陳與瞳

蘇格拉底有一句名言：

“我只知道一件事，那就是什么都不知道?！边@句話特別耐人尋昧。如果蘇格拉底什么都不知道，那么他“知道的這件事”本身就不成立;而如果蘇格拉底只知道一件事，那么又和他后面所說的“什么都不知道”自相矛盾。這引出了數(shù)學上一個特別有意思的概念，叫“悖論”。

悖論是指表面上同一命題或推理中隱含著兩個對立的結論，而這兩個結論都能自圓其說。簡單來說就是：如果事件A發(fā)生，則推導出非A，非A發(fā)生則推導出A。

舉個例子，鱷魚困境悖論里，一條鱷魚偷了一個父親的兒子，它保證如果這個父親能猜出它要做什么，就會將兒子還給父親。如果這個父親猜“鱷魚不會將兒子還給他”，就會成為所謂的“悖論”：如果鱷魚不還兒子，那么父親就猜對了，鱷魚就必須把孩子還給父親，否則鱷魚違背了諾言;而如果鱷魚將兒子還給他，那么父親就猜錯了，鱷魚又違背了諾言。邏輯自相矛盾，這就是障論。

換一個角度，如果父親猜“鱷魚會把兒子還給他”，這就構不成悖論。因為如果鱷魚還兒子，父親就猜對了，兒子也會回到父親身邊。而如果鱷魚不還兒子，父親還是猜兒子會還給他，父親就猜錯了，鱷魚正好不會把兒子還回來。這個假設下，沒有邏輯結構的不對稱，結局順利成章，這不是悖論。

歷史上，許多數(shù)學家都唯恐陷入障論而退避三舍。

集合論中曾出現(xiàn)過—些自相矛盾的現(xiàn)象，尤其是羅素的理發(fā)師障論，以極為簡明的形式震撼了數(shù)學的基礎，這就是“第三次數(shù)學危機”。

1903年，一則震驚數(shù)學界的消息傳出：集合論有漏洞！這就是英國數(shù)學家羅素提出的著名理論——“羅素悖論”?！傲_素障論”使集合論產(chǎn)生危機，由于“羅素障論”的假設與理發(fā)師相關，因此又稱其為“理發(fā)師悖論”：在某個城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞：“本人的理發(fā)技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱忱歡迎！”此話一出，來找他刮臉的人便絡繹不絕，而來的這些自然都是不給自己刮臉的人?？墒?，有一天，這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉;而如果他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。

古希臘數(shù)學家芝諾，也曾經(jīng)提出過一些著名的f孛論，對以后的數(shù)學、物理概念產(chǎn)生了重要影響，阿基里斯悖論是其中的一個。

阿基里斯是希臘神話中善跑的英雄。芝諾說：阿基里斯在賽跑中不可能追上起步稍微領先于他的烏龜，因為當他要到達烏龜出發(fā)的那一點，烏龜又向前爬動了。阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x可以無限地縮小，但永遠追不上烏龜。

一位科學家曾經(jīng)用物理語言描述過這個問題：在阿基里斯悖論中使用了兩種不同的時間度量。一般度量方法是：假設阿基里斯與烏龜在開始時的距離為s，速度分別為v1和v2。當時間T=S/（V1-V2）時，阿基里斯就趕上了烏龜。

但芝諾的測量方法不同：阿基里斯將逐次到達烏龜在前一次的出發(fā)點，這個時間為T1。對于任何T1，可能無限縮短，但阿基里斯永遠在烏龜?shù)暮竺妗ｊP鍵是這個T1無法度量T=S/（V1-V2）以后的時間。

同樣在生活中，老師們總喜歡說，這次考試都得考好了，不問大家過程怎么學，只求拿到一個好分數(shù)的結果。其實這就是個典型悖論：如果過程學好了，成績自然不會太差。而考試成績好，必然要求你日積歸累地勤奮學習。說什么不求過程，只求結果的話，大概是“超神”一般的操作吧。畢竟正常人，并不能違反自然理論而存在啊！