梅浩 劉永

（南京理工大學計算機科學與工程學院 南京 210094）

1 引言

機器人是一種高度集合化的技術(shù)裝備，它將控制、材料、電子、傳感器和機械等方向技術(shù)有效地集合于一體，從而讓其具有了多方面的優(yōu)點。為此，其相關(guān)的應用也是越來越廣泛，但是現(xiàn)今的機器人重復定位精度高而絕對定位精度低，為了達到更多較高難度工作任務的需要，準確地標定出機器人參數(shù)就顯得尤為重要［1］。

對于機器人標定，它就是采用測量手段或者基于運動學模型的參數(shù)識別方法辨識出機器人模型的準確參數(shù)，從而提高機器人絕對精度的過程［2］。其相關(guān)標定是由正標定和逆標定、自標定以及參數(shù)標定等重要標定技術(shù)［3］構(gòu)成。其中，參數(shù)標定是獲得運動學模型的一種相對有效且經(jīng)濟的標定方法［4～6］。零位標定作為參數(shù)標定中的一種，是提高機器人定位精度最重要的一種標定方法［7］。

機器人精度誤差問題來自于多個方面，其中主要來源［8］是機器人的制造加工誤差、關(guān)節(jié)零位誤差等幾何誤差，利用常規(guī)的標定誤差模型，能夠較好地解決誤差問題，而對于某些特定的機器人而言，其不僅含有幾何誤差，還含有一定由連桿和關(guān)節(jié)導致的柔性誤差，這種綜合性的誤差成分促使常規(guī)誤差建模的難度系數(shù)加大，而且很難辨識并補償。

本文對機器人柔性關(guān)節(jié)建模及零位標定進行研究。分析機器人柔性關(guān)節(jié)的變形規(guī)律，建立柔性關(guān)節(jié)的誤差模型，并分別考慮在末端負載和機械臂自重的影響下，相關(guān)誤差模型的構(gòu)建，結(jié)合工業(yè)機器人IRB120和實驗環(huán)境特點，改進原來的零位標定誤差模型，通過仿真和實驗，對比原來誤差模型和改進誤差模型的標定效果。

2 柔性關(guān)節(jié)模型

2.1 柔性關(guān)節(jié)模型

由于機器人關(guān)節(jié)本身功能所需要，決定了關(guān)節(jié)整體結(jié)構(gòu)需較為緊湊，所以在機械臂各關(guān)節(jié)中，大部分情況都是采用諧波齒輪減速器，而關(guān)節(jié)柔性產(chǎn)生的誤差最主要原因就是諧波齒輪減速器。為了較好地掌握關(guān)節(jié)柔性變形，我們需要知道其變形規(guī)律，Spong［9］提出了機器人柔性關(guān)節(jié)的誤差模型。

針對柔性關(guān)節(jié)的建模，Spong提出兩點，其一，在模型中把關(guān)節(jié)的柔性描述成一個線性彈簧，其相應的比例系數(shù)就是關(guān)節(jié)的彈性系數(shù)；其二就是把電機的轉(zhuǎn)子當作在轉(zhuǎn)軸上一個整體。

通過Spong的假設(shè)，我們會發(fā)現(xiàn)，其是把具有n個自由度的柔性關(guān)節(jié)機器人模型用一個四階動力學模型來表示：

式中，Jm、M(q)、K分別代表電機轉(zhuǎn)動慣量矩陣、連桿轉(zhuǎn)動慣量矩陣和關(guān)節(jié)的扭轉(zhuǎn)剛度，qm、q分別代表電機角度向量和關(guān)節(jié)角度向量，C(q，q˙)、g(q)分別代表離心力與哥氏力項矩陣和重力向量。

在此模型中，我們可以得到關(guān)節(jié)柔性誤差導致的關(guān)節(jié)偏轉(zhuǎn)角表示［10］，具體如下

其中，δθC表示由于關(guān)節(jié)撓性形變導致的關(guān)節(jié)偏轉(zhuǎn)角，單位為弧度；τ是施加在關(guān)節(jié)i軸線上的等效力矩；Cθ代表關(guān)節(jié)i的柔性系數(shù)。

因此，基于上式得到的關(guān)節(jié)偏轉(zhuǎn)角將柔性誤差轉(zhuǎn)化成機器人末端位姿誤差，具體如下

在該式中，我們用ΔXC表示機器人末端位姿誤差，用JC表示柔性偏轉(zhuǎn)角雅可比矩陣，用δθC表示由機器人各關(guān)節(jié)柔性偏轉(zhuǎn)角構(gòu)成的矢量。若只考慮空間坐標變化，則有

其中，ΔDC表示機器人末端位置誤差，MC表示柔性偏轉(zhuǎn)角的平移系數(shù)矩陣，Cθ表示柔性系數(shù)矩陣，τ表示等效力矩矢量。

2.2 自重柔性誤差模型

IRB120機型中連桿2、3質(zhì)量最大，機械臂自重施加在關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3上的力矩最大，因此自重主要影響關(guān)節(jié)2和3的柔性，其他關(guān)節(jié)的柔性相比很小，可將其忽略。

機械臂的幾何結(jié)構(gòu)如圖1所示，G2和G3分別為連桿2和連桿3的重心，L1和L2分別為某姿態(tài)時，G2和G3到關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3的距離，L3為連桿2的長度，θ2和θ3為關(guān)節(jié)2、3的零位關(guān)節(jié)角值，偏轉(zhuǎn)角θgiC的方向定義也是如此，C2和C3分別為關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3的柔性系數(shù)，關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3由于機械臂自重所受的力矩［11］分別如下

并將其代入上面的關(guān)節(jié)誤差模型式（2），從而得到關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3由于機械臂自重轉(zhuǎn)過的微小角度，分別如下

圖1 機械臂幾何簡化結(jié)構(gòu)

其中，在θgiC的下標中，g表示的是關(guān)節(jié)受到機器人自重導致關(guān)節(jié)產(chǎn)生誤差，iC表示的是關(guān)節(jié)i的關(guān)節(jié)柔性系數(shù)C。令

則式（5～6）可以改寫為

將其改寫成矩陣相乘的形式即為

則式（12）可以用于表示關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3在受機械臂自重影響下的柔性誤差模型。

2.3 外加負載柔性誤差模型

關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3由于機械臂末端加載的負載所受的力矩分別如下

并將其代入上面的關(guān)節(jié)誤差模型式（2），從而得到關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3由于負載轉(zhuǎn)過的微小角度，如下

其中，在θliC的下標中，l表示的是關(guān)節(jié)受到機器人末端負載導致關(guān)節(jié)產(chǎn)生誤差，iC表示的是關(guān)節(jié)i的關(guān)節(jié)柔性系數(shù)C。式中，L4為關(guān)節(jié)3到末端點的長度，Gl為機械臂末端所加負載的重力，令

則可以將式（13）和（14）分別轉(zhuǎn)化為

將其轉(zhuǎn)化成矩陣相乘的形式：

則式（20）可以用于表示關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3在受機械臂末端負載影響下的柔性誤差模型。

3 零位標定模型

3.1 D-H模型

為了對機器人進行標定，首先要建立運動學模型，D-H模型［12］是應用最廣泛的一種機器人建模模型，D-H模型可以唯一地描述機器人運動鏈的結(jié)構(gòu)。D-H模型用 θi，di，ai，αi四個參數(shù)描述機器人每個桿件坐標系，模型中坐標系轉(zhuǎn)換的T=R(θi)T(di)T(ai)R(αi)具體如下

其中，θi為關(guān)節(jié)角度，即為從 Xi-1軸繞Zi軸旋轉(zhuǎn)到Xi軸的角度，繞Zi軸逆時針方向為正；αi為桿件扭角，即為從Zi-1軸繞 Xi軸到Zi軸的角度，繞 Xi軸逆時針方向為正；ai為桿件長度，即為從Zi-1軸沿著 Xi軸方向到Zi軸的距離，沿 Xi軸方向為正；di為關(guān)節(jié)長度，即為從 Xi-1軸沿著Zi軸到 Xi軸的長度，沿Zi軸的方向為正。

則六自由度機器人從基坐標系到末端坐標系的變換矩陣可得如下

將機器人每個關(guān)節(jié)角代入對應的齊次變換矩陣即可得到機器人末端的姿態(tài)與位置矩陣，簡化計算結(jié)果如下

其中，(nx，ox，ax)，(ny，oy，ay)，(nz，oz，az)為機器人末端坐標系X、Y和Z軸上單位向量在機器人基坐標系上的坐標值，(px，py，pz)是機器人末端點在基坐標系下的坐標值。

3.2 零位標定誤差模型

第i個關(guān)節(jié)的零位誤差值用Δθi來表示，依據(jù)D-H模型，可以得到各個關(guān)節(jié)軸之間的變換矩陣，帶入零位誤差值到變換矩陣中，從而得到如下所示的齊次變換矩陣［13～14］：

3.3 改進的零位標定誤差模型

對于原來的零位標定誤差模型而言，如果每個關(guān)節(jié)的零位誤差值Δθi是固定值，或隨機械臂的準靜態(tài)運動而變化很小，則基于原有誤差模型的標定效果是非常好的，但當每個關(guān)節(jié)的θi誤差值會隨關(guān)節(jié)角狀態(tài)的變化而有較大變化的時候，原來的標定方法會對參數(shù)誤差出現(xiàn)難以辨識的問題，影響標定的效果?？紤]到IRB120機型存在的誤差因素不僅含有零位誤差，還含有一定的關(guān)節(jié)柔性誤差。根據(jù)前面對柔性誤差的研究分析，可以將原來的標定誤差模型進行改進，讓改進后的誤差模型考慮更多的誤差因素，從而提升標定效果，其相應的誤差模型具體如下

在該標定過程中，由于機械臂末端的負載很小，可以忽略不計，因此關(guān)節(jié)柔性僅受機型自重的影響。根據(jù)IRB120機型的特點，可知該機型關(guān)節(jié)柔性誤差主要集中在關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3處，所以為實現(xiàn)更好的標定，在關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3處使用改進的誤差模型，其他關(guān)節(jié)保持原來的誤差模型，通過將兩個誤差模型結(jié)合使用以實現(xiàn)對該機型的零位標定。對于關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3其改進模型中的τi分別為

其中，G2為連桿2的重力，G3為連桿3和以上連桿總重力，L1為連桿2重心點和關(guān)節(jié)2軸中心的距離，L2為連桿3和以上連桿合體的重心點和關(guān)節(jié)3軸中心的距離，L3為連桿2的長度，θ2和θ3為關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3相對零位位姿的轉(zhuǎn)角。

因此，不僅需要標定六個關(guān)節(jié)角的誤差，還需要標定相應關(guān)節(jié)角的柔性系數(shù)誤差。

4 仿真實驗與結(jié)果分析

本文主要是針對機器人柔性關(guān)節(jié)建模及零位標定進行研究，實驗平臺是工業(yè)機器人IRB120。

在仿真含有零位誤差、關(guān)節(jié)柔性誤差和隨機誤差的綜合影響下，我們對原來的誤差模型和改進的誤差模型進行對比仿真實驗。在IRB120運動學參數(shù)標定仿真系統(tǒng)中，給該標定仿真系統(tǒng)添加誤差：添加關(guān)節(jié)柔性誤差，設(shè)定關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3的柔性系數(shù)分別為-5.921122e-05(N·m)-1、-9.137836e-06(N·m)-1；添加零位誤差值，如（0，-1，-2，-1，1，-2）；添加隨機誤差，在每次進行讓激光線打到位置敏感檢測器（Position Sensitive Detector，PSD）中心點之前，向該機器人的D-H模型的第5個關(guān)節(jié)的桿件長度a5和關(guān)節(jié)長度d5添加隨機的誤差值，從而實現(xiàn)多次改變系統(tǒng)的隨機誤差值，對于系統(tǒng)的噪聲如下

對于該隨機誤差源，其為（0，1）之間的隨機數(shù)，通過多次重復添加，且每次添加不同的隨機誤差噪聲。

以不同的姿態(tài)讓機器人末端的激光線都交于一點［15～17］，采集420組關(guān)節(jié)角值，將其中的210組數(shù)據(jù)用原來的誤差模型和改進的誤差模型分別進行標定，利用剩余的210組數(shù)據(jù)進行標定效果的驗證工作。由于每次零位標定僅需要7組數(shù)據(jù)，所以原先用于標定的210組數(shù)據(jù)可以對每個誤差模型重復進行30次標定，將30次標定結(jié)果求取平均值即為平均標定結(jié)果。利用平均標定結(jié)果對210組關(guān)節(jié)角數(shù)據(jù)分別進行誤差補償，根據(jù)補償后的關(guān)節(jié)角計算激光線在PSD感光面上的投影點，以及投影點與PSD中心點的距離值即距離誤差，累加該誤差值并求取平均值即得到平均距離誤差，越小則說明標定的效果越好。

圖2～3是分別用這兩個模型進行仿真的結(jié)果。

利用原來誤差模型和改進誤差模型標定的結(jié)果進行測試數(shù)據(jù)的誤差補償，計算得到平均距離誤差值分別為0.9692mm和0.5772mm，可見前者還殘余較多的誤差未能標定出來，說明改進誤差模型標定的效果要更好。

從圖2和圖3可知，利用平均標定結(jié)果將用于驗證標定效果的210組關(guān)節(jié)角數(shù)據(jù)分別進行誤差補償，根據(jù)補償后的關(guān)節(jié)角計算激光線在PSD感光面上的投影點，其中（0，0）點為PSD中心點，點越接近（0，0）點，說明標定效果越好，通過兩圖中紅點的分布可知，點更為聚集的改進誤差模型具有更好的標定結(jié)果。

圖2 驗證原誤差模型標定的效果

圖3 驗證改進誤差模型標定的效果

本文實驗基于ABB IRB120工業(yè)機器人，分別用原來的誤差模型和改進的誤差模型進行了相應的零位標定實驗內(nèi)容。在機械臂運動范圍內(nèi)的任意一個位置實現(xiàn)點約束，在每個位置進行7次定位并采集關(guān)節(jié)角數(shù)據(jù)，從而計算得到標定結(jié)果。選擇5個不同的位置點重復進行實驗，將5個位置點得到的標定結(jié)果求取平均值，具體結(jié)果如表1所示。

表1 原來的和改進的誤差模型零位標定結(jié)果對比

為了驗證兩個誤差模型在基于點約束的零位標定實驗中哪個效果會更好，本文在機械臂工作空間內(nèi)任意選擇10處不同的位置分別實現(xiàn)點約束，將表1中兩種不同誤差模型得到的參數(shù)誤差進行補償，計算每個位置點所有直線兩兩交點或公垂線點的平均值點，然后求取每個位置點的平均值點和兩直線交點或公垂線點的距離誤差，將10個位置點所有的距離誤差進行累加求取平均值，即為平均距離誤差，并求取相應的誤差方差值，平均距離誤差值越小則說明標定效果越好。將原來的誤差模型和改進的誤差模型得到的平均距離誤差值進行對比，對比結(jié)果如表2所示。

表2 原來的和改進的誤差模型零位標定精度對比（mm）

從表2可以看出，相比較于未使用標定，改進前后的誤差模型都能取得精度上的提升，但改進誤差模型的標定效果比原來誤差模型要更好，從而在絕對定位精度方面會有更大的提高。

5 結(jié)語

本文主要研究機器人柔性關(guān)節(jié)的建模，以及在關(guān)節(jié)柔性影響下的零位標定。分析了柔性關(guān)節(jié)的變形規(guī)律，建立了柔性關(guān)節(jié)的誤差模型，并分別在末端負載和機械臂自重的影響下構(gòu)建了相關(guān)具體模型。結(jié)合對柔性關(guān)節(jié)的研究，改進了原有的零位標定誤差模型。在關(guān)節(jié)柔性誤差、靜態(tài)幾何誤差和隨機誤差的綜合影響下，分別用原來誤差模型和改進誤差模型進行了零位標定的仿真實驗，并基于工業(yè)機器人IRB120進行了實驗驗證。實驗結(jié)果表明，不管在仿真情況下，還是在具體實驗中，考慮了關(guān)節(jié)柔性的誤差模型都能取得更好的標定效果，具有更好的誤差模型完整性。下一步將研究該柔性關(guān)節(jié)模型是否對運動學參數(shù)標定的效果也具有一定的提升作用。

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