付瑋，丁鎮(zhèn)軍，邊學(xué)鵬

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多自由度振動(dòng)環(huán)境下慣組非線性傳遞特性研究

付瑋，丁鎮(zhèn)軍，邊學(xué)鵬

（北京強(qiáng)度環(huán)境研究所，北京 100076）

慣組作為飛行器姿控系統(tǒng)的傳感器，其局部安裝結(jié)構(gòu)的傳遞特性的測(cè)量精度直接關(guān)系到導(dǎo)航精度。目前，慣組普遍使用減振器進(jìn)行隔振，而減振器都呈現(xiàn)出較強(qiáng)的非線性特征。為了考察慣組在不同工況下的傳遞特性，將慣組簡(jiǎn)化為六自由度Duffing模型，推導(dǎo)了基礎(chǔ)激勵(lì)下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，并用龍格?庫(kù)塔法對(duì)方程進(jìn)行求解，分析了自由衰減振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)下不同工況的系統(tǒng)傳遞特性。結(jié)果表明，多自由度激勵(lì)比單自由度激勵(lì)工況得到的系統(tǒng)傳遞特性的頻率和幅值都低。考慮到慣組真實(shí)的使用環(huán)境，應(yīng)當(dāng)在多自由度振動(dòng)環(huán)境下進(jìn)行傳遞特性試驗(yàn)。

多自由度；慣組；非線性；傳遞特性

0 引言

慣組導(dǎo)航系統(tǒng)用于測(cè)量飛行器運(yùn)動(dòng)姿態(tài)。為了提高慣組的力學(xué)環(huán)境適應(yīng)性，通常在慣組敏感本體與安裝基礎(chǔ)之間采取減振措施。而減振環(huán)節(jié)的插入改變了慣組小系統(tǒng)原有的剛性傳遞特性。傳遞特性是姿控系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要參數(shù)，工程上一般通過(guò)傳遞特性試驗(yàn)獲取。慣組由3個(gè)角速度陀螺和3個(gè)加速度計(jì)構(gòu)成，從而獲得反映慣組安裝處的6個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)量，通過(guò)傳遞特性矩陣可以得知飛行器的姿態(tài)。目前測(cè)量慣組小系統(tǒng)傳遞特性的方法是通過(guò)單自由度激勵(lì)試驗(yàn)，分別獲取每個(gè)自由度的傳遞特性，這個(gè)過(guò)程沒(méi)有考慮到慣組多自由度間的耦合現(xiàn)象。文獻(xiàn)[1-3]將多點(diǎn)減振慣組簡(jiǎn)化為線性多自由度模型，并進(jìn)行了仿真分析，針對(duì)各自由度間可能出現(xiàn)的耦合現(xiàn)象，通過(guò)合理的減振器布局實(shí)現(xiàn)解耦。但試驗(yàn)與研究結(jié)果表明，減振器都呈現(xiàn)較強(qiáng)的非線性特征[4]，線性多自由度系統(tǒng)已經(jīng)不能準(zhǔn)確描述慣組小系統(tǒng)各自由度間的耦合特性。

為了研究慣組在多自由度振動(dòng)環(huán)境下的非線性傳遞特性，本文將慣組小系統(tǒng)簡(jiǎn)化為六自由度非線性彈簧?質(zhì)量系統(tǒng)。根據(jù)非線性系統(tǒng)建模的研究經(jīng)驗(yàn)[5]，選擇Duffing模型可較好地表征其非線性特性[6-7]?？紤]慣組真實(shí)使用環(huán)境，建立了多自由度振動(dòng)環(huán)境下的動(dòng)力學(xué)方程。使用數(shù)值積分方法，分別對(duì)慣組在自由衰減振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)環(huán)境下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性和傳遞特性進(jìn)行分析，以獲得各自由度振動(dòng)環(huán)境及減振器非線性特性對(duì)慣組的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)和傳遞特性的影響規(guī)律。

1 六自由度運(yùn)動(dòng)微分方程的建立

本文選取比較常見(jiàn)的四減振器外減振模型，4組完全相同的橡膠減振器安裝在慣組敏感本體的4個(gè)角且位于同一平面，慣組質(zhì)心位于該平面。減振器兩端分別連接慣組本體和慣組安裝基礎(chǔ)。橡膠減振器具有立方剛度和黏性阻尼的特性。通過(guò)上下2個(gè)減振器夾緊慣組本體的支耳，減振器外沿和凸起分別提供垂直和平行于減振器安裝平面的剛度。由于這2個(gè)方向的減振器剛度不同，將4組減振器轉(zhuǎn)化為8個(gè)彈簧阻尼系統(tǒng)，如圖1所示，其中：立方體是慣組本體；虛線框內(nèi)是彈簧阻尼系統(tǒng)；1～4號(hào)提供軸方向的剛度，5～8號(hào)提供平面的剛度。將各彈簧阻尼系統(tǒng)的變形量投影到坐標(biāo)軸上，如圖2所示，可對(duì)慣組本體建立幾何方程和平衡方程。

圖1 六自由度基礎(chǔ)激勵(lì)模型

圖2 減振器變形示意

1.1 幾何方程

假設(shè)相鄰減振器之間距離為2，慣組本體質(zhì)量為，重心與幾何中心重合，繞3個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都為。在基礎(chǔ)處施加運(yùn)動(dòng)激勵(lì)，其中沿、、軸的線運(yùn)動(dòng)分別為01、02、03，繞、、軸的角運(yùn)動(dòng)分別為01、02、03，慣組本體響應(yīng)對(duì)應(yīng)的線/角運(yùn)動(dòng)分別是1、2、3、1、2、3，令慣組本體對(duì)安裝基礎(chǔ)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)分別為r1、r2、r3、r1、r2、r3，有：

ri= y–0i,riθ–0i，=1, 2, 3。 (1)

令慣組本體與安裝基礎(chǔ)在8處彈簧阻尼系統(tǒng)的相對(duì)位移分別為1～8，則幾何方程為

1.2 平衡方程

各處彈簧阻尼系統(tǒng)的彈性恢復(fù)力為

式中：1、2分別為向和向的減振器黏性阻尼；11、21分別為向和向的減振器線性剛度；13、23分別為向和向的減振器立方剛度。

對(duì)慣組本體進(jìn)行受力分析，其平衡方程為

此處模仿線性系統(tǒng)定義，1～6分別為系統(tǒng)6個(gè)自由度的固有頻率，1～6分別為系統(tǒng)6個(gè)自由度的阻尼比，令12=411/，22=32=421/，42=4212/，52=62=4112/，211=41/，222=233=42/，244=422/，255=266=412/，1=13/11，2=23/21。對(duì)于Duffing模型，此處增加了系數(shù)1和2，分別表示減振器向和向立方剛度系數(shù)與線性剛度系數(shù)的比值。聯(lián)立式(2)～(4)，得到慣組小系統(tǒng)六自由度運(yùn)動(dòng)微分方程為

其中：0={010203010203}T；r={r1r2r3r1r2r3}T；=diag(122232425262)；=diag(211222233244255266)；=diag(122211)；

由式(5)可知：對(duì)于線性系統(tǒng)，1=2=0，方程退化為完全解耦的6個(gè)自由度的線振動(dòng)方程與角振動(dòng)方程，此時(shí)各自由度之間相互獨(dú)立，這與文獻(xiàn)[3]的結(jié)論一致；對(duì)于非線性系統(tǒng)，1,2≠0，矩陣的非對(duì)角元素不全為0，即不同自由度之間出現(xiàn)了耦合，此時(shí)各自由度之間不再獨(dú)立。目前慣組的傳遞特性試驗(yàn)采用單自由度激勵(lì)的方式，并沒(méi)有考慮耦合項(xiàng)的影響，這與多自由度振動(dòng)環(huán)境下獲取的傳遞特性必然有所差別。為了評(píng)估2種激勵(lì)方式造成的差別，需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析。

進(jìn)一步觀察矩陣，發(fā)生耦合的是向線運(yùn)動(dòng)和繞、軸角運(yùn)動(dòng)，以及、向線運(yùn)動(dòng)和繞軸角運(yùn)動(dòng)，但這2組耦合之間是獨(dú)立的。原因是減振器在垂直于安裝平面的剛度影響1、2、3這3個(gè)自由度，平行于安裝平面的剛度影響2、3、1這3個(gè)自由度，而這2個(gè)方向的剛度之間是正交的，相互獨(dú)立。

2 不同工況下傳遞特性的仿真計(jì)算

式(5)是一個(gè)二階微分方程組，可以變換為一階微分方程組

使用龍格?庫(kù)塔法對(duì)式(6)的初值問(wèn)題進(jìn)行求解，進(jìn)一步計(jì)算獲取慣組本體的加速度響應(yīng)。根據(jù)慣組小系統(tǒng)傳遞特性試驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)，本文取線振動(dòng)1=2=3=503rad/s，角振動(dòng)4=5=6=754rad/s，阻尼比1=2=3=4=5=6=0.01，=0.01。由于橡膠減振器幾乎都表現(xiàn)出“軟特性”，所以這里假設(shè)1=2=-100。

2.1 自由衰減振動(dòng)

圖3 3個(gè)自由度自由衰減時(shí)域曲線

為了進(jìn)一步研究多自由度和非線性對(duì)各自由度響應(yīng)的影響，利用Hilbert變換來(lái)構(gòu)建解析信號(hào)[8]，獲取系統(tǒng)幅值?頻率特性，如圖4所示。可以看出：隨著振動(dòng)幅值的衰減，振動(dòng)頻率都逐漸升高，這是典型的“軟彈簧”的非線性特性；相同幅值水平下，多自由度振動(dòng)的頻率明顯低于單自由度振動(dòng)的，可見(jiàn)多自由度振動(dòng)的非線性特性更加明顯，說(shuō)明不同自由度之間的相互耦合會(huì)增強(qiáng)系統(tǒng)的非線性特性。

圖4 3個(gè)自由度幅值?頻率曲線

2.2 強(qiáng)迫振動(dòng)

為了獲取系統(tǒng)在單自由度和多自由度振動(dòng)環(huán)境下的傳遞特性，在慣組安裝基礎(chǔ)上施加隨機(jī)運(yùn)動(dòng)輸入。使用輸入響應(yīng)信號(hào)的自功率譜和互功率譜來(lái)估計(jì)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

()=RE()EE()-1。 (7)

式中：EE()是輸入信號(hào)的自功率譜；RE()是響應(yīng)與輸入的互功率譜。

隨機(jī)振動(dòng)輸入信號(hào)功率譜選取40～150Hz的平譜，通過(guò)控制均方根值來(lái)確定激勵(lì)的量級(jí)水平。計(jì)算了單獨(dú)加載向線振動(dòng)，繞、軸角振動(dòng)以及同時(shí)加載多個(gè)自由度工況下的強(qiáng)迫振動(dòng)，包括同時(shí)激勵(lì)3個(gè)自由度、激勵(lì)其中2個(gè)自由度以及單獨(dú)激勵(lì)1個(gè)自由度共7種工況。其中線加速度均方根值為400，角加速度均方根值為90000。利用式(7)對(duì)輸入和響應(yīng)的時(shí)域信號(hào)進(jìn)行分析可以計(jì)算各工況下系統(tǒng)的傳遞特性，結(jié)果見(jiàn)圖5，諧振頻率與放大倍數(shù)統(tǒng)計(jì)值見(jiàn)表1。

圖5 隨機(jī)振動(dòng)傳遞特性幅值曲線

表1 傳遞特性諧振頻率與放大倍數(shù)

從結(jié)果可以看出，相同量級(jí)水平下，隨著激勵(lì)自由度的增加，各自由度傳遞特性的諧振頻率和諧振峰幅值都會(huì)降低，即激振自由度越多，相互之間耦合的影響越大，系統(tǒng)非線性特性越強(qiáng)。

傳遞特性的結(jié)果是姿控系統(tǒng)設(shè)計(jì)改進(jìn)的重要依據(jù)，而姿控系統(tǒng)對(duì)慣組低頻的諧振峰更加敏感，相同試驗(yàn)量級(jí)下，單自由度振動(dòng)環(huán)境獲取的慣組傳遞特性頻率較高，這對(duì)姿控系統(tǒng)的設(shè)計(jì)不利。而多自由度振動(dòng)環(huán)境更加接近真實(shí)的使用環(huán)境，獲取的傳遞特性更加趨向“保守”。

3 結(jié)束語(yǔ)

將典型的四減振器慣組系統(tǒng)簡(jiǎn)化為六自由度Duffing模型，建立了基礎(chǔ)激勵(lì)下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程；利用龍格?庫(kù)塔法對(duì)慣組的非線性傳遞特性進(jìn)行了仿真分析。結(jié)論如下：

1）剛度非線性造成了不同自由度之間的耦合，且發(fā)生耦合的是1、2、3這3個(gè)自由度以及2、3、1這3個(gè)自由度，這2組耦合之間是相互獨(dú)立的；

2）多自由度工況相對(duì)于單自由度工況，加強(qiáng)了各自由度的非線性特征，且加載自由度越多，獲得的非線性特性越明顯；

3）慣組減振器幾乎都表現(xiàn)出“軟特性”，多自由度振動(dòng)環(huán)境下的慣組傳遞特性頻率更低，其結(jié)果用于姿控系統(tǒng)設(shè)計(jì)更加“保守”。

多自由度之間的耦合普遍存在。單自由度試驗(yàn)通過(guò)人為的方法實(shí)現(xiàn)了不同自由度之間的解耦，其結(jié)果必然會(huì)失真。考慮到傳遞特性是姿控網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)的重要依據(jù)，且慣組真實(shí)工況更接近于多自由度振動(dòng)環(huán)境，為獲得更高的試驗(yàn)精度，建議在多自由度振動(dòng)環(huán)境下對(duì)慣組進(jìn)行傳遞特性試驗(yàn)。

[1] 章博, 任娟. 捷聯(lián)慣組空間五點(diǎn)減振的振動(dòng)耦合分析[J].宇航學(xué)報(bào), 2015, 36(9): 1030-1035

ZHANG B, REN J. Coupling vibration analysis of spatial-five-point arrangement isolators for strapdown inertial navigation system[J]. Journal of Astronautics, 2015, 36(9): 1030-1035

[2] 劉攀, 劉和平, 張琛. 激光陀螺捷聯(lián)慣組減振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性研究[J]. 光學(xué)與光電技術(shù), 2011, 9(5): 70-74

LIU P, LIU H P, ZHANG C. Research on dynamical characteristics of laser gyro strapdown IMU[J]. Optics & Optoelectronic Technology, 2011, 9(5): 70-74

[3] 姚建軍. 捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)不同隔振模式的比較[J]. 強(qiáng)度與環(huán)境, 2009, 36(2): 19-27

YAO J J. Contrast of different vibration isolation patterns used in strap-down inertial navigation system[J]. Structure & Environment Engineering, 2009, 36(2): 19-27

[4] 韓德寶, 宋希庚, 薛冬新. 橡膠減振器非線性動(dòng)態(tài)特性的試驗(yàn)研究[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 2008, 21(1): 102-106

HAN D B, SONG X G, XUE D X. Experiment on nonlinear dynamic characteristics of rubber isolator[J]. Journal of Vibration Engineering, 2008, 21(1): 102-106

[5] WORDEN K, TOMLINSON G R. Nonlinearity in structural dynamics[M]. Bristol: Institute of Physics Publishing, 2001: 97-109

[6] 宋漢文, 王文亮, 傅志方. 橡膠減振器非線性動(dòng)力參數(shù)辨識(shí)[J]. 復(fù)旦學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 1998, 37(5): 607-612

SONG H W, WANG W L, FU Z F. Non-linear dynamic parameter identification of rubber absorber[J]. Journal of Fudan University, 1998, 37(5): 607-612

[7] 張鵬飛, 蘇華昌, 吳家駒. 基于奇異值分解的慣性測(cè)量組合減振系統(tǒng)非線性剛度識(shí)別[J]. 導(dǎo)彈與航天運(yùn)載技術(shù), 2016(3): 68-72

ZHANG P F, SU H C, WU J J. Identification of nonlinear stiffness of inertial measurement unit with vibration absorber system based on singular value decomposition[J]. Missiles and Space Vehicles, 2016(3): 68-72

[8] HAHN S L. Hilbert transforms in signal processing[M]. Boston: Artech House, 1996: 95-117

（編輯：許京媛）

Nonlinear transfer characteristics of inertial measurement unit in vibration environment of multi-degrees of freedom

FU Wei, DING Zhenjun, BIAN Xuepeng

(Beijing Institute of Structure and Environment Engineering, Beijing 100076, China)

The inertial measurement unit (IMU) is the sensor of the attitude control system. The measurement precision of the transfer characteristics of the IMU directly affects its navigation accuracy. A damper is commonly used for the vibration isolation of the IMU, obviously with nonlinear characteristics. In order to analyze the transfer characteristics of the IMU under various working conditions, this paper simplifies the IMU as a Duffing cubic stiffness model with six degrees of freedom. The differential equations of motion under the base excitation is deduced, and solved by the Runge-Kutta method. The transfer characteristics of the system under free and forced vibration conditions are analyzed. It is shown that the frequency and the amplitude of the system under the working excitation condition of multi-degrees of freedom are lower than that under the excitation of single-degree of freedom. In the working environment of the IMU, the actual test should be carried out in the vibration environment of multi-degrees of freedom.

multi-degrees of freedom; IMU; nonlinearity; transfer characteristics

V241.6

A

1673-1379(2018)02-0123-05

10.3969/j.issn.1673-1379.2018.02.004

付瑋（1986—），男，碩士學(xué)位，主要從事結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的試驗(yàn)與仿真技術(shù)研究。E-mail: yuzhoufw@163.com。

2017-11-10；

2018-03-15