金　杰， 張瑞峰

(天津大學 1. 電氣自動化與信息工程學院， 2. 微電子學院, 天津 300072)

0　引言

在“電磁場與電磁波”課程中，矢量拉普拉斯算符是一個不可回避的問題。其比較有代表性的出現(xiàn)計有三處，一是在關于矢量磁位泊松方程的推導中，二是在關于動態(tài)矢量位的達朗貝爾方程(又稱非齊次波動方程)的推導過程中，三是在均勻無耗媒質無源區(qū)中關于電場強度和磁場強度波動方程的推導過程中[1,2]。在直角坐標系下，矢量拉普拉斯可以方便地轉換成標量拉普拉斯，這一點非常關鍵，它為求解場的基本方程開辟了一個非常廣闊的新方向：因為轉化成了二階偏微分方程的求解問題，存在大量的成熟計算方法以及商用軟件可資利用，如分離變量法、有限差分法和有限元方法以及Ansys、CST和COMSOL Multiphysics等軟件，可以說極大提高了人們的對于電磁場及波問題的求解能力。

1　基本矢量拉普拉斯算符推導

(1)

展開可以得到：

(2)

(3)

對于另外兩個分量也如是操作，有

(4)

最終的結論是：

(5)

也可簡述為矢拉等于梯散減雙旋。

▽2Ax=-μ0Jx

▽2Ay=-μ0Jy

▽2Az=-μ0Jz

(6)

雖然式(5)是在直角坐標系推導得出的結論，但是完全可以應用到圓柱坐標和球坐標系。

2　圓柱坐標和球坐標系的推導

應用上文的式(5)，即可推導出圓柱坐標系中的矢量拉普拉斯算符：

(7)

以及球坐標系中的矢量拉普拉斯算符

(8)

3　結語

本文總結歸納了矢量拉普拉斯算符在“電磁場和電磁波”課程中的應用之處及其重要意義。從直角坐標系出發(fā)，推導了具有普適意義的矢量拉普拉斯算符表達式，即矢拉等于梯散減雙旋。以此為基礎，又推導了圓柱坐標和球坐標下的矢量拉普拉算符的表達式。希望本文能對同行有些啟發(fā)作用。

參考文獻:

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