張洪 莊嚴(yán)

摘要：眾所周知，“有限無限問題”是數(shù)學(xué)的基本問題，也是哲學(xué)的基本問題。本文基于以下哲學(xué)觀點(diǎn)開展討論：反對(duì)唯心主義，接受辯證唯物主義，在這樣的大前提下討論“有限無限問題”。本文從哲學(xué)和數(shù)學(xué)角度全面回顧、剖析了黑格爾的辯證無限觀，同時(shí)介紹了恩格斯關(guān)于無限的論述，并對(duì)數(shù)學(xué)中的實(shí)無限、潛無限觀進(jìn)行了分析，指出實(shí)無限觀實(shí)際上是徹頭徹尾的唯心主義的無限觀。與此同時(shí)，作者對(duì)黑格爾的無限觀和數(shù)學(xué)中的兩種無限觀進(jìn)行了詳細(xì)的分析比較，在此基礎(chǔ)上作者提出了“辯證唯物主義無限觀”：摒棄潛無限、實(shí)無限觀中錯(cuò)誤的一面，積極吸取兩者正確的一面，即既要承認(rèn)無限的客觀存在性和可認(rèn)識(shí)性、又要承認(rèn)無限過程的不可完成性，這是解決數(shù)學(xué)實(shí)踐中諸多矛盾的唯一正確途徑。

關(guān)鍵詞：實(shí)無限；真無限；潛無限；惡無限；辯證唯物主義的無限觀

一、數(shù)學(xué)中“無限問題”的由來及爭論

（一）“無限問題”的由來

我們知道，在數(shù)學(xué)史上，人們一直對(duì)“無限”有著兩種截然相反的看法。一種是“潛無限”觀，一種是“實(shí)無限”觀。這兩種無限觀，把數(shù)學(xué)界分成兩大對(duì)立的陣營；任何一個(gè)數(shù)學(xué)家都概莫能外超越這個(gè)矛盾而存在，它要求任何一個(gè)數(shù)學(xué)家都必須對(duì)此問題作出一個(gè)明確的回答。因此，對(duì)此問題的回答，天然地成為衡量一個(gè)數(shù)學(xué)家屬于何種陣營的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。那么，什么是這兩種無限觀的對(duì)立呢？“潛無限”觀，是指我們不能夠結(jié)束一個(gè)“無限過程”而到達(dá)其某一終點(diǎn)或其全部。反之，“實(shí)無限”觀者卻認(rèn)為我們可以完成一個(gè)“無限過程”而到達(dá)它的終點(diǎn)或其“全部”。因此“潛無限”、“實(shí)無限”之矛盾，本質(zhì)在于能不能“完成、終結(jié)”一個(gè)“無限過程”。它們的矛盾和對(duì)立是不言而喻的。

對(duì)于這兩種無限觀的區(qū)別，在《數(shù)學(xué)與無窮觀的邏輯基礎(chǔ)》一書中，朱梧槚先生從數(shù)學(xué)、哲學(xué)上給出了詳細(xì)的分析。他在書中指出：“實(shí)無限”是由現(xiàn)在進(jìn)行式（going）轉(zhuǎn)化為完成式（gone），而“潛無限”是由現(xiàn)在進(jìn)行式（going）強(qiáng)化為永遠(yuǎn)是現(xiàn)在進(jìn)行式（going）；而無論是潛無限還是實(shí)無限，都是非有限進(jìn)程。他從數(shù)學(xué)、哲學(xué)兩個(gè)方面把兩者的差別描述如下（參見朱梧槚，2008年，第204-207頁）：

實(shí)無限：是一個(gè)完成式（gone），對(duì)于“無限進(jìn)程”肯定達(dá)到進(jìn)程終極處，對(duì)無限進(jìn)程的枚舉手續(xù)肯定能完成；

潛無限：是一個(gè)進(jìn)行式（going），對(duì)于“無限進(jìn)程”否定達(dá)到進(jìn)程終極處，對(duì)無限進(jìn)程的枚舉手續(xù)肯定不能完成。

（二）歷史上數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家對(duì)“實(shí)無限”觀的質(zhì)疑和樸素否定

歷史上亞里士多德（Aristotle）是第一個(gè)明確地只承認(rèn)潛無限而反對(duì)實(shí)無限的學(xué)者，而柏拉圖（Pla.to）則是第一個(gè)承認(rèn)實(shí)無限而反對(duì)潛無限的學(xué)者。毫無疑問，集合論創(chuàng)始人康托（cantor）是“實(shí)無限”的捍衛(wèi)者。亞里士多德這樣描述他對(duì)無限的認(rèn)識(shí)，“因?yàn)榉趾?過程永遠(yuǎn)不會(huì)告終（going）；這個(gè)事實(shí)保證了這種活動(dòng)存在的潛在性，但并不能保證無限獨(dú)立地存在”，他又指出，“空間和時(shí)間是可以無限地劃分的（going），但并沒有被無限地劃分開來”。（參見朱梧槚，2008年，第203頁）

偉大的數(shù)學(xué)天才高斯（Gauss）明確反對(duì)“實(shí)無限”。他在給舒馬赫（Heinrich Schumacher）的信件中以十分堅(jiān)決的口氣表明了他的見解：“我反對(duì)把無窮量當(dāng)作一種完成的實(shí)體來使用，這在數(shù)學(xué)中是絕對(duì)不允許的，無窮不過是談及極限時(shí)的一種說話方式而已。”

偉大的法國數(shù)學(xué)家、天體力學(xué)家、科學(xué)哲學(xué)家彭加勒（Henri Poincare）先生也明確反對(duì)“實(shí)無限”。在他所著《科學(xué)與方法》一書中，他指出：“不存在實(shí)（給定的完備的）無窮?？低袪栔髁x者忘記了這一點(diǎn)，他們陷入了矛盾之中。像康托爾主義者一樣，羅素也忘記了這一點(diǎn)，而且碰到了同樣的困難。但是，問題是要知道，他們是偶然地走上這條道路呢，還是受到必然性的驅(qū)使呢。在我看來，該問題是無可懷疑的；在羅素的邏輯中，對(duì)于實(shí)無窮的確信是基本的東西。正是這一點(diǎn)，把它與希爾伯特的邏輯區(qū)分開來?！保▍⒁娕砑永?，2008年，第148頁）。彭加勒先生對(duì)康托（cantor）、羅素的思想進(jìn)行了深刻的剖析。

以布勞威爾（Brouwer）為代表的直覺主義派是“實(shí)無限”的堅(jiān)決反對(duì)者，他們認(rèn)為只有“潛無限”而沒有客觀存在的真實(shí)的無限。以希爾伯特（Hilbert）為代表的形式主義派，承認(rèn)“無限”的實(shí)在性，是典型的“實(shí)無限觀”的擁護(hù)者，但是在具體的應(yīng)用中又堅(jiān)持“有限主義原則”，因此又是一個(gè)“潛無限”論者。這充分說明希爾伯特在“無限問題”上的矛盾性。他在一次著名的演講中講到：“沒有任何問題能象無限那樣，從來就深深地觸動(dòng)著人們的情感；沒有任何觀念能象無限那樣，曾如此卓有成效地激勵(lì)著人的理智；也沒有任何概念能象無限那樣，是如此迫切地需要予以澄清”（參見朱梧槚，1987年，第296頁），可見他對(duì)“無限”的研究有著無比的熱愛和期待。朱梧槚先生更是生動(dòng)地稱之為“幕前的實(shí)無限論者”和幕后的“有窮主義者”（參見朱梧槚，2008年，第146頁）。以羅素（Russell）為代表的邏輯主義派，認(rèn)為能把全部數(shù)學(xué)化歸為邏輯，承認(rèn)“實(shí)無限”觀下的無限集理論，確認(rèn)“實(shí)無限”性研究對(duì)象在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的合理性。因此，就無窮觀而言，他們是典型的“實(shí)無限觀”論者（參見朱梧槚，1987年，第271頁）。普遍認(rèn)為，羅素及其追隨者明顯地承認(rèn)無限性對(duì)象的存在性，但由于羅素為排除集合論中的悖論而發(fā)展他的分支類型論，因而在羅素系統(tǒng)中的“實(shí)無限性對(duì)象”就在不同的類和級(jí)中表現(xiàn)為一定的層次結(jié)構(gòu)，這又變相地回歸到“潛無限”觀念上去。

即使是現(xiàn)代非標(biāo)準(zhǔn)分析的創(chuàng)始人魯濱遜（Rob.inson）也反對(duì)“實(shí)無限”，他認(rèn)為：無論在現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)里或理性思維里都不存在實(shí)無限，但數(shù)學(xué)家為了進(jìn)行數(shù)學(xué)工作只好把并不存在的東西當(dāng)作似乎是存在著的那樣。

（三）堅(jiān)持“實(shí)無限”、拋棄“潛無限”，數(shù)學(xué)發(fā)展陷入一個(gè)惡性循環(huán)。恩格斯對(duì)那些引起數(shù)學(xué)混亂的先生們給予了無情的批評(píng)，并指出只有堅(jiān)持唯物辯證法才能解決上述混亂。

數(shù)學(xué)發(fā)展史上的三次危機(jī)已經(jīng)說明了上述結(jié)論，而集合論發(fā)展中所出現(xiàn)的一系列悖論再次佐證了上述論述。如，康托悖論說明，不存在包含一切集合的集合，也就是說，集合永遠(yuǎn)處于不斷生長之中，這又是一個(gè)潛無限概念；拋球問題（引伸的芝諾悖論）說明，那個(gè)拋球過程根本不可能完成。而“無限交換悖論”又用“實(shí)無限”思想推翻了“希爾伯特旅館”的可能性。偉大的邏輯學(xué)家哥德爾（Godel）用其不完全性定理徹底否定了希爾伯特“實(shí)無限性”的綱領(lǐng)，表明事物的發(fā)展形態(tài)是一種非“實(shí)無限”的形態(tài)，也即對(duì)事物的認(rèn)識(shí)是處于一種不斷前進(jìn)卻不能一勞永逸的狀態(tài)。

凌鄂生先生在《惡無限性造成三次數(shù)學(xué)危機(jī)》一文中指出，“人們企圖把矛盾推移到無限遠(yuǎn)去，這是一種從直覺看來很合理的回避矛盾的方法。但從邏輯上分析的結(jié)果是：被設(shè)想為不矛盾目標(biāo)的無限遠(yuǎn)處也是一個(gè)矛盾的陷阱。希氏依然犯了惡無限性毛病。”（參見凌鄂生，1992年，第71頁）。也就是說，希爾伯特想拋棄“惡無限”，但最終還是被“惡無限”所困。以羅素（Russell）為代表的邏輯主義派，為解決集合論中的悖論發(fā)展他的分支類型論、抓住“惡性循環(huán)原則”不放，其實(shí)是重新回歸到“潛無限”這條道路上來（參見徐利治，2000年，第156.157頁）。

上述表明，人們?cè)谟谩皩?shí)無限”思想發(fā)展數(shù)學(xué)理論時(shí)，出現(xiàn)了一個(gè)又一個(gè)矛盾，不得不再次回去重新處理一個(gè)新的、更大的“潛無限”。

黑格爾說得很透徹，“這里我們便首先遇著了量，特別是數(shù)，不斷地超越其自身，這種超越，康德形容為‘令人恐怖的。其實(shí)真正令人恐怖之處只在于永遠(yuǎn)不斷地規(guī)定界限，又永遠(yuǎn)不斷地超出界限，而并未進(jìn)展一步的厭倦性”（參見黑格爾，1987年，第229頁）。這無疑給我們的數(shù)學(xué)家們開了一張清新的藥方。

恩格斯對(duì)高等數(shù)學(xué)發(fā)展的混亂也給出了明確的批評(píng)。在馬克思恩格斯的通信中，他批評(píng)了今天仍然存在于一些數(shù)學(xué)家頭腦中的極其頑固的觀點(diǎn)，他說：“為什么數(shù)學(xué)家們要那樣頑固地堅(jiān)持把它搞得神秘莫測。不過這是那些先生們的思想方法的片面性超成的”（參見馬克思，1975年，第211頁）。這已是對(duì)當(dāng)今數(shù)學(xué)界中很大一部分人的警告了！愛因斯坦在“論科學(xué)”一文中也給出了類似的批評(píng)，他指出：“哲學(xué)上和邏輯上的大多數(shù)錯(cuò)誤是由于人類理智傾向于把符號(hào)當(dāng)作某種實(shí)在的東西而發(fā)生的。”

如何解決數(shù)學(xué)研究中的混亂、讓數(shù)學(xué)回歸健康的發(fā)展道路也就是回歸到辯證唯物主義的發(fā)展道路上來？恩格斯指出理論、原則首先要適合客觀實(shí)際。他指出：“不是自然界和人類去適應(yīng)原則，而是原則只有在適合于自然界和歷史的情況下才是正確的”（參見恩格斯，1970年，第32頁）。象數(shù)學(xué)中的無限觀，也只有適合自然，才有生命力。接著，恩格斯指出只有用唯物辯證法作為科學(xué)研究的指導(dǎo)思想，才能解決其中的混亂。在其《自然辯證法》一書的“《反杜林論》舊序”那一篇中，他指出，“自然科學(xué)家自己感覺到，這種紛擾和混亂如何厲害地統(tǒng)治著他們，現(xiàn)在流行的所謂哲學(xué)如何絕對(duì)不能給他們以出路。除了以這種或那種形式從形而上學(xué)的思維復(fù)歸到辯證的思維，在這里沒有其他任何出路，沒有達(dá)到思想清晰的任何可能”（參見恩格斯，1971年，第29頁）。在“自然科學(xué)與哲學(xué)”那一節(jié)中，他再次指出：“固定的范疇在這里消失了；數(shù)學(xué)走到了這樣一個(gè)領(lǐng)域，在那里即是很簡單的關(guān)系，如單純的抽象的量之間的關(guān)系、惡無限性，都采取了完全辯證的形式，迫使數(shù)學(xué)家們既不自愿又不自覺地成為辯證的數(shù)學(xué)家。數(shù)學(xué)家們?yōu)榱私鉀Q這種矛盾，為了調(diào)和高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)，為了弄清楚在他們看來是不可否定的結(jié)果的那些東西并不是純粹荒誕無稽的東西，以及為了合理地說明那研究無限的數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)、方法和結(jié)果所采用的牽強(qiáng)說法、無聊詭計(jì)和應(yīng)急方法，是最滑稽可笑不過的了”（參見恩格斯，1971年，第181頁）。這深刻說明了，要解決數(shù)學(xué)科學(xué)的混亂，必須把唯物辯證法作為其指導(dǎo)思想。

二、黑格爾（Hegel）的辯證無限觀

偉大的哲學(xué)家黑格爾對(duì)“無限性、無限物”從哲學(xué)和數(shù)學(xué)等多個(gè)方面進(jìn)行了深入細(xì)致的研究，其核心思想是：承認(rèn)“惡無限”的存在，認(rèn)為“惡無限”不是真正的無限；認(rèn)為應(yīng)該放棄、超越這個(gè)“無限進(jìn)展”，進(jìn)而認(rèn)識(shí)“無限”的本質(zhì)，即通過揚(yáng)棄“惡無限”而認(rèn)識(shí)“真正的無限（真無限）”。與此同時(shí)，他也認(rèn)為這兩種無限是相互轉(zhuǎn)化的，具有“統(tǒng)一性”；認(rèn)為“無限物”具有兩種無限屬性。然而，黑格爾的“真無限”與數(shù)學(xué)中的“實(shí)無限”有著本質(zhì)的區(qū)別。因此，黑格爾的無限觀本質(zhì)上就是一種辯證無限觀。

黑格爾這樣分析“惡無限”和“無限過程”：“這種無限是壞的或否定的無限。因?yàn)檫@種無限不是別的東西，只是有限事物的否定，而有限事物仍然重復(fù)發(fā)生，還是沒有被揚(yáng)棄。換句話說，這種無限只不過表示有限事物應(yīng)該揚(yáng)棄罷了。這種無窮進(jìn)展只是停留在說出有限事物所包含的矛盾，即有限之物既是某物，又是它的別物。這種無限進(jìn)展乃是互相轉(zhuǎn)化的某物與別物這兩個(gè)規(guī)定彼此交互往復(fù)的無窮進(jìn)展”（參見黑格爾，1987年，第206-207頁）。關(guān)于“惡無限”的性質(zhì)，他在《邏輯學(xué)（上卷）》中描述道：“這種壞的無限性，本身就與那種長久的應(yīng)當(dāng)是同一的東西；它誠然是有限物的否定，但是它不能夠真正從有限物那里解放自己；有限物又在無限本身那里出現(xiàn)為無限的他物，因?yàn)檫@個(gè)無限物只是在與它的他物，即有限物的關(guān)系中。到無限的進(jìn)展因此只是重復(fù)的單調(diào)，是有限物與無限物使人厭倦的、老一套的交替”（參見黑格爾，1974年，第141頁）。

上述，黑格爾分析了“無限進(jìn)展”，認(rèn)為應(yīng)該揚(yáng)棄“惡無限”進(jìn)而認(rèn)識(shí)真正的無限，并認(rèn)為意義重大。他進(jìn)一步解釋到，“但類似這樣的無窮進(jìn)展，并不是真正的無限。真正的無限毋寧是‘在別物中即是在自己中，或者從過程方面來表述，就是：‘在別物中返回到自己。對(duì)于真正無限的概念有一正確的認(rèn)識(shí)，而不單純滯留在無窮進(jìn)展的壞的無限中，這具有很大的重要性”（參見黑格爾，1987年，第207頁）；“我們?cè)f，這樣的無限進(jìn)展并不表述真的無限性，而只表述壞的無限性。它絕沒有超出單純的應(yīng)當(dāng)，因此實(shí)際上仍然停留在有限之中”（參見黑格爾，1987年，第228頁）；“這意思是說，真的無限性不可視為一種純粹在有限萬物彼岸的東西，我們想要獲得對(duì)于真的無限的意識(shí)，就必須放棄那種無限進(jìn)展”（參見黑格爾，1987年，第230頁）。即黑格爾認(rèn)為，要認(rèn)識(shí)“真的無限”，就必須揚(yáng)棄、放棄“惡無限”；但這種放棄，并不是說黑格爾要否定“惡無限”的存在，更不是要“結(jié)束、完成”一個(gè)無限進(jìn)展。上述表明，黑格爾在哲學(xué)史上第一次倡導(dǎo)從惡無限過渡到真無限，這是人類認(rèn)識(shí)無限的巨大進(jìn)步。

關(guān)于“惡無限”的存在性，無疑，黑格爾是充分肯定的。他在《小邏輯》中指出，“假如人們以為踏進(jìn)這種的無限就可從有限中解放出來，那末，事實(shí)上只不過是從逃遁中去求解放。但逃遁的人還不是自由的人。在逃遁中，他仍然受他所要逃遁之物的限制。此外還有人說，無限是達(dá)不到的，這話誠然是完全對(duì)的，但只是因?yàn)闊o限這一規(guī)定中包含有抽象的否定的東西”（參見黑格爾，1987年，第207-208頁）。

什么是真正的無限（真無限）？黑格爾接著剖析：“既然過渡達(dá)到之物與過渡之物是完全相同的（因?yàn)槎呓跃哂型换蛲瑯拥囊?guī)定，即同是別物），因此可以推知，當(dāng)某物過渡到別物時(shí)，只是和它自身在一起罷了。而這種在過渡中、在別物中達(dá)到的自我聯(lián)系，就是真正的無限?；蛘邚姆穸ǚ矫鎭砜?，凡變化之物即是別物，它將成為別物之別物。所以存在作為否定之否定，就恢復(fù)了它的肯定性，而成為自為存在”（參見黑格爾，1987年，第209頁）。上述表明黑格爾清晰定義了“真無限”。什么是“真無限”？“真無限”就是“在別物中達(dá)到的自我聯(lián)系”，就是無限物之間的共同本質(zhì)、相互規(guī)定、內(nèi)在聯(lián)系或普遍性，是一種肯定（否定之否定），是一種自為存在。黑格爾認(rèn)為，微積分中的極限概念就是這種真無限的很好例證，這與馬克思對(duì)極限的認(rèn)識(shí)已經(jīng)本質(zhì)上一致。因此，黑格爾的無限觀更接近馬克思主義的辯證無限觀。如無限集合，當(dāng)n趨向無窮大時(shí)（n是一個(gè)自然數(shù)），它的極限是0；0在這兒，就是這一集合的無限個(gè)元素之間的“共同本質(zhì)”、“相互規(guī)定”、“內(nèi)在聯(lián)系”，也就是說，0是所有元素的共同的本質(zhì)或?qū)傩?；即，極限0是一個(gè)真無限，而n則是一個(gè)無限過程，是一個(gè)惡無限；但是，0不是集合的一個(gè)元素，它是無限過程不可達(dá)的一個(gè)事物。顯然，“極限”思想與實(shí)無限思想是完全不同的兩個(gè)概念。

如何從“惡無限”轉(zhuǎn)化為“真無限”？在《邏輯學(xué)（上卷）》中，黑格爾指出，“如以前所說，有限性只是對(duì)自身的超越；所以有限性中也包含無限性，包含自身的他物。同樣，無限性也只是對(duì)有限性的超越；所以它本質(zhì)上也包含它的他物，這樣，它在它那里就是它自身的他物。無限物揚(yáng)棄有限物，不是作為有限物以外現(xiàn)成的力量，而是有限物自己的無限性揚(yáng)棄自身”（參見黑格爾，1974年，第145頁）。即：有限物對(duì)“無限過程”或“無限進(jìn)展”的自我揚(yáng)棄，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為“無限物”，成為“真無限”。

然而，黑格爾并沒有將“惡無限”、“真無限”完全對(duì)立開來，他認(rèn)為它們是相互否定、相互轉(zhuǎn)化、相互聯(lián)系的，具有“統(tǒng)一性”；它們是“無限物”的對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面。這實(shí)際上是說：被揚(yáng)棄了“無限進(jìn)展”的“真無限”又是另外一種更高層次上的“有限物”。在《邏輯學(xué)（上卷）》“無限”那一節(jié)導(dǎo)言中，他從三個(gè)方面分析了“無限物”：“無限物（1）在單純規(guī)定中，是作為有限物之否定那樣的肯定物；（2）于是它就在與有限物的相互關(guān)系之中，并且是抽象片面的無限物；（3）這種無限物和有限物的自身揚(yáng)棄，作為一個(gè)過程，——是真的無限物”（參見黑格爾，1974年，第135頁）。由此可見，黑格爾的“無限物”是“惡無限”和“真無限”的統(tǒng)一。接著，他論述了從有限向無限的轉(zhuǎn)化，他指出：“首先，有限物和無限物的否定，是在無限進(jìn)展中建立的，這種否定可以看作是單純的否定，所以兩者也可以看作是彼此分開的，僅僅是前后相隨的，但是在無限進(jìn)展中也還呈現(xiàn)著它們的關(guān)系。最初是有限物，然后超越有限物，這個(gè)有限物的否定物或彼岸就是無限物；第三是又超越了這個(gè)否定，發(fā)生新的界限，又是一個(gè)有限物，這里是完全的、自身封閉的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)達(dá)到了原來構(gòu)成開始的東西，這里產(chǎn)生了與曾經(jīng)是出發(fā)點(diǎn)的同樣的東西，即有限物又恢復(fù)了；于是這個(gè)同一的東西是和它自己消融在一起的，不過是在它的彼岸又找到自己罷了”（參見黑格爾，1974年，第146-147頁）。在上述論斷中，黑格爾辯證地分析了“有限、無限”關(guān)系，認(rèn)為“有限”轉(zhuǎn)化為“無限”，而“無限”又在另外一個(gè)層次上轉(zhuǎn)化為“有限”。例如，自然數(shù)集N包含“惡無限”多個(gè)自然數(shù)，但是一旦形成一個(gè)集合之后，在集合層面它又變成了地地道道的一個(gè)“有限”。

更形象地，黑格爾分別用“直線”、“圓”來形容“惡無限”、“真無限”。他寫道，“到無限的進(jìn)展，其形象是一條直線，在直線的兩端界限上只是無限物，而且永遠(yuǎn)是在直線——直線是一個(gè)實(shí)有——所不在的地方，直線超越了，到了它的非實(shí)有，即是到了不被規(guī)定的東西之中；至于返回到自身的真的無限，其形象是一個(gè)圓，它是一條達(dá)到了自身的線，是封閉的，完全現(xiàn)在的，沒有起點(diǎn)和終點(diǎn)”（參見黑格爾，1974年，第149頁）。

為了進(jìn)一步說明“惡無限”與“真無限”的統(tǒng)一性，黑格爾有力地駁斥了有限、無限對(duì)立的“二元論”；而數(shù)學(xué)上的“實(shí)無限”觀就是屬于這種對(duì)立的“二元論”。他指出，“[說明]認(rèn)為有限與無限有不可克服的對(duì)立的二元論，卻沒有明了這個(gè)簡單的道理，因?yàn)檎斩摰目捶?，無限只是對(duì)立的雙方之一方，因?yàn)闊o限也成為一個(gè)特殊之物，而有限就是和它相對(duì)的另一特殊之物。象這樣的無限，只是一特殊之物，與有限并立，而且以有限為其限制或限度，并不是應(yīng)有的無限，并不是真正的無限，而只是有限。有限的存在被這種二元論造成絕對(duì)的存在，而且得到固定和獨(dú)立性。這種固定的獨(dú)立的有限，如果與無限接觸，將會(huì)消融于無形；但二元論決不使無限有接觸有限的機(jī)會(huì)，而認(rèn)為兩者之間有一深淵，有一無法渡越的鴻溝，無限堅(jiān)持在那邊，有限堅(jiān)持在這邊?！倍摪选坝邢蕖笨闯墒且粋€(gè)絕對(duì)的存在，而沒有看到它終會(huì)被揚(yáng)棄；在黑格爾看來，這種對(duì)立的“無限”不是真正的無限，它純粹在彼岸，與無限進(jìn)展（惡無限）沒有內(nèi)在的聯(lián)系，因而實(shí)際上只是一個(gè)有限。所以在黑格爾看來“實(shí)無限”不是真正的無限，而只是一個(gè)有限。

接著，黑格爾又論述了有限物、無限物的雙重意義：“有限物的雙重意義是：第一，有限物僅僅就與它對(duì)立的無限物而言，是有限物，第二，它既是有限物，同時(shí)又是與它對(duì)立的無限物。無限物的雙重意義，一是無限物為那兩個(gè)環(huán)節(jié)的一個(gè)，——這樣就是壞的無限物，——再就是這樣的無限物，在其中無限物自身和它的他物兩者都只是環(huán)節(jié)。正如無限物事實(shí)上是當(dāng)前現(xiàn)有的，它也同樣是過程，在過程中，無限物把自己降低為只是自己的規(guī)定之一，與有限物對(duì)立，從而本身也只是有限物之一，并且又將與它自己的這種區(qū)別自行揚(yáng)棄而達(dá)到肯定，由于這種中介便成了真的無限物”（參見黑格爾，1974年，第148頁）。上述說明，黑格爾認(rèn)為“無限物（無限性）”具有雙重含義，既肯定了“惡無限”是無限性的一種基本形式，又批評(píng)了只講“惡無限”而不重視“真無限”的片面性；黑格爾認(rèn)為“無限物”是“惡無限”與“真無限”的統(tǒng)一，它本身既是有限又是無限（參見黑格爾，1974年，第154頁），而“真無限”則是“無限物”的本質(zhì)和更高形式。從認(rèn)識(shí)程序來看，可以說“惡無限”是人們從事物外部、從現(xiàn)象上認(rèn)識(shí)無限性的結(jié)果；而“真無限”則是深入事物內(nèi)部、事物內(nèi)部的普遍聯(lián)系性、從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)無限性的產(chǎn)物。從“惡無限”過渡到“真無限”，標(biāo)志著人類認(rèn)識(shí)的深化，反映了人類對(duì)無限性的認(rèn)識(shí)由可能到現(xiàn)實(shí)、由抽象到具體的發(fā)展過程，反映了人類在認(rèn)識(shí)無限性問題上的主觀能動(dòng)性。由此可見：黑格爾所堅(jiān)持的無限觀完全符合馬克思主義唯物辯證法，是辯證唯物主義的無限觀。

為了強(qiáng)化上述對(duì)“惡無限”、“真無限”及其相關(guān)關(guān)系的分析，黑格爾進(jìn)一步從數(shù)學(xué)無限的角度進(jìn)行了詳細(xì)的剖析，指出數(shù)學(xué)上的“無限系列”是“惡無限”，而“極限”、“有限的表現(xiàn)形式”就是“真無限”（因?yàn)椤罢鏌o限”也是一個(gè)有限物），并分析了這兩者之間的辯證關(guān)系。他舉例，“這個(gè)分?jǐn)?shù)可以表示為0.285714……這個(gè)分?jǐn)?shù)可以表示為等等。這樣分?jǐn)?shù)就是一個(gè)無限的系列；分?jǐn)?shù)本身意謂著這個(gè)系列的總和或有限的表現(xiàn)形式”（參見黑格爾，1974年，第267頁）。上述右邊是一個(gè)無限的系列，而左邊則是此系列的有限表現(xiàn)形式。他認(rèn)為，“系列的無限屬于哪一類，現(xiàn)在也是很明顯的；這是進(jìn)展的壞的無限”（參見黑格爾，1974年，第268頁），即右邊無限的系列屬于“惡無限”。同時(shí)，他認(rèn)為“有限的表現(xiàn)形式”就是“真無限”，他指出：“——這樣，尋常所謂總和，如或，事實(shí)上就是一個(gè)比率；而這個(gè)所謂有限的表現(xiàn)形式就是真的無限的表現(xiàn)形式”（參見黑格爾，1974年，第269頁）。

關(guān)于數(shù)學(xué)上“惡無限”、“真無限”之間的辯證關(guān)系，黑格爾分析得也很透徹。首先他指出兩者的不同，“無限系列中現(xiàn)實(shí)當(dāng)前的那種不精密，在真的數(shù)學(xué)無限里卻只是表面現(xiàn)象。這兩類數(shù)學(xué)的無限，和兩類哲學(xué)的無限一樣，決不可以混淆。表現(xiàn)真的數(shù)學(xué)無限物，早就開始用過系列的形式，甚至近來也重又引用。但是這種形式對(duì)它并不是必要的；恰恰相反，下面將會(huì)指出無限系列的無限物與那種真的數(shù)學(xué)無限物有本質(zhì)的區(qū)別。無限系列不如說是比分?jǐn)?shù)的表現(xiàn)形式甚至還要低下一些”（參見黑格爾，1974年，第268-269頁）。接著，他認(rèn)為“無限系列”是不完全的，而“有限的表現(xiàn)形式”是完全的。他說，“無限系列包含著壞的無限，因?yàn)橄盗兴鶓?yīng)該表現(xiàn)的東西，仍然是一個(gè)應(yīng)當(dāng)，而它所表現(xiàn)出來的東西，又帶著一個(gè)不會(huì)消失的彼岸，與它所應(yīng)該表現(xiàn)的東西不同。無限系列之所以是無限的，并非為了被建立起來的各項(xiàng)的緣故，而是因?yàn)檫@些項(xiàng)不完全，因?yàn)橛幸粋€(gè)本質(zhì)上屬于這些項(xiàng)的他物，是它們的彼岸；建立的項(xiàng)無論愿意怎么多，便怎么多，而系列中實(shí)有的東西卻仍然只是一個(gè)有限物，就真正的意義說來，是被建立為有限物，即它不是它應(yīng)該是的那樣的東西。與此相反，這種系列的所謂的有限的表現(xiàn)形式或總和卻并沒有欠缺；它所包含的值是完全的，而系列卻只是在尋找這個(gè)值；彼岸從逃跑中被召回來了；這種表現(xiàn)形式是什么和它應(yīng)該是什么并沒分離，而是同一的東西”（參見黑格爾，1974年，第269頁）。黑格爾繼續(xù)從哲學(xué)上闡述兩者的質(zhì)的差異和統(tǒng)一性，認(rèn)為“無限系列”實(shí)際上也是一個(gè)有限的表現(xiàn)形式，而“真無限”也包含了無限性的規(guī)定。他指出：“這兩者區(qū)別所在，較確切地說，就是：在無限系列中，否定物是在它的各項(xiàng)之外的，這些項(xiàng)僅僅由于被當(dāng)作數(shù)目的部分而當(dāng)前現(xiàn)在。與此相反，有限的表現(xiàn)形式是一個(gè)比率，否定物在這個(gè)形式中，作為比率兩端的相互規(guī)定，是內(nèi)在的，這個(gè)相互規(guī)定回歸到自己，是自身相關(guān)的統(tǒng)一，是否定之否定（比率兩端都是環(huán)節(jié)），于是在自身中也就有了無限性的規(guī)定?！@樣，尋常所謂總和，如或，事實(shí)上就是一個(gè)比率；而這個(gè)所謂有限的表現(xiàn)形式就是真的無限的表現(xiàn)形式。反之，無限系列倒真的是總和；它的目的是要把本身是比率的東西，以一個(gè)總和的形式來表現(xiàn)，而系列現(xiàn)有的各項(xiàng)不是一個(gè)比率的項(xiàng)，而是一個(gè)總和（Aggregat）的項(xiàng)。另一方面，系列還不如說是有限的表現(xiàn)形式；因?yàn)樗遣煌耆目偤停举|(zhì)上仍然是有缺憾的”（參見黑格爾，1974年，第269-270頁）。

然而黑格爾的“真無限”與數(shù)學(xué)中的“實(shí)無限”還是有著本質(zhì)的區(qū)別。黑格爾認(rèn)為無限既可以完成又不可以完成（即“真無限”可以完成而“惡無限”不可以完成），表現(xiàn)在他對(duì)無限的辯證認(rèn)識(shí)；他認(rèn)為“真無限”的完成與“惡無限”的不可窮盡（不可完成）完全是兩回事。

黑格爾自始至終都沒有承認(rèn)“無限進(jìn)展”能夠完成、能夠結(jié)束，而是提出我們要超越這個(gè)“無限進(jìn)展”進(jìn)而認(rèn)識(shí)無限的本質(zhì)——無限物的內(nèi)在聯(lián)系，即認(rèn)識(shí)“真正的無限（真無限）”。一方面，他認(rèn)為“惡無限”本質(zhì)上是有缺憾的，是不完全的總和（參見黑格爾，1974年，第269-270頁），因而是不可完成的；另一方面，他直接指出“真無限”與“窮盡無限”無關(guān)，也就是與“實(shí)無限”無關(guān)。在《邏輯學(xué)（上）》中，他說到：“他首先把無限物定義為任何性質(zhì)的存在的絕對(duì)肯定，相反地，有限物卻是規(guī)定性、是否定。當(dāng)然，一種存在的絕對(duì)肯定必須認(rèn)為是它的自身關(guān)系，而不是由于有一他物；反之，有限物則是否定，是與一個(gè)他物的關(guān)系的終止，這個(gè)他物是在它以外開始的。一種存在的絕對(duì)肯定，當(dāng)然沒有窮盡無限的概念。這個(gè)概念之包含無限，即肯定，并不是作為直接的肯定，而只是通過他物在自身中的反思而恢復(fù)的肯定，或說是否定物之否定”（參見黑格爾，1974年，第271頁）。

在黑格爾看來，“真無限”是一個(gè)肯定（否定之否定），是一個(gè)有限，因而是已完成的、現(xiàn)在的、具體的、可認(rèn)識(shí)的。這個(gè)“真無限”就是“在別物中達(dá)到的自我聯(lián)系”，是對(duì)“惡無限”的揚(yáng)棄、否定，是無限物之間的共同本質(zhì)、相互規(guī)定、內(nèi)在聯(lián)系或普遍性，是一種自為存在，因而也是一個(gè)更高級(jí)的有限。在《邏輯學(xué)（上）》，他繼續(xù)分析，“那種在一個(gè)系列中的無限，斯賓諾莎稱之為想像的無限物；另一方面，他稱自身關(guān)系的無限物為思維的無限物或現(xiàn)實(shí)的無限物（infinitum acre）。它之所以是現(xiàn)實(shí)的（actu）無限，是因?yàn)樗且淹瓿傻暮同F(xiàn)在的。這樣，0.285714……或等系列便僅僅是想像的、或意見的無限物，因?yàn)樗鼈儧]有現(xiàn)實(shí)性，總是缺少點(diǎn)什么；反之，或都是現(xiàn)實(shí)的無限物，不僅有系列中現(xiàn)在各項(xiàng)的東西，并且還有系列所缺少而只是應(yīng)該有的東西”（參見黑格爾，1974年，第272頁）。這兒，那種“想像的無限物”就是惡無限，而“現(xiàn)實(shí)的無限物”就是真無限。

綜上所述，可以將黑格爾的辯證無限觀歸納如下：有限概念的相互規(guī)定構(gòu)成無限（即“真無限”），無限是“惡無限”與“真無限”的統(tǒng)一，是一個(gè)自在自為的存在；“真無限”離不開“惡無限”，自為存在離不開自在存在。人類對(duì)無限的認(rèn)識(shí)，由可能到現(xiàn)實(shí)、由抽象到具體，完成從“惡無限”到“真無限”的轉(zhuǎn)變?！罢鏌o限”是現(xiàn)實(shí)的、具體的、完成的無限，是自為的存在和理性的存在，是完成了的質(zhì)；而“惡無限”是可能的、抽象的、不可完成的無限，是自在的存在和知性的存在。

由此可見，數(shù)學(xué)中的“實(shí)無限”觀認(rèn)為“無限進(jìn)展”可以完成，這與黑格爾的“惡無限、真無限”思想是背道而馳的。

三、恩格斯對(duì)“無限”的辯證分析和對(duì)“實(shí)無限”的否定

恩格斯特別重視對(duì)無限的正確認(rèn)識(shí)，在《自然辯證法》、《反杜林論》兩本書中對(duì)“無限”進(jìn)行了深刻的分析、思考。主要有以下幾個(gè)方面：

（一）恩格斯認(rèn)為數(shù)學(xué)理論必須服從現(xiàn)實(shí)，對(duì)無限的認(rèn)識(shí)要從客觀現(xiàn)實(shí)來說明。

恩格斯說過：“數(shù)學(xué)的無限是從現(xiàn)實(shí)中借來的，盡管是不自覺地借來的，所以它不能從它自身、從數(shù)學(xué)的抽象來說明，而只能從現(xiàn)實(shí)來說明?！保▍⒁姸鞲袼梗?971年，第249頁）。

在《反杜林論》中，恩格斯重申了這樣的思想，“因?yàn)樵跀?shù)學(xué)上，為了達(dá)到不確定的、無限的東西，必須從確定的、有限的東西出發(fā)，所以一切數(shù)學(xué)的序列，正的或負(fù)的，都必須從一開始，否則就無從計(jì)算。但是，數(shù)學(xué)家的觀念上的需要，決不是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的強(qiáng)制法”（參見恩格斯，1970年，第48頁）。

（二）恩格斯認(rèn)為“無限”客觀存在，肯定了黑格爾的辯證無限觀。

在《自然辯證法》中，恩格斯指出：“當(dāng)我們說，物質(zhì)和運(yùn)動(dòng)既不能創(chuàng)造也不能消滅的時(shí)侯，我們是說：宇宙是作為無限的進(jìn)步過程，即以惡無限性的形式存在著，而且這樣一來，我們就理解了這個(gè)過程中所必須理解的一切”（參見恩格斯，1971年，第214頁）。上述實(shí)際是承認(rèn)無限的客觀存在性。

接著，恩格斯對(duì)黑格爾的無限觀進(jìn)行了評(píng)價(jià)、肯定，他指出：“惡無限性。真無限性已經(jīng)被黑格爾正確地安置在充實(shí)了的空間和時(shí)間中，安置在自然過程和歷史中。今天整個(gè)自然界也溶解在歷史中，而歷史和自然史的不同，僅僅在于前者是有自我意識(shí)的機(jī)體的發(fā)展過程。自然界和歷史的這種無限的多樣性具有時(shí)間和空間的無限性——惡無限性，這種無限性只是被揚(yáng)棄了的、雖然是本質(zhì)的、但不是占優(yōu)勢(shì)的因素”（參見恩格斯，1971年，第215頁）。

（三）恩格斯認(rèn)為無限純粹是由有限組成的，并認(rèn)為這種矛盾不會(huì)消滅，也就是“無限過程”不可能完成。這是對(duì)“實(shí)無限”的直接否定，也是對(duì)黑格爾“惡無限”的直接肯定。

關(guān)于無限的本質(zhì)，恩格斯在《反杜林論》中更是一針見血指出：“此外，杜林先生永遠(yuǎn)做不到?jīng)]有矛盾地思考現(xiàn)實(shí)的無限性。無限性是一個(gè)矛盾，而且充滿種種矛盾。無限純粹是由有限組成的，這已經(jīng)是矛盾，可是事情就是這樣。物質(zhì)世界的有限性所引起的矛盾，并不比它的無限性所引起的少，正象我們已經(jīng)看到的，任何消除這些矛盾的嘗試都會(huì)引起新的更壞的矛盾。正因?yàn)闊o限性是矛盾，所以它是無限的、在時(shí)間上和空間上無止境地展開的過程。如果矛盾消滅了，那就是無限的終結(jié)。黑格爾已經(jīng)完全正確的看到了這一點(diǎn)，所以他以應(yīng)有的輕蔑態(tài)度來對(duì)待那些空談這種矛盾的先生們。”（參見恩格斯，1970年，第48-49頁）。上述說明，在黑格爾、恩格斯看來，有限無限矛盾不可能消滅，也就是無限過程不可能終結(jié)。

關(guān)于“無限過程”的可完成性，恩格斯在《反杜林論》中直接給予了否定，他說：“永恒真理的情況也是一樣。如果人類在某個(gè)時(shí)候達(dá)到了只運(yùn)用永恒真理，只運(yùn)用具有至上意義和無條件真理權(quán)的思維成果的地步，那末人類或許就到達(dá)了這樣的一點(diǎn)，在那里，知識(shí)世界的無限性就現(xiàn)實(shí)和可能而言都窮盡了，從而就實(shí)現(xiàn)了已經(jīng)數(shù)出來的無限數(shù)這一著名的奇跡?！保▍⒁姸鞲袼?，1970年，第84頁）

為了說明“惡無限”思想，恩格斯認(rèn)為不能用“思維與客觀世界的同一性”去證明人的思維產(chǎn)物的現(xiàn)實(shí)性，進(jìn)而對(duì)黑格爾思辨的神秘色彩——“絕對(duì)精神”進(jìn)行了批判。他說到：“企圖以思維和存在的同一性去證明任何思維產(chǎn)物的現(xiàn)實(shí)性，這正是一個(gè)叫做黑格爾的人所說的最荒唐的熱昏的胡話之一”（參見恩格斯，1970年，第39-40頁）；“但是在人類歷史中，黑格爾承認(rèn)無限的進(jìn)步過程是‘精神的唯一真實(shí)的存在形式，雖然他空想地認(rèn)為這個(gè)發(fā)展是有終結(jié)的——在黑格爾哲學(xué)的確立中”（參見恩格斯，1971年，第215-216頁）。上述論述說明，我們不能因?yàn)椤坝邢拗饔^世界”與“客觀物質(zhì)世界”存在“同一性”而去證明我們的思維產(chǎn)物——“無限過程可以完成”——現(xiàn)實(shí)性，這實(shí)際上指出了“實(shí)無限”觀存在的致命缺陷。也就是說，“思維的無限可超越性”并不表示“客觀無限過程的可完成性”，而且“思維的無限可超越性”也從來沒有真正“完成過”。

（四）恩格斯認(rèn)為無限的東西既可以認(rèn)識(shí)，又不可以認(rèn)識(shí)。這與黑格爾所堅(jiān)持的“惡無限”、“真無限”在本質(zhì)上是一致的。即“真無限”（作為無限物之間的普遍聯(lián)系、內(nèi)在關(guān)聯(lián)）可以認(rèn)識(shí)、完成的，而“惡無限”不可以認(rèn)識(shí)、不可以完成。

首先，恩格斯認(rèn)為“無限”可以認(rèn)識(shí)，也就是黑格爾的“真無限”是可以認(rèn)識(shí)的。他說，“這是完全正確的，只要進(jìn)入我們認(rèn)識(shí)領(lǐng)域的僅僅是有限的對(duì)象。但是這個(gè)命題還須有如下的補(bǔ)充：‘我們?cè)诟旧现荒苷J(rèn)識(shí)無限的東西。事實(shí)上，一切真實(shí)的、詳盡無遺的認(rèn)識(shí)都只在于：我們?cè)谒枷胫邪褌€(gè)別的東西從個(gè)別性提高到特殊性，然后再從特殊性提高到普遍性；我們從有限中找到無限，從暫時(shí)中找到永久，并且使之確定起來。然而普遍性的形式是自我完成的形式，因而是無限性的形式；它是把許多有限的東西綜合為無限的東西?！匀唤缰械钠毡樾缘男问骄褪且?guī)律，而關(guān)于自然規(guī)律的永恒性，誰也沒有自然科學(xué)家談得多?！瓕?duì)自然界的一切真實(shí)的認(rèn)識(shí)，都是對(duì)永恒的東西、對(duì)無限的東西的認(rèn)識(shí)，因而本質(zhì)上是絕對(duì)的”（參見恩格斯，1971年，第211-212頁）。這兒，“普遍性的形式就是規(guī)律”就是指黑格爾的“真無限”，因而是“自我完成的形式”，是一種可完成的、可認(rèn)識(shí)的自為的存在，所以是一種肯定、一個(gè)更高級(jí)的有限。

另一方面，恩格斯也指出“無限”是不可以認(rèn)識(shí)的，也就是說黑格爾的“惡無限”不可以認(rèn)識(shí)。他說，“但是，這種絕對(duì)的認(rèn)識(shí)有一個(gè)重大的障礙。正如可認(rèn)識(shí)的物質(zhì)的無限性，是由純粹有限的東西所組成一樣，絕對(duì)地進(jìn)行認(rèn)識(shí)的思維的無限性，是由無限多的有限的人腦所組成的，而人腦是一個(gè)挨一個(gè)地和一個(gè)跟一個(gè)地從事這種無限的認(rèn)識(shí)，常做實(shí)踐上的和理論上的蠢事，從歪曲的、片面的、錯(cuò)誤的前提出發(fā)，循著錯(cuò)誤的、彎曲的、不可靠的途徑行進(jìn)，往往當(dāng)真理碰到鼻尖上的時(shí)候還是沒有得到真理（普利斯特列）。因此，對(duì)無限的東西的認(rèn)識(shí)是被雙重的困難圍困著，就其本性來說，它只能在一個(gè)無限的漸漸的進(jìn)步過程中實(shí)現(xiàn)。這已經(jīng)使我們有足夠的理由說：無限的東西既可以認(rèn)識(shí)，又不可以認(rèn)識(shí)，而這就是我們所需要的一切”（參見恩格斯，1971年，第212頁）。（未完待續(xù)）