā)生頻率為GHz的共振耦合,且耦合強度能夠達到gens/2π=11 MHz[13].在這種耦合系統(tǒng)中,相干時間較長的金剛石NV centers作為量子信息存儲器,易于通過外部電路調(diào)控的超導諧振器來執(zhí)行量子邏輯門操作,以此實現(xiàn)分離量子節(jié)點之間的糾纏.這種混合系統(tǒng)兼具了各個子系統(tǒng)的優(yōu)點,不僅相干性好、易于操控,并且具有可觀的集成性[14?17].基于金剛石NV centers與超導量子電路耦合的混合系統(tǒng),在量子信息的存儲、讀取和操控方面已取得了不少令人矚目的進展[18?20],并實現(xiàn)了量子CZ門[21]和Dicke點陣模型[22].混合量子電路中這些研究成果為實現(xiàn)分離節(jié)點之間的量子糾纏和建立可拓展的量子信息處理系統(tǒng)奠定了基礎.

本文提出采用自旋-光子混合比特編碼的方式,在金剛石NV centers自旋系綜與超導共面諧振器的耦合系統(tǒng)中實現(xiàn)分離量子節(jié)點之間的糾纏,物理模型如圖1所示.在此系統(tǒng)中,把金剛石NV centers自旋系綜和與之耦合的超導共面諧振器視為一個量子節(jié)點,節(jié)點之間空的超導共面諧振器可作為一個量子通道.在量子節(jié)點中,具有較長相干時間的NV centers自旋系綜可看作一個量子存儲器用于制備、存儲和發(fā)送量子信息,而易于外部操控的超導共面諧振器可執(zhí)行量子邏輯門操作.在NV centers自旋-光子混合比特編碼中,由于NV centers自旋系綜與光子具有相同的自由度[17],所以只需要通過操控系統(tǒng)的超導電路,調(diào)節(jié)超導諧振器的頻率使之達到預設值,并精確控制體系演化時間,就能實現(xiàn)分離量子節(jié)點之間的量子糾纏.這種混合體系不僅融合了金剛石NV centers良好的相干特性,并且兼具了超導量子電路易于通過外部電磁場操控的特性.此外,該混合量子電路系統(tǒng)還具有良好的集成性和擴展性,可用于構建分布式量子網(wǎng)絡[23],以實現(xiàn)多個量子節(jié)點之間的量子信息傳輸以及量子糾纏.

2 系統(tǒng)模型及哈密頓量

方案的物理模型如圖1所示,三個超導共面諧振器(superconducting coplanar resonator,SCR)之間通過超導量子干涉器件(superconducting quantum interference device,SQUID)連接,SQUID在這里的作用是調(diào)節(jié)SCR的頻率.處于兩端的兩個超導共面諧振器SCR1和SCR2分別與兩個金剛石NV centers自旋系綜(NV centers spin ensemble,NVE)NVE1,NVE2耦合,NVE1-SCR1,NVE2-SCR2可分別看作兩個量子節(jié)點.中間的SCRc為一個空的超導共面諧振器,可作為微波光子通道.由于超導共面諧振器激發(fā)的微波光子與周圍環(huán)境的耦合較小,空間傳播速度快且具有很好的相干性,因此本方案利用NVE與SCR在共振條件下產(chǎn)生的微波光子實現(xiàn)兩個分離量子節(jié)點之間的糾纏.

圖1 NV centers自旋系綜與超導共面諧振器耦合的混合量子電路系統(tǒng)Fig.1.Hybrid quantum circuits with NV centers spin ensembles coupled to superconducting coplanar resonators.

金剛石NV center的基態(tài)為自旋三重態(tài),在無外界電磁場影響的情況下,自旋ms=0態(tài)和簡并態(tài)ms=±1之間的能級劈裂為Dgs=2.88 GHz[5],可分別用基態(tài)和激發(fā)態(tài)表示NV center的基態(tài)電子能級如圖2所示.

圖2 NV center的能級結構Fig.2.Energy level structure of NV center.

為了增強系統(tǒng)內(nèi)部的耦合強度,選擇包含N個無相互作用的NVE與SCR耦合,每個NVE被放置在SCR內(nèi)部耦合強度最大的電磁節(jié)點處.SCR之間的SQUID不僅能起到連接相鄰兩個超導共面諧振器的作用,而且還可以通過調(diào)節(jié)穿過SQUID環(huán)中的磁通量調(diào)控每個SCR的頻率ωR(?),使其與NVE發(fā)生共振耦合.在每個節(jié)點中NVE與SCR都是通過磁偶極發(fā)生耦合,而且耦合強度為gens/2π=11 MHz[13],整個系統(tǒng)的哈密頓量可表示為

表示在兩個節(jié)點中NVE與SCR之間的耦合相互作用哈密頓量之和,其中表示第j個NVE的集體升降算符,為包含N個NV centers自旋系綜的集體激發(fā)耦合強度,g是單個NV center與SCR的耦合強度;最后一項為相鄰SCR之間通過電容耦合的相互作用哈密頓量,

其中

為相鄰超導共面諧振器之間的耦合強度.在相互作用繪景中,做幺正變換,可得系統(tǒng)的哈密頓量為

式中系統(tǒng)自由哈密頓量H0=HN+HC,相互作用哈密頓量HI=HNC+HIC;在每個節(jié)點中,只要通過調(diào)節(jié)電路中的SQUID,使超導共面諧振器的頻率等于該諧振器中NVE電子自旋基態(tài)與激發(fā)態(tài)之間的能級差,即ωN1=ωR1,ωN2=ωR2,并且使三個超導共面諧振器彼此共振耦合,即ωR1=ωR2=ωRc.然后利用旋波近似法,忽略系統(tǒng)哈密頓量中的高頻振蕩項,從而得到系統(tǒng)的相互作用哈密頓量為(取～=1)

3 量子節(jié)點之間的糾纏

3.1 系統(tǒng)哈密頓量的正則變換

利用Holstein-Primakof f變換[24],把NVE的集體自旋算符用玻色算符b ? ,b表示為

其中玻色算符b? ,b在少數(shù)粒子自旋激發(fā)情況下滿足關系所以在(3)式中系統(tǒng)相互作用哈密頓量H1可轉換為

在上式中,已假定相鄰超導共面諧振器之間的耦合強度是相等的,即ν1=ν2=ν.由于標準腔模C,C±對應的頻率分別為但是其中只有一個腔模能與NVE發(fā)生共振耦合,而其他兩個腔模與NVE都是失諧的.當NVE與腔模C共振時,腔模C±與NVE是失諧非共振的,當相鄰腔模之間的耦合強度遠遠大于NVE與腔模之間的耦合強度時,即ν? {G1,G2},非共振腔模C±的激發(fā)被抑制,可以直接忽略兩個與NVE失諧的腔模,系統(tǒng)簡化為兩個NVE與一個超導共面諧振器單模腔的共振耦合,所以只需要考慮標準腔模C與兩個NVE的共振耦合作用.因此,系統(tǒng)的哈密頓量可表示為

上式可看作一個單模腔與兩個二能級原子之間的JC耦合相互作用,并且暫不考慮NVE和超導共面諧振器的耗散影響.

3.2 混合量子比特編碼

通過上述計算分析,該方案的物理模型最終可以合理簡化為一個單模超導共面諧振器與兩個NVE之間的共振耦合系統(tǒng),在此系統(tǒng)中重新定義量子比特:單模超導共面諧振器C的真空態(tài)定義為單模超導共面諧振器C中有一個微波光子定義為任意一個NVE處于其集體激發(fā)模的基態(tài)時定義為任意一個NVE吸收一個微波光子而躍遷到其集體激發(fā)模的激發(fā)態(tài)時,則定義為

假設超導共面諧振器的品質因子非常高,不會有光子從諧振器中泄露出去,那么在單激發(fā)情況下,體系就會有如下三種狀態(tài):

上述三個狀態(tài)表示體系中激發(fā)的一個微波光子可能存在于超導共面諧振器中,也可能被任意一個NVE吸收后從其基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài).

3.3 量子節(jié)點之間糾纏態(tài)的制備

在(9)式所示的單激發(fā)基矢下,系統(tǒng)的哈密頓量可表示為

此哈密頓量在三個基矢下所對應的本征值分別為

與此本征值相應的本征態(tài)用單激發(fā)基矢表示為:

從(14)和(15)式可以看出,當參數(shù)滿足一定關系時,系統(tǒng)可以演化為最大糾纏態(tài)所以,在實驗中只要調(diào)節(jié)超導共面諧振器的參數(shù),使其與NVE的耦合強度G1,G2滿足特定的關系,并且精確控制體系的演化時間,就可以使該方案中由NVE-SCR構成的兩個量子節(jié)點之間實現(xiàn)最大糾纏.

4 系統(tǒng)耗散與糾纏保真度

上述所研究的節(jié)點之間量子糾纏是在理想系統(tǒng)中實現(xiàn)的,但在實驗過程中,系統(tǒng)不可避免地會有耗散,例如NV center自旋的衰減,SQUID中量子隧穿的耗散,以及SQUID自身的退相位等,其耗散強度大約為幾百kHz.在強耦合系統(tǒng)中SQUIDSCR,NVE-SCR以及SCR-SCR之間的耦合強度是上述耗散率的1000倍甚至更高,所以這些耗散引起的消相干可以忽略.只考慮超導共面諧振器的耗散,體系的主方程可以表示為

其中的算符D[A]=2AρA ? ?A ? Aρ? ρA ? A,κ為超導共面諧振器腔模C的耗散,體系的哈密頓量H的表達式為(8)式. 用描述糾纏態(tài)的保真度,假設體系初態(tài)為在共振相互作用條件下,得到最大糾纏態(tài)的保真度F隨時間變化的關系曲線如圖3所示.從圖中可以看出,超導共面諧振器耗散的增大會使糾纏保真度明顯減小,所以提高實驗設備中超導共面諧振器的品質是提高糾纏保真度的必要前提.

圖3 不同耗散情況下糾纏態(tài)保真度隨時間的變化Fig.3.The f i delity of quantum entanglement versus the timetwithκ=0(blue),κ=0.05(red),andκ=0.10(black).

除了超導共面諧振器的耗散對糾纏態(tài)保真度有影響之外,體系內(nèi)部之間的相互耦合強度也會影響保真度.當NVE與SCR之間的耦合強度滿足并且不考慮超導共面諧振器的耗散時,得到的糾纏保真度為1,如圖3中藍色曲線所示.但實際情況不僅存在超導共面諧振器的耗散,而且耦合強度G1,G2之間的關系可能因為實驗誤差有所變化,所以的保真度一定是小于1的.重新定義一個相對耦合強度δ=G1?G2/G2,并模擬δ取不同值時保真度的變化趨勢,如圖4所示,在κ=0.05條件下,當時保真度最大,可以達到0.9644.NVE和超導共面諧振器之間的磁耦合強度為g=2π×11 MHz時,實現(xiàn)節(jié)點之間糾纏所需要的時間大約為t=0.8509μs,而NVE的相干時間在室溫下可長達2 ms,這就足以在系統(tǒng)的相干時間內(nèi)完成多次節(jié)點之間的量子糾纏邏輯門操作.因此該方案在目前實驗條件下是實際可行的,如果盡可能提高超導共面諧振器的品質因子,減少系統(tǒng)其他方面的耗散,并精確控制體系的耦合參量和演化時間,就能夠進一步提高量子節(jié)點之間的糾纏保真度.

圖4 當κ=0.05,δ取不同值時糾纏保真度隨時間的變化Fig.4.The fi delity of quantum entanglement versus the time t with δ=(blue), δ=1.8(red),and δ=1.0(black)in the case ofκ=0.05.

5 結 論

量子糾纏是實現(xiàn)量子計算和量子通信的核心基礎,本文提出了一種實現(xiàn)兩個分離量子節(jié)點之間糾纏的理論方案.在金剛石NV centers自旋系綜與超導量子電路耦合的混合系統(tǒng)中,把一個NVE與一個超導共面諧振器的共振耦合子系統(tǒng)作為一個量子節(jié)點,兩個量子節(jié)點之間通過一個空的超導共面諧振器連接.首先對該混合系統(tǒng)的哈密頓量進行正則變換,將其等價為兩個NVE與同一個超導共面諧振器之間的JC耦合模型,然后采用NV centers自旋-光子混合比特編碼的方式,通過在特定參數(shù)條件下精確控制系統(tǒng)的動力學演化過程,最終實現(xiàn)兩個分離量子節(jié)點之間的糾纏.通過模擬分析,即使系統(tǒng)存在耗散和相對耦合強度誤差,仍然能夠在NV centers相干時間內(nèi)高保真度地完成量子節(jié)點之間的糾纏.該方案還可以進一步擴展,在金剛石NV centers自旋系綜與超導量子電路耦合的混合系統(tǒng)中,將兩個量子節(jié)點擴展到三個、五個甚至更多,構造出包含更多量子節(jié)點的分布式量子網(wǎng)絡模型,通過操控系統(tǒng)的外電路使得這些量子節(jié)點之間產(chǎn)生相互糾纏或實現(xiàn)量子隱形傳態(tài),這也是我們下一步的研究計劃.總之,本文為實現(xiàn)分離量子節(jié)點之間的糾纏提供了切實可行的方法,在量子信息研究領域具有潛在的應用價值.

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