石寧玄

(華北電力大學數(shù)理學院，北京 102206)

Kawahara方程[1]是非線性色散方程的一種,其形式為

(1)

其中x,t∈R.當α=0,β=-1時,方程(1)即為五階KdV方程，其形式為

(2)

1 預備知識

先引入截斷函數(shù)[3]

顯然有

引理1[2]對于?u0∈Hs(R)，IVP的唯一解滿足：

(ⅰ)u∈C([-T,T]:Hs)；

(ⅲ)?xu∈L4([-T,T]:L∞).

2 主要結果及其證明

定理1如果u0∈H3/4+(R)，存在l∈Z+，l≥1且x0∈R，使得

(3)

同時方程(2)的解滿足引理1，那么：

(ⅰ)對于?v>0，ε>0，有

(4)

(ⅱ)對于?v≥0，ε>0，R>0，有

(5)

證明以(4)和(5)式中l(wèi)=1為例說明研究正則性推廣的方法.

當l=1時.先對方程(2)兩邊關于x求偏導，然后同時乘以?xuχ0,ε,b(x+vt)，最后對等式兩邊的x進行積分，可得

(6)

其中v∈R，v≥0.此后的證明中將省略χ0,ε,b中的固定值ε,b.在[0,T]上對時間進行積分后整理(6)式可得

(7)

分析(7)式的各個部分，并由引理1(ⅲ)，可得

c1(v;T;ε;b)≤c0(v;T;ε;b) .

(8)

(9)

(10)

(根據(jù)Sobolev嵌入[5])≤c0.

(11)

綜合(7)—(11)式，進行整理，可得

其中c0=c0(ε;b;v)>0，對于?ε>0，b≥5ε，v>0.

當l≥2時.假設u0滿足(3)式i.e.，

(12)

其中j,k=1,2,…,l,l≥2，對于?ε>0,b≥5ε,v>0.由(12)式可知，u0|(0,∞)∈Hl+3([0,∞)).同理，對?ε>0，b≥5ε，可得

(13)

因A3(t)比較復雜，故對其進行分步考慮.令l+1=3，可得：

為了方便接下來的證明，在suppχ0,ε,b?[ε,∞)上建立一個截斷函數(shù)，χ0,ε/5,ε(x)=1，則有

當l≥3時.分析(13)式，可得：

(14)

觀察(14)式可發(fā)現(xiàn)，對于3≤j≤l-1，

c0(將j,j+1代入(12)式即得).

定理1證畢.

解的衰減性質的證明與定理1的證明類似，也可參考文獻[4].文獻[4]中的定理1體現(xiàn)了三階KdV方程解的正則性與衰減性的延拓，而本研究結果體現(xiàn)了五階KdV方程解的正則性的延拓.

[1] KAWAHARA T.Oscillatory Solitary Waves in Dispersive Media[J].Journal of the Physical Society of Japan,1972,33(1):260-264.

[2] KENIG CARLOS E,PONCE GUSTAVO,VEGA LUIS.A Bilinear Estimate with Applications to the KdV Equation[J].Journal of the American Mathematical Society,1996,9(2):573-603.

[3] EVANS LAWRENCE C.Partial Differential Equations[M].2 Edition.Providence,Rhode Island:American Mathematical Society,1997:254-284;649-688.

[4] ISAZA PEDRO,LINARES FELIPE,PONCE GUSTAVO.On the Propagation of Regularity and Decay of Solutions to thek-Generalized Korteweg-de Vries Equation[J].Communications in Partial Differential Equations,2015,40(7):1 336-1 364.

[5] 張恭慶.泛函分析講義[M].北京:北京大學出版社,2008:22-27.