胡 海,郝大磊,楊傳勇,胡 鵬

1. 武漢大學資源與環(huán)境科學學院, 湖北 武漢 430079; 2. 中國科學院遙感與數(shù)字地球研究所遙感科學國家重點實驗室，北京 100101; 3. 中國科學院大學，北京 100049; 4. 佛山市城市規(guī)劃勘測設計研究院，廣東 佛山 528000

矢、柵空間數(shù)據(jù)理論和方法是地理信息系統(tǒng)(GIS)中兩種重要理論和方法[1-2]，它們各有特點，優(yōu)勢互補。相對而言，矢量定義在連續(xù)的實數(shù)域，對于相當多問題，對于點的計算，可通過矢量計算得到精確解。然而對于復雜的地理信息系統(tǒng)諸多問題，尤其是空間組合優(yōu)化問題，對于點及集合的計算，或對于網格的計算，無限精確的實數(shù)解的獲取往往是極困難的，并且在大多數(shù)情況下也是不必要的。實際中通常采用一定精度的近似解來解決，而其本質就是柵格方法，采用離散的、近似的解來解決各種實際問題，可能更為廣義[3-4]。很明顯，二維情況下，當柵格尺寸趨于0×0，解的正確性和準確性沒有任何問題，但關鍵問題是柵格最大尺寸dx×dy多大才能確保計算的精確性，同時又能保證計算的最高效率。而在較大的空間范圍內，柵格方法能否保證解決問題所必要的空間精確度也需要證明。其中最可能的解決途徑是多重網格計算。傳統(tǒng)的多重網格法是一種“近乎最優(yōu)”的特殊迭代途徑，是一種通用的非常有效的特殊類型的迭代法[5-9]，成為數(shù)值計算領域一種加速迭代收斂的技術，已被廣泛應用于微分方程求解[10]、曲面建模[11]、三維數(shù)值模擬[12-13]、流體力學[14-15]等方面。本文提出的雙重網格計算方法有別于廣泛應用于微分方程和積分方程數(shù)值求解中的多重網格法，它主要針對大區(qū)域高分辨率空間距離變換的快速運算。

目前，地理空間大型度量分析問題真正采用柵格方法的尚不多，并且GIS領域至今尚未見到多重網格方法的具體應用。本文主要討論歐氏空間和地球信息度量空間下的距離變換的雙重網格方法。首先討論其基礎度量，即歐氏和地球信息度量下的計算公式、微分公式及誤差，作為雙重網格計算的原理，然后再討論分層計算的組織以及實施方案。

本文中的多重網格方法主要針對正方形剖分的柵格(設dx=dy)，全空間等剖分為N1×N2粗網格，在粗網格中剖分成N3×N3個細柵格，并且粗柵格中心距離計算足夠嚴密準確(這也是地圖代數(shù)理論和實踐所嚴密保證了的)。

1 主要距離變換公式及簡化計算原理

1.1 歐氏距離的計算公式、微分公式及誤差

水平面上a、b兩點間歐氏距離公式為

(1)

顧及二元泰勒展開公式[16]

(2)

設起點a不變，僅終點b有微小增量Δxa、Δyb，可視重要粗柵格內需重新計算各重要細部細柵格為b點的微小增量，在式(2)中取n=1，有全微分公式進行各細柵格計算

(3)

其誤差余項R2為

(4)

1/16 m=0.062 5 m

(5)

以上是假設a點不變，僅b點微小變化的微分公式。倘若a點變動，公式類同，僅僅Δxa、Δyb符號方向取反。綜合兩者，式(3)則變?yōu)?/p>

(Δyb-Δya)(yb-ya)/

(6)

故若顧及實際中不僅b點會有微小位移，a點也會有微小位移，這時式(2)的R2會放大為式(5)的2倍，即用微分簡化計算其下細柵格，其距離計算精度不低于0.125 m。同理當[(xb-xa)2+(yb-ya)2]1/2≥8000 km，|Δxa|、|Δxb|、|Δya|、|Δyb|均≤0.5 km，則R20.062 5 m。即在第1層1 km×1 km粗柵格下剖分成1000×1000第2層細柵格，計算相對約8000 km的距離變換，則細柵格距離計算具有不低于0.062 5 m的精度。

1.2 大地線度量的第一類微分公式的反算公式及誤差

大地線度量的第一類微分公式指的是由于大地起始數(shù)據(jù)的微小變化(起、終點的大地坐標dBa、dLa、dBa、dLa變化，起始邊的大地坐標、方位角及長度的變化)而引起的大地坐標和方位角的改正值的計算公式[17-18]。所謂反算公式，是指端點變化對大地線長度s和方位角A影響的計算式。由于雙重網格計算往往涉及兩端點都發(fā)生變化的情況，有關微分公式如下[19]

(7)

式中，M、N、m為子午圈、卯酉圈半徑及大地線s的歸化長度，下標a、b分別代表起、終端點，dm/ds由式(8)嚴密計算給出

i=a,b

(8)

微分公式(7)是由大地主題計算嚴密公式推出，用于較高精度的大地計算。但上述微分公式(7)的嚴密誤差尚不能事先精確控制實施，只能大致估計后，在實踐中驗后給出。

上述1.1、1.2論述表明：在歐氏及地球橢球面度量中，在適當?shù)男》秶鷥然虼謻鸥駜龋级它c柵格內的微小變化引起距離和方向的變化主要是線性的，可以通過始終端點粗柵格內的局部簡化計算完成。因此，通過大區(qū)域內的各粗柵格中心間的規(guī)范精密計算，結合適當?shù)男》秶鷥?粗柵格內)細柵格中心間微分計算，可實現(xiàn)目標區(qū)域距離的準確計算。這種雙重網格計算方法，計算對象分割嚴密，組合對象完整覆蓋全區(qū)分辨率單元。

1.3 歐氏度量下計算實例

1.3.1 具體算例

平面上有遠距a、b兩點，a點xa=1 564 000，ya=26 000，b點xb=7 989 000，yb=6 218 000，則dab=8 923 087.414。令a點固定，b點微動，范圍±500 m，這時，b點在2級柵格(1001×1001)陣4個角點，距離dab直接計算和用微分計算分別如下：

(1) 當xb=7 988 500，yb=6 217 500；即Δxb=-500，Δyb=-500；dab=8 922 380.428,

采用雙重網格計算，dab=8 923 087.414-360.021-346.965=8 922 380.428；Δ=0.000。

(2) 當xb=7 989 500，yb=6 217 500；即Δxb=500，Δyb=-500；dab=8 923 100.498，

采用雙重網格計算，dab=8 923 087.414+360.021-346.965=8 923 100.470；Δ=-0.028。

(3) 當xb=7 989 500，yb=6 218 500；即Δxb=500，Δyb=500；dab=8 923 794.400,

采用雙重網格計算，dab=8 923 087.414+360.021+346.965=8 923 794.400；Δ=0.000。

(4) 當xb=7 988 500，yb=6 218 500；即Δxb=-500，Δyb=500；dab=8 923 074.386,

采用雙重網格計算，dab=8 923 087.414-360.021+346.965=8 923 074.358；Δ=-0.028。

1.3.2 分析與討論

由1.3.1中算例可見，在16 000 km范圍內，為獲得相對最遠6000～8000 km處的比例線或中間線達1 m的距離變換精度，不必要實施16 000 000×16 000 000柵格陣的距離變換，而僅需實施16 000×16 000的柵格陣的距離變換；微分計算距離波前沿(或所需目標區(qū)域)的微小(米級)柵格距離。上述情況下，在1000 m大小的初始柵格計算下，僅采用一階微分公式，僅2點在粗柵格中微動(±500 m)，雙重網格距離計算精度可不低于1/32 m(上例實際是0.028 m)。類同的道理，若a點也在粗柵格中微動，則雙重網格距離計算精度可不低于0.062 5 m。而若采用32 000×32 000柵格陣進行距離變換，則雙重網格距離計算可達4倍遠處，精度仍可不低于0.062 5 m。

類此，原則上也可采用具有多級精度的多階微分公式多重柵格系列。

1.4 大地線度量下的計算實例

1.4.1 兩點間大地線長計算算例

a點緯度Ba=20.0，經度La=120.0；2點緯度Bb=49.0，b點經度Lb=147.0。a到b點的大地線長度dab=4 017 429.518 844 56。粗柵格約用1′×1′。a點與b點定位在粗柵格中心。若b點緯度±0.5′或經度±0.5′位移，則大地線長dab精密計算與微分計算的相差均小于0.044 m。具體算例如下：

(1) 到粗柵格左上角：

精密距離=4 017 626.654 256 730 3

微分距離=

4 017 429.518 844 56+197.360 787 551 097

差值=0.225 375 379 901 379

(2) 到粗柵格右上角：

精密距離=4 018 510.011 246 322 2

微分距離=

4 017 429.518 844 56+1 080.449 002 431 3

差值=0.043 399 330 694 228 4

(3) 到粗柵格左下角：

精密距離=4 016 348.939 659 628 1

微分距離=

4 017 429.518 844 56-1 080.622 568 768 07

差值=0.043 383 837 211 877 1

(4) 到粗柵格右下角：

精密距離=4 017 232.834 246 171 6

微分距離=

4 017 429.518 844 56-196.459 160 007 337

差值=0.225 438 379 682 601

1.4.2 分析與討論

大地度量下雙重網格計算原理已由式(7)、式(8)予以闡明。實例驗證由上述算例可知，當?shù)厍蛏暇嚯x長達4000 km以上時，端點b在±0.5′內微動時，可由微分公式簡易重算更動后的距離，精度可達0.25 m；顧及端點a具有同樣大小的微動時，更動后的距離精度或許不超0.5 m，一般可達1 m精度。當然，以驗后計算為準。鑒此，也可采用線性遞縮微動區(qū)間(即依次按粗柵格的0.5間距縮小)的法則，以實現(xiàn)所需精度。若a、b兩點是相距4000 km以上的±0.5′粗柵格的中心，且a中有一條精細柵格的線，這時由點b對該線上各精細柵格連線段，并取最短線段，可認為它是b到該線精細距離，以點b為中心的粗柵格中各精細柵格就可通過各自與點b的坐標差(一個粗柵格內)與點b到該線距離，得到(b中精細柵格)各自到該線精細距離。若將a、b對調，結論也同樣正確。

2 雙重網格距離變換實施

雙重網格方法一般分基礎(粗)柵格及在基礎柵格中嵌套細柵格來實行。上述歐氏空間距離變換方法比較明確，故下面主要討論地球空間的距離變換。實施第一步時一般把對象區(qū)域劃為M1×N2個基礎柵格，先進行粗柵格運算，與通常有序傳播的地圖代數(shù)外距(離)變換[20]完全一樣。假設距離變換是對各大洲陸地外緣的低潮線作為起算基線，使洋中任一柵格都標記了距最近大陸外緣線的距離(即距該點最近大陸柵格點)[20-21]，然后第二步再進行相應有關粗柵格下細柵格的精細計算。例如圖1所示10 800×5400粗柵格陣表示的太平洋等距圓柱投影圖中(南緯45°—北緯45°，東經120°—西經60°)，假定該圖形足夠正確，在此基礎上求太平洋的“洋心”(“洋心”指離陸地外緣線最遠處)或澳洲、南美洲、北美洲相互中間線。

2.1 第一次(粗)柵格距離變換

第一次進行距離變換時，采用長距離大地主題反算公式——白塞爾公式[19]計算第一次柵格劃分時粗柵格中心的離陸距離，得到全球各陸地外緣線距離波的前沿，得到最大海洋“太平洋”中離陸地最遠的地方——“洋心”，這時對于澳洲O、北美N、南美S陸地而言，其變換結果如圖1、2所示，“洋心”柵格離陸地5 147 641 m(小數(shù)點后數(shù)據(jù)略去)。

圖1 太平洋洋心和鄰近大洲的外距變換及Voronoi圖Fig.1 The center of the Pacific Ocean and distance transform of nearby continents and Voronoi diagram

2.2 第二次(細)柵格距離精細計算

把分辨率擴大，每一基礎柵格劃為M3×N3個細柵格，比如圖3中，N3=2000，相當于1 m×1 m或相當于0.03″×0.03″大小的柵格。這時陸地相當于1∶1萬比例尺柵格化地形圖，且陸地外沿的陸地外緣線精確地通過該圖幅。顯然，距“洋心”最近的精細柵格與粗柵格所屬是不同的。采用以下計算過程進行所需要粗柵格內的精細運算：

圖3 “洋心”柵格及其相鄰柵格與V線的距離關系Fig.3 The center grid of the Pacific Ocean and the distance relationship between its adjacent grids and V line

(6) 類同(3)、(4)、(5)，分別計算N1及S1各細柵格的距離。

(7) 上述(5)、(6)計算結果，即是“洋心”及鄰域的細柵格距離變換結果，其中距離最大距離值的細柵格，即是“洋心”所在。

圖4 若、、中心到O1、N1、S1中心精密距離已知，通過、、中任一細柵格對粗柵格中心位移，運用微分公式，近似計算得到O1、N1、S1中心到、、中最近精細陸地線(即精細陸地細柵格)距離Fig.4 Distance calculation from the centers of O1, N1, S1 to the land line in , , based on the differential equation

圖5 由O1、N1、S1中心到、、中精細陸地線距離，O1、N1、S1中任一細柵格可通過對粗柵格中心位移，運用微分公式，近似算得它到精細陸地線距離Fig.5 Fine-grid distance calculation from the ,, to the land line in , , based on the differential equation

2.3 雙重網格計算的復雜性討論

第二次(細)柵格距離精細計算中(5)、(6)，對于三方計算為3×N3×N3，但“洋心”O(jiān)1點只是1個或2個，N1、S1類同；對兩方計算則是2×N3×N3，但對雙邊界線，O1將達21/2×Max(N1,N2)個。N1、S1類同。

總括上述，本計算的時間復雜性為O(N3×N3×Max(N1,N2))，只有計算規(guī)模的一階復雜性，并且除(1)外，計算規(guī)模也不大，可實時完成并可視化。很明顯，空間復雜性也與之相匹配，也不再必須是O(N3×N3×N1×N2)的序貫運算，大大縮減了復雜性。

3 分析和討論

本擴展計算主要準確度依據(jù)是微分公式(2)—(8)，因而在第一次準確粗柵格變換基礎上，保證了第二次粗柵格內的微小位移的細柵格距離計算具有確定的準確性。在保證必要準確度和距離源屬情況下，最為準確的最短路徑及其上柵格的序貫銜接也就沒有太多考慮，或者可認為在這個精度下是正確的。地球空間計算由本文第二部分雙重網格距離變換實施一節(jié)可知，(1)后的0.06″×0.06″細柵格計算誤差約0.086 m，而(2)及(3)、(4)、(5)、(6)后的誤差均約為0.17 m，此方法可保證最重要部位細柵格計算準確性。由于粗、細柵格的尺寸可以根據(jù)區(qū)域大小和精度要求靈活設計，而目前微機一般均具有30 000×30 000柵格計算能力，還留有足夠余地，因而全球計算dm級(甚至更高)精度可以保證。

歐氏及地球空間兩種度量空間的地理計算中，雙重網格計算的精度決定于：①空間度量性質；②初始網格大小，也即微分區(qū)間大小，區(qū)間越小，精度越高。這就要求第一次網格盡可能高的均衡密度；③計算精度與基量大小有關(如同dO1O1′)，也即基量越大，同樣大位移產生的變化越小。

雙重網格計算原則上也適合于多重網格計算，也即第二層可適合于多種分辨率，并具有多重精度。這對多尺度空間信息產品具有相當大意義，其本質適合于多尺度觀察與運算。定義在多尺度空間上的度量信息可以這樣，其他信息在一定范圍內也可仿照。它甚至完全能夠摒棄人的主觀因素影響很大的圖形概括，而直接利用多尺度的實測、實用地形圖，使界限劃分更加客觀、公平，摒棄直接人為因素。

基于雙重(或多重)網格計算上的多尺度可視系統(tǒng)具有普遍意義：它將是一個大尺度全域可視的、各重要的、特征部分(點、線)可隨機雙尺度或各種多尺度顯示，并實時給出各種滿足m級、dm級以上精度的特征數(shù)據(jù)顯示系統(tǒng)(類同圖5)。這對重要界線繪制等一類信息系統(tǒng)甚至是必須的。本文采用的多尺度度量和多尺度窗口，有別于通常狀況下的單尺度多窗口，對于空間的多尺度效應是有較大意義的。

對整個雙重網格計算途徑進行算法復核及常規(guī)檢驗：按圖6實施了距離變換，其中左上角陸地代號為A，右上角陸地代號為B，下方陸地代號為C，其余區(qū)域均為海洋。粗柵格為100×100，每個柵格長寬均為100 m，每個粗柵格內分為100×100個小柵格，細柵格長寬均為1 m，具體陸地的柵格坐標設置如表1所示。這時，距A、B、C等距的外心可計算確定，粗、細柵格及兩重計算結果見圖7、表2。

圖6 平面區(qū)域陸地分布示圖Fig.6 Distribution map of A, B and C

圖7 計算結果Fig.7 Results of coarse

陸地粗柵格坐標系細柵格坐標系(左下角及右上角坐標)A(1,100)(1,9901)-(100,10000)B(100,81)(9900,8001)-(10000,8100) C(50,1)(4900,1)-(5000,100)

表2 粗、細柵格及兩重計算結果

上述距離變換中各方距離可視為等權距離，倘若引入加權距離概念，同樣可得到加權距離的“海心”、“陸心”，權比的V線(即比例線)等。

4 結 論

地球空間的運算，在數(shù)萬公里的幅員內實施是不可避免的，而當要求兩點間距離空間精度達到米級或更高時，矢量計算沒有問題的，但它對某些空間問題而言，比如自然圖形(點集形態(tài))間的中間線和比例線類型的組合優(yōu)化問題往往相當困難[22]，故很少見諸于文獻。由于自然圖形具有普遍性，而各種點集間距離恰恰與度量空間最短線程問題相連，也即往往是組合優(yōu)化問題，計算復雜性較高；采用面向空間的地圖代數(shù)(距離變換)柵格算法，理論上只需一階時間復雜性[21,23]，具有解決一些困難問題的能力[24-26]，但當空間本質上是幾百萬個柵格相乘的絕對計算量，或更大、更多維時，其空間、時間開銷仍是現(xiàn)今計算能力難以承擔，是地圖代數(shù)和所有柵格方法傳統(tǒng)短板。采用本雙重網格途徑，原理可靠，對象局部化，運算簡單(用微分式)，第一次柵格計算絕對計算量只數(shù)千或數(shù)萬柵格陣的計算是通常柵格軟件現(xiàn)代計算能力均能輕松承擔的；第二次柵格計算只需離散計算所需有關各粗柵格中的細柵格集，也即各方距離波最前方，距各方距離最大、數(shù)值大小相均衡的粗柵格中的細柵格，而不再必須進行全域的序貫運算，極大地降低了計算開銷，突破了大區(qū)域度量計算的傳統(tǒng)禁區(qū)，使高精度空間柵格方法能夠明確實施，并且可在指定的相關區(qū)域內實時實施，得到理論上精細柵格計算的同樣效果，具有重要意義。另外，本方法串接了柵格的多重運算與多分辨率幾何關系，對于多分辨率圖形圖像科學問題的演繹和分析也將有重要的輔助作用。

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