景弋洋,章躍進

(上海大學(xué),上海 200072)

0 引 言

目前表貼式永磁電機的永磁體充磁方式主要有徑向充磁、平行充磁和 Halbach 磁化結(jié)構(gòu)3種，內(nèi)轉(zhuǎn)子永磁電機選擇平行充磁，既可提高氣隙磁密的正弦分布程度，又能得到較高磁密峰值[1]。無論采用何種充磁方式，準(zhǔn)確計算電機的氣隙磁場分布都是設(shè)計電機并分析性能時所需的基本條件。計算磁場時通常用精度較高的有限元法，但其剖分復(fù)雜、計算耗時較多。解析法需要一定的前提假設(shè)，幾何結(jié)構(gòu)較單一，但能明確地反映參數(shù)對磁場的作用，同時由于其不需要大量的前處理，降低調(diào)整難度的同時加快了計算速度，是電機性能預(yù)評估和設(shè)計優(yōu)化的有利工具。

在氣隙磁場分布的計算中必須考慮定子的開槽效應(yīng)。定子槽的存在使氣隙磁場發(fā)生很大改變，因而對電動機性能如徑向力和齒槽轉(zhuǎn)矩引起的噪聲、轉(zhuǎn)矩波動和振動等都有較大的影響。解析法用于考慮開槽效應(yīng)的氣隙磁場測定的研究，已經(jīng)發(fā)展出了許多方法，主要使用的有3種。最早采用保角變換法，文獻[2-3]分析了徑向氣隙磁密分量在開槽處所受到的影響；文獻[4]使用復(fù)數(shù)型比磁導(dǎo)，能夠計算出切向磁密分量，但該方法不能把電機中各個槽之間的影響分析出來。第二種方法將數(shù)值和解析法結(jié)合，因為氣隙可認為近似線性，用解析法分析準(zhǔn)確，再通過邊界條件將其與用數(shù)值法分析的槽磁場聯(lián)系起來[5]，這樣分析電機時就可以采用任意槽型，但同時又增加了前處理過程，計算時間受到影響。第三種是全局解析法，將電機劃分為各個子域，通過交界條件可分析各個子域間的影響[6]，但其所使用的模型仍與實際電機差別較大。

文獻[7]采用全局解析法分析了外轉(zhuǎn)子半閉口槽永磁電機，并采用Halbach磁化結(jié)構(gòu)?；谠撐幕舅悸?，本文采用半閉口槽內(nèi)轉(zhuǎn)子平行充磁結(jié)構(gòu)，應(yīng)用全局解析法分析表貼式永磁無刷電機的磁場以及性能參數(shù)。利用 MATLAB優(yōu)化工具箱中的遺傳算法對電機進行優(yōu)化，目標(biāo)是減小齒槽轉(zhuǎn)矩和反電動勢非正弦度。并將得到的結(jié)果與二維有限元法和實驗所得結(jié)果相對比，證明其正確性。

1 電機解析模型

1.1 數(shù)學(xué)模型

根據(jù)材料和結(jié)構(gòu)屬性，將整個電機劃分為4個求解區(qū)域：氣隙區(qū)域1、平行充磁永磁體區(qū)域2、i槽口區(qū)域Si和j槽深區(qū)域Sj，由于采用雙層繞組，j槽深區(qū)域Sj由上層區(qū)域Sj1和下層區(qū)域Sj2組成 (i，j=1,2,…，Q)。如圖1所示。

圖1 電機求解區(qū)域幾何模型

1.2 永磁體平行充磁解析模型

永磁體平行充磁磁鋼磁化方向如圖2所示。在極坐標(biāo)系下，永磁體的磁化強度M可用如下公式表示：

圖2 平行充磁磁化方向

M=Mrr+Mθθ

(1)

式中：r,θ為徑向與切向矢量符號。Mr，Mθ分別為永磁體磁化強度的徑向和切向分量，其傅里葉級數(shù)展開式[8]：

(2)

式中：h為極對數(shù)p和槽數(shù)Q的最大公約數(shù)；θ0為永磁體與初始設(shè)定基準(zhǔn)位置間的夾角。若為平行充磁，則：

(3)

式中：

式中：Br為永磁體剩余磁通密度；μ0為真空磁導(dǎo)率；αp為永磁體極弧系數(shù)。

2 全局解析法空載磁場計算

2.1 矢量磁位方程組，子域邊界條件

(4)

根據(jù)電磁場分界面銜接條件，使用分離變量法[9]，各區(qū)域矢量磁位通解表示如下：

(C1nrnh+D1nr-nh)sin(nhθ)]

(5)

(C2nrnh+D2nr-nh)sin(nhθ)]+

sin[nh(θ-θ0)]

(6)

(7)

(8)

2.2 空載氣隙磁密、齒槽轉(zhuǎn)矩和反電動勢

根據(jù)磁矢量位和磁通密度的關(guān)系，在極坐標(biāo)系下，對氣隙區(qū)域的矢量磁位按式(9)，即可求得磁通密度的徑向分量和切向分量：

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：Lef為氣隙軸向長度；Re為計算齒槽轉(zhuǎn)矩積分路徑的半徑；Nturn為雙層繞組每層導(dǎo)體數(shù)；Sslot為槽身區(qū)域的面積；ω為電機旋轉(zhuǎn)機械角速度。

3 遺傳算法優(yōu)化設(shè)計

3.1 解析法與遺傳算法優(yōu)化的優(yōu)勢

在解析法與有限元法結(jié)果準(zhǔn)確一致的前提下，采用解析法進行優(yōu)化有很多優(yōu)點：1) 電機被完全的參數(shù)化，變量更改方便，范圍廣；2) 有限元法在電機參數(shù)改變后需要重新設(shè)置網(wǎng)格剖分方式，否則計算結(jié)果將不準(zhǔn)確，而每改一次參數(shù)就重新剖分一次的前處理過程十分的復(fù)雜和難以自動實現(xiàn)，效率也大大降低，不利于優(yōu)化的進行；3) 解析法物理概念明確，計算量小、速度快。因此在進行電機的優(yōu)化設(shè)計時，采用解析法而非有限元法有很大優(yōu)勢。

遺傳算法是一類借鑒生物界的進化規(guī)律演化而來的隨機化搜索方法。與傳統(tǒng)算法相比，它魯棒性強，對目標(biāo)函數(shù)及其約束條件不做連續(xù)性上的要求，搜索區(qū)域遍及整個解空間，具有全局優(yōu)化的特點[10]。全局解析法的計算模型參數(shù)化，與遺傳算法結(jié)合可實現(xiàn)優(yōu)化過程自動化，無需人工參與。本文將MATLAB優(yōu)化工具箱中的遺傳算法運用到永磁無刷電機的優(yōu)化設(shè)計中，較有限元法省去了復(fù)雜的前處理，大大縮短了優(yōu)化計算時間，且更加方便有效。

3.2 設(shè)計變量的選取

選取對平行充磁表貼式永磁電機設(shè)計和性能指標(biāo)影響較大的基本參數(shù)作為設(shè)計變量，根據(jù)電機的特點，有幾個變量對電機的磁場影響較為突出：首先是氣隙長度，氣隙長度大小的變化能直接影響到磁路的狀態(tài)和磁場的大小；其次是永磁體厚度，永磁體越厚則磁場越強，反之越弱，過厚的永磁體會增大成本及影響結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性；槽口的存在是齒槽轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生的原因，但槽口越小卻會對電機其他性能產(chǎn)生影響。

綜上選取永磁體半徑Rm，定子內(nèi)半徑Rs，槽口半徑Rs1，槽口張開角度β為優(yōu)化設(shè)計變量。

3.3 目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建

目標(biāo)函數(shù)即是優(yōu)化設(shè)計中需要解決的問題，本文重點關(guān)注的是在保證電機性能的前提下減小齒槽轉(zhuǎn)矩和反電動勢的非正弦畸變率，即：

Min fitness=Min(Tcog&δe)

(14)

式中：fitness為計算目標(biāo)函數(shù)值的M文件。即上文中的齒槽轉(zhuǎn)矩和反電動勢的解析計算過程。

3.4 主程序函數(shù)

MATLAB遺傳算法工具箱中的遺傳算法主函數(shù)：

(15)

式中：左端為輸出參數(shù)，右端為輸入?yún)?shù)。輸出參數(shù)中x為最終變量值，fval為最優(yōu)解；輸入?yún)?shù)中nvars為變量的個數(shù)。

3.5 遺傳算法參數(shù)選擇

遺傳算法參數(shù)的選擇對遺傳算法的準(zhǔn)確性有很大影響，其中主要的有以下幾個。

群體規(guī)模是影響算法效能的主要因素之一。取值太小采樣點不足，算法性能將大大下降；反之若該值取得過大，則算法的計算量與完成時間顯著增加，一般在20～100范圍內(nèi)選取。具體設(shè)置是在options中更改PopulationSize，本文設(shè)為25。

算法中用于控制產(chǎn)生后代的交叉操作頻度的參數(shù)稱為交叉概率。當(dāng)交叉概率取得過大時，種群更新太快，合適的函數(shù)取值將很容易被破壞；概率取得太小，產(chǎn)生后代的操作將減少，導(dǎo)致算法停滯不前，一般在0.4～0.9之間選取。工具箱中有離散重組等多種交叉函數(shù)可供選擇。具體設(shè)置是在options中更改CrossoverFraction，本文設(shè)為0.9。

變異概率決定了函數(shù)族群中產(chǎn)生多種不同個體的可能性，一般取一個較小值就會對種群的各個基因產(chǎn)生影響，提高種群多樣性。取得過大或過小都會影響算法性能，一般在0.001～0.2范圍內(nèi)選取，可在options中更改MigrationFraction，本文設(shè)為0.01。

終止條件是人為設(shè)置的終止算法的判斷條件，即認為在這個條件下算法已滿足最優(yōu)解。可在工具箱中選擇最大代數(shù)、停滯時間等，本文采用最大代數(shù)，在options中設(shè)置Generations為80。

4 實例實驗驗證與優(yōu)化效果

4.1 電機結(jié)構(gòu)參數(shù)

本文樣機為一臺4極6槽的平行充磁表貼式永磁無刷電機，具體參數(shù)如表1所示。

表1 電機模型參數(shù)

4.2 空載氣隙磁密

圖3 空載氣隙磁密波形對比

從圖3中可看出，由于聚磁效應(yīng)解析法相對有限元法在齒邊緣的計算結(jié)果要稍有偏差，但整個磁密波形基本完全吻合，而空載磁密的正確可以反映出其余特性的正確性，從而證明了全局解析法的正確性，可以用它來優(yōu)化電機。

4.3 齒槽轉(zhuǎn)矩與優(yōu)化結(jié)果

圖4 齒槽轉(zhuǎn)矩波形對比

調(diào)用工具箱程序優(yōu)化后的4個設(shè)計變量：永磁體半徑Rm=13.5mm，定子內(nèi)半徑Rs=16mm，槽口半徑Rs1=18.5mm，槽口張開角度β=16°。

圖4中解析法齒槽轉(zhuǎn)矩最大值為137mN·m，而有限元法為120mN·m，有一定差距，但波形趨勢較為吻合。

而設(shè)計變量優(yōu)化之后的電機齒槽轉(zhuǎn)矩波形如圖5所示。

圖5 優(yōu)化后的齒槽轉(zhuǎn)矩波形

從圖5中可以看出，采用了優(yōu)化結(jié)構(gòu)的電機齒槽轉(zhuǎn)矩幅值近似為66mN·m，比優(yōu)化前減少了一半，證明本文使用的遺傳算法優(yōu)化在減少齒槽轉(zhuǎn)矩方面是有效的。

4.4 反電動勢與優(yōu)化效果

圖6分別是原尺寸電機在額定轉(zhuǎn)速下相繞組空載反電動勢的解析計算、有限元計算和實測波形。

(a) 解析法計算波形

(b) 有限元法計算波形

(c) 實測波形

采用遺傳算法優(yōu)化時齒槽轉(zhuǎn)矩與反電動勢是一同優(yōu)化的，所以優(yōu)化后的模型同上文,即永磁體半徑Rm=13.5mm，定子內(nèi)半徑Rs=16mm，槽口半徑Rs1=18.5mm，槽口張開角度β=16°。

圖6中，反電動勢實測波形幅值約為9.2V，解析計算幅值近似為10.2V，誤差為10.9%。有限元計算幅值近似為9.9V,誤差為7.6%。

由于解析模型不能與實際電機完全相同，計算過程中也采用了一些假設(shè)，導(dǎo)致反電動勢幅值的解析結(jié)果大于實測值，但波動形狀與趨勢和實測波形一致，證明本文的解析模型與方法依然是合理有效的。

設(shè)計變量優(yōu)化后的電機模型反電動勢波形如圖7所示。

圖7 優(yōu)化后的反電動勢波形

從圖5和圖7中可以看出，優(yōu)化后的模型在減小了齒槽轉(zhuǎn)矩的同時,也使得反電動勢波形更加接近正弦波，實現(xiàn)了優(yōu)化目標(biāo)，并且實現(xiàn)過程方便快捷，證明本文的這種優(yōu)化設(shè)計是可行和有效的。

5 結(jié) 語

本文建立了半閉口槽平行充磁表貼式永磁電機全局解析模型計算電機的氣隙磁場分布。將求得的氣隙磁密、齒槽轉(zhuǎn)矩和反電動勢解析計算波形分別與二維有限元法計算結(jié)果和實驗波形作比較，結(jié)果較為一致，證明了本文全局解析模型是合理正確的。在模型正確的條件下，進一步運用遺傳算法優(yōu)化工具對與電機性能有關(guān)的參數(shù)進行優(yōu)化，結(jié)果顯示電機的空載性能得到提高，證明了該方法的可行性和有效性。

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