宜亞麗　豆林瑞　郭　輝　金賀榮

燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，秦皇島，066004

0　引言

雙相外激波擺桿活齒傳動(dòng)的激波凸輪為幾何軸對(duì)稱形式，易實(shí)現(xiàn)活齒嚙合副的整體靜動(dòng)態(tài)受力自平衡，工程應(yīng)用前景良好?；铨X傳動(dòng)裝置的構(gòu)件組成、工作狀態(tài)與載荷變化決定了其本質(zhì)上是一個(gè)多因素耦合作用的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)性能的研究一直是學(xué)者們關(guān)注的熱點(diǎn)。

李懷勇等[1-2]對(duì)滾柱活齒傳動(dòng)嚙合力與自由振動(dòng)進(jìn)行了研究。安子軍等[3-4]對(duì)擺線鋼球傳動(dòng)的扭轉(zhuǎn)剛度與系統(tǒng)自由振動(dòng)進(jìn)行了研究。周思柱等[5]分析了圓柱正弦活齒傳動(dòng)的嚙合作用力和扭轉(zhuǎn)剛度，并建立了系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型。李沖等[6]建立了機(jī)電集成壓電諧波傳動(dòng)系統(tǒng)活齒傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型，并推導(dǎo)了其動(dòng)力學(xué)微分方程。上述研究多為求解結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)模態(tài)，而轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)理論研究的重點(diǎn)是隨轉(zhuǎn)速變化的轉(zhuǎn)子振動(dòng)特性。隨著傳動(dòng)機(jī)構(gòu)向高轉(zhuǎn)速化方向發(fā)展，轉(zhuǎn)速對(duì)傳動(dòng)裝置振動(dòng)特性的影響越來越大，因此應(yīng)用轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)理論對(duì)活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)態(tài)特性研究，以合理確定結(jié)構(gòu)參數(shù)，減小振動(dòng)，提高傳動(dòng)性能。雙相外激波擺桿活齒傳動(dòng)變速機(jī)構(gòu)可視作雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)[7]，激波凸輪與中心輪通過離散的活齒聯(lián)動(dòng)，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性受離散活齒的耦合效應(yīng)的影響，因此對(duì)聯(lián)動(dòng)處耦合剛度的研究是對(duì)活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)精確建模的基礎(chǔ)。

本文以雙相外激波擺桿活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，綜合Palmgren形變關(guān)系公式以及變形協(xié)調(diào)條件，推導(dǎo)了隨激波凸輪轉(zhuǎn)角變化的時(shí)變耦合剛度計(jì)算公式，并進(jìn)行了算例求解，分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)傳動(dòng)耦合剛度的影響。

1　雙相外激波擺桿活齒傳動(dòng)耦合剛度

雙相外激波擺桿活齒傳動(dòng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，外激波凸輪與輸入軸相連，中心輪與輸出軸相連，活齒架固定，擺桿一端通過銷軸鉸接于活齒架。當(dāng)外激波凸輪以轉(zhuǎn)速ωH逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，凸輪徑向尺寸發(fā)生變化，迫使活齒隨擺桿擺動(dòng)，活齒壓迫中心輪，使中心輪以轉(zhuǎn)速ωK轉(zhuǎn)動(dòng)，完成減速傳動(dòng)。相鄰活齒嚙合副存在等間隔相位差，傳動(dòng)過程中交替往復(fù)運(yùn)動(dòng)，從而保證了活齒傳動(dòng)的連續(xù)性。

1.外激波凸輪　2.擺桿　3.活齒　4.中心輪　5.銷軸圖1　外激波擺桿活齒傳動(dòng)結(jié)構(gòu)Fig.1　Structure of outer generator swinging rod movable teeth transmission

此時(shí)，機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)比為

iHK=ωH/ωK=ZK/(ZK-Zg)

(1)

式中，ZK為中心輪齒數(shù)；Zg為活齒齒數(shù)。

由于活齒架固定，因此激波凸輪與中心輪可分別視作高速、低速轉(zhuǎn)子，高轉(zhuǎn)速下，二者受偏轉(zhuǎn)力矩以及陀螺效應(yīng)的影響，在軸截面內(nèi)渦動(dòng)，所以二者之間起傳動(dòng)作用的活齒-活齒架系統(tǒng)可視作中介軸承，使二者振動(dòng)產(chǎn)生耦合效應(yīng)。已有研究表明，中介軸承的時(shí)變剛度直接影響了雙轉(zhuǎn)子的橫向耦合振動(dòng)[8-9]，是系統(tǒng)非線性振動(dòng)的根源[10]。定義活齒傳動(dòng)耦合剛度為中心輪相對(duì)激波凸輪在徑向上產(chǎn)生單位位移時(shí)所要施加的力，其計(jì)算時(shí)需要依托參數(shù)化的齒形方程?；铨X傳動(dòng)耦合剛度既是評(píng)價(jià)活齒齒形傳動(dòng)性能的指標(biāo)，又是活齒傳動(dòng)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程精確建模的基礎(chǔ)。

2　雙相外激波擺桿活齒傳動(dòng)齒形構(gòu)建

2.1　雙相外激波凸輪齒形設(shè)計(jì)

建立圖2所示坐標(biāo)系，R為激波凸輪的基圓半徑，h為行程，φ為推程運(yùn)動(dòng)角，φ為矢量P(φ)相對(duì)激波凸輪的轉(zhuǎn)角，徑向尺寸增量s(φ)選用三階導(dǎo)數(shù)連續(xù)、運(yùn)動(dòng)過程中無剛性、柔性沖擊的擺線類函數(shù)：

圖2　外激波凸輪設(shè)計(jì)原理圖Fig.2　Design of outer generator cam

回程BC與推程AB關(guān)于y軸對(duì)稱，則構(gòu)建了一個(gè)轉(zhuǎn)角范圍為0～2φ的完整激波齒形ABC，CDA與ABC關(guān)于x軸對(duì)稱，構(gòu)成雙相激波凸輪齒形，用復(fù)數(shù)矢量法表示為

P(φ)=(R+s(φ))ejφ

(2)

雙相外激波凸輪在幾何形狀上是一個(gè)雙波幅180°布置的環(huán)形凸輪，兩個(gè)波幅對(duì)稱，質(zhì)心位于回轉(zhuǎn)中心，它消除了單相激波偏心引起的離心慣性力，實(shí)現(xiàn)激波凸輪自平衡，適用于輸入高轉(zhuǎn)速。

2.2　中心輪齒形生成

如圖3所示，建立與活齒架固連的坐標(biāo)系oxy，ox1y1與外激波凸輪固連，ox2y2與中心輪固連，3個(gè)坐標(biāo)系的起始位置重合，活齒中心位于激波凸輪曲線向徑最低點(diǎn)A。圖3中，C點(diǎn)為擺桿與活齒架的鉸接點(diǎn)，α0為初始位置P(φ)與oC夾角，α為任意位置P(φ)與oC夾角，δ=α-α0，φK為矢量P(φ)相對(duì)中心輪的轉(zhuǎn)角，c為C點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)o的距離，l為擺桿長(zhǎng)度。當(dāng)ox1y1轉(zhuǎn)過一個(gè)角度θ(θ=φ-δ)時(shí)，ox2y2轉(zhuǎn)過的角度θi=θ/i。在激波凸輪曲線齒形約束下，轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，擺桿以C點(diǎn)為中心順時(shí)針擺動(dòng)，矢量P(φ)從初始位置A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，曲線AB即為中心輪的理論齒形，再以活齒半徑等距包絡(luò)可形成中心輪的實(shí)際齒形。

圖3　中心輪齒形生成原理圖Fig.3　Generating of center wheel tooth profile

各角度變量之間的關(guān)系為

φK=[φ+(1-iHK)α0+(iHK-1)α]/iHK

式中，p(φ)為矢量P(φ)的模。

則中心輪理論齒形可表示為

PK=(R+s(φ))exp(jφi)

(3)

2.3　傳動(dòng)壓力角推導(dǎo)

設(shè)活齒對(duì)中心輪的壓力角為αPKi，激波凸輪對(duì)活齒的壓力角為αPHi，如圖4所示。

圖4　壓力角解析圖Fig.4　The illustration of pressure angle

中心輪理論齒形的切線方向矢量為

中心輪實(shí)際齒形為理論齒形的等距線，設(shè)r為活齒半徑，則等距向量為

VK=rdPKiejπ/2

因此中心輪實(shí)際齒形的矢量方程為

分別用QKi、TKi表示接觸點(diǎn)處壓力方向與速度方向向量，則有

QKi=dPKiejπ/2

兩方向矢量的夾角即為壓力角，即

與活齒對(duì)中心輪的壓力角推導(dǎo)原理相同，激波凸輪對(duì)中心輪的壓力角為

3　系統(tǒng)徑向力計(jì)算

(4)

式中，i為圖5中各位置處活齒對(duì)應(yīng)編號(hào)。

圖5　系統(tǒng)徑向受力分析模型Fig.5　Model of system contact force analysis

3.1　活齒靜力平衡方程

擺桿活齒嚙合傳動(dòng)具有周期性，各個(gè)并聯(lián)嚙合副從嚙合開始到結(jié)束的工作過程完全相同，相鄰兩個(gè)嚙合副僅相差一個(gè)相位。離散齒受力與形變情況與所處嚙合相位對(duì)應(yīng)，不同活齒在每個(gè)嚙合周期運(yùn)動(dòng)循環(huán)中的受力情況相同，不失一般性。任選第i個(gè)活齒作為研究對(duì)象，通過對(duì)該活齒在整個(gè)嚙合周期內(nèi)的受力分析可表征在任意嚙合狀態(tài)下全部活齒的受力狀況。

圖6　活齒受力分析模型Fig.6　Model of movable teeth contact force analysis

各角度的關(guān)系為

式中，當(dāng)活齒接觸點(diǎn)位于激波凸輪推程區(qū)間時(shí)式中“±”取“-”，位于回程區(qū)間時(shí)式中“±”取“+”。

在圖6中，由活齒靜力平衡得

(5)

3.2　系統(tǒng)變形協(xié)調(diào)條件

在滿足計(jì)算精度的條件下，采用Palmgren經(jīng)驗(yàn)公式[11]進(jìn)行線接觸彈性趨近量的計(jì)算，滾動(dòng)軸承計(jì)算中常用的Palmgren經(jīng)驗(yàn)公式為

對(duì)于軸承鋼，材料泊松比υ1=υ2=0.3，彈性模量E1=E2=206 GPa，線接觸寬度b取樣機(jī)用活齒寬度10 mm，得到活齒接觸對(duì)中所受法向力FKi與彈性變形量ΔYi的關(guān)系：

(6)

活齒i的法向力FKi、FHi分別產(chǎn)生的彈性變形ΔKi、ΔHi滿足系統(tǒng)變形協(xié)調(diào)方程：

(7)

3.3　徑向力計(jì)算

聯(lián)立式(5)～式(7)得活齒i對(duì)中心輪的法向力：

(8)

i=1,2,…,Zg/2

系統(tǒng)為多齒嚙合接觸，以圖5中所示位置為計(jì)算的初始位置，中心輪下移，活齒2、3擠壓受力?；铨X1、4處于邊界狀態(tài)，隨著中心輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，中心輪與活齒1的接觸點(diǎn)處于中心輪齒廓的齒根到齒頂推程區(qū)間，活齒1受力，而活齒4的接觸點(diǎn)處于回程區(qū)間，因而不受力，活齒5、6與中心輪分離，也不產(chǎn)生接觸力，即整個(gè)系統(tǒng)始終有半數(shù)活齒受力。多齒法向力在Y向投影得到系統(tǒng)徑向力受力平衡方程為

(9)

將式(8)代入式(9)可得系統(tǒng)整體徑向力：

(10)

4　系統(tǒng)耦合剛度的計(jì)算

不同于圓柱滾子軸承支撐剛度的各向同性，活齒傳動(dòng)受齒形影響，其耦合剛度需在X、Y兩垂直方向上進(jìn)行數(shù)值標(biāo)定。

根據(jù)剛度定義，系統(tǒng)Y向剛度KY為

(11)

定義Y向剛度系數(shù)為

(12)

按相同計(jì)算流程可得X向剛度系數(shù)

(13)

5　結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)剛度系數(shù)影響分析

根據(jù)某輸送機(jī)械用減速器設(shè)計(jì)要求，雙相外激波擺桿活齒傳動(dòng)結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，以此作為基本數(shù)據(jù)，討論單變量對(duì)剛度系數(shù)的影響。

表1　活齒傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1　Structural parameters of movable teeth driving system

選取結(jié)構(gòu)參數(shù)中對(duì)齒形影響較大的行程h、擺桿長(zhǎng)度l以及活齒數(shù)目Zg，針對(duì)這些參數(shù)對(duì)剛度系數(shù)的影響進(jìn)行了分析。由圖7可知，隨著推程h的變大，剛度系數(shù)CKX與CKY均呈現(xiàn)最小值變小，極大值變大的變化規(guī)律，當(dāng)h增大28%時(shí)，二者波動(dòng)幅值分別增大了30%與53%，二者均值增大分別為3.3%與3.4%，可見h對(duì)剛度系數(shù)的波動(dòng)幅值影響較大，而對(duì)剛度系數(shù)均值的大小影響并不明顯。

(a)X向剛度系數(shù)CKX

(b)Y向剛度系數(shù)CKY圖7　行程h對(duì)剛度系數(shù)的影響Fig.7　Influence of h on stiffness coefficient

由圖8可知，隨著擺桿長(zhǎng)l的變大，CKX與CKY均變大，當(dāng)l增大50%時(shí)，二者波動(dòng)幅值分別增大3.6%與2.8%，二者均值分別增大1.5%與1.7%，可見l對(duì)剛度系數(shù)的波動(dòng)程度與均值的影響都不明顯。

(a)X向剛度系數(shù)CKX

(b)Y向剛度系數(shù)CKY圖8　擺桿長(zhǎng)l對(duì)剛度系數(shù)影響Fig.8　Influence of l on stiffness coefficient

(a)X向剛度系數(shù)CKX

(b)Y向剛度系數(shù)CKY圖9　活齒數(shù)Zg對(duì)剛度系數(shù)的影響Fig.9　Influence of Zg on stiffness coefficient

由圖9可知，隨著活齒數(shù)目Zg的變大，剛度系數(shù)CKX與CKY均呈現(xiàn)“整體平移”式增大，當(dāng)活齒數(shù)目由6增加到10時(shí)，二者均值分別提高了30.3%與33.3%，曲線波動(dòng)方差分別降低了62.7%與60%，可見增大活齒數(shù)目可以增大剛度系數(shù)的均值，提高剛度系數(shù)的波動(dòng)穩(wěn)定性。

由于雙相激波傳動(dòng)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，剛度系數(shù)CKX、CKY的變化曲線在推程段和回程段是對(duì)稱的。在激波凸輪推程階段，剛度系數(shù)曲線先升后降，且整個(gè)周期中的幅值波動(dòng)明顯，這是活齒傳動(dòng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性振動(dòng)的重要原因。

6　結(jié)論

(1)以外激波擺桿活齒傳動(dòng)為研究對(duì)象，運(yùn)用復(fù)數(shù)矢量法構(gòu)建了激波凸輪齒形，基于轉(zhuǎn)速變換原理推導(dǎo)了中心輪的理論和實(shí)際齒形，實(shí)現(xiàn)了外激波擺桿活齒傳動(dòng)齒形參數(shù)化設(shè)計(jì)。

(2)根據(jù)擺桿活齒傳動(dòng)特點(diǎn)提出了耦合剛度的概念及計(jì)算方法，實(shí)例計(jì)算表明：剛度系數(shù)變化明顯，是擺桿活齒傳動(dòng)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性振動(dòng)的重要原因，提出的耦合剛度概念也可應(yīng)用于其他類型活齒傳動(dòng)。

(3)主要結(jié)構(gòu)參數(shù)中行程h對(duì)剛度系數(shù)穩(wěn)定性的影響較大，而擺桿長(zhǎng)l對(duì)剛度系數(shù)影響不明顯，增大活齒數(shù)目Zg可明顯提高剛度系數(shù)的均值，提高剛度系數(shù)的穩(wěn)定性。

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(編輯張洋)