陳璽君

(丹陽(yáng)市呂叔湘中學(xué) 江蘇 鎮(zhèn)江 212300;

廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 廣西 桂林 541004)

1 引言

“繩聯(lián)物體”指物體拉繩(桿)或繩(桿)拉物體的問題. “繩聯(lián)物體”是高中物理一個(gè)較難的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)困難較大，也是各地高考、模擬、競(jìng)賽試題出題的熱點(diǎn).本文從一道“繩聯(lián)物體”典例出發(fā)，剖析其中原理以期和讀者共享.

2 問題引出

高一物理在運(yùn)動(dòng)的合成與分解問題這一節(jié)，教師往往都會(huì)舉出這樣一個(gè)“繩聯(lián)物體”典型例題：

如圖1所示，物體A和B的質(zhì)量均為m,且分別與跨過(guò)定滑輪的輕繩連接(不計(jì)繩與滑輪、滑輪與軸之間的摩擦),在用水平變力F拉物體B沿水平方向向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，則( )

A.物體A也做勻速直線運(yùn)動(dòng)

B.繩子拉力始終大于物體A所受重力(0<

α<90°)

C.繩子對(duì)物體A的拉力逐漸增大

D.繩子對(duì)物體A的拉力逐漸減小

圖1 題圖

這是一道典型的繩的末端速度分解問題，處理上述問題的關(guān)鍵步驟是：

(1)找到物體B運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)(如合速度、合位移、合加速度等，難易程度一般).

(2)尋找合運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)有效的分運(yùn)動(dòng).(較難)

(3)使用平行四邊形定則處理合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系.

而高中物理教材(如人教版教材)中沒有關(guān)于合運(yùn)動(dòng)的明確定義，這給學(xué)生尋找合運(yùn)動(dòng)造成一定困擾.筆者建議合運(yùn)動(dòng)可以這樣感性地定義：眼睛觀察到的物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)為合運(yùn)動(dòng).如上題中眼睛觀察到物體B是水平向右運(yùn)動(dòng)，因此物體B的合運(yùn)動(dòng)合速度水平向右.緊接著是如何將物體B的速度vB進(jìn)行有效分解.繩的末端B點(diǎn)(即物體B的運(yùn)動(dòng))可等效為參與了如下兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)：

(1)繩的末端B點(diǎn)繞滑輪(圓心)轉(zhuǎn)動(dòng)(做圓周運(yùn)動(dòng)).

(2)繩的末端B點(diǎn)沿繩方向伸長(zhǎng)(或收縮)的直線運(yùn)動(dòng).

有了這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的方向使用平行四邊形定則分解唯一，如圖2所示.

圖2 用平行四邊形定則分析圖示

由圖可知

v∥=vA=vBcosα

v⊥=vBsinα

則α減小，vA增大(單調(diào)遞增)，故A向上加速運(yùn)動(dòng)，具有豎直向上的加速度，由牛頓第二定律可知

T-mg=maA

拉力T>mg，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確.在處理C,D選項(xiàng)拉力的變化規(guī)律時(shí)，由于是變力，遇到了很大的挑戰(zhàn).筆者見到這樣一種解法,受力分析如圖3所示.由正交分解法可得

解得

由于α減小，因此拉力T減小.

圖3 用正交分解法分析受力圖示

這種解法看似完美，雖然拉力T減小的結(jié)論是正確的，但由于題目并未交代物體B與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為定值，顯然這種解法是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?

下面給出這道題定量細(xì)致的推導(dǎo)過(guò)程，以期獲得教學(xué)方面的理論指導(dǎo).

3 研究過(guò)程

3.1 速度關(guān)系和角速度關(guān)系

v∥=vA=vBcosα

(1)

v⊥=vBsinα

(2)

而

(3)

所以

(4)

式(1)、(2)、(4)表明，當(dāng)α減小時(shí)，vA增大，v⊥和ω均減小.

若設(shè)m=0.1 kg,vB=2 m/s,h=5 m，則

在幾何畫板作圖如圖4所示.

圖4 ω-α關(guān)系圖

3.2 加速度關(guān)系

B向右運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，α減小，故

(5)

(6)

將式(5)代入式(6)得

(7)

式(7)表明，當(dāng)α減小時(shí)，aA減小.

若設(shè)m=0.1 kg,vB=2 m/s,h=5 m,則

在幾何畫板作圖如圖5所示.

圖5 aA-α關(guān)系圖

3.3 角加速度關(guān)系

(8)

式(8)表明，當(dāng)α減小時(shí)，角加速度β先增大后減小.

若設(shè)m=0.1 kg,vB=2 m/s,h=5 m, 則

在幾何畫板作圖如圖6所示.

圖6 β-α關(guān)系圖

由以上分析可知：垂直于繩方向做的是線速度v⊥減小，角速度ω減小，角加速度β先增大后減小的變加速圓周運(yùn)動(dòng).

3.4 位移關(guān)系

(9)

對(duì)式(9)積分有

(10)

可得

(11)

(12)

式(12)由幾何關(guān)系亦可求出，結(jié)論一致.

若設(shè)m=0.1 kg,vB=2 m/s,h=5 m,則

在幾何畫板作圖如圖7所示.

圖7 xA-α關(guān)系圖

3.5 拉力(變力)關(guān)系

由牛頓第二定律知

T-mg=maA

(13)

故

(14)

可知，拉力T隨α角的減小而減小.

若設(shè)m=0.1 kg,g=10 m/s2,vB=2 m/s,h=5 m,則

在幾何畫板作圖如圖8所示.

圖8 T-α關(guān)系圖

3.6 拉力(變力)做功關(guān)系

dWA=TdxA=

(15)

積分

(16)

得

(17)

若設(shè)m=0.1 kg,g=10 m/s2,vB=2 m/s,h=5 m, 得

在幾何畫板作圖如圖9所示.

圖9 WT-α關(guān)系圖

此結(jié)論由功能關(guān)系亦可求得，結(jié)論一致，此處不再贅述.

通過(guò)以上分析可知，從運(yùn)動(dòng)的合成與分解的角度來(lái)看，物體B水平向右的勻速直線運(yùn)動(dòng)可等效為變加速圓周運(yùn)動(dòng)與變加速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng).

物體A做的是vA增大，aA減小的豎直向上的變加速直線運(yùn)動(dòng),物體A發(fā)生超重現(xiàn)象.不僅拉力T大于重力mg，且拉力T隨α角的減小而減小.

本題答案B,D.

4 其他思考

高中物理有沒有什么方法來(lái)解決上述題目中拉力大小的變化規(guī)律呢？筆者見到不少高考復(fù)習(xí)資料上是這樣解答的：若從極限的角度去理解，當(dāng)α→0時(shí)，vA→vB，由此可推斷A的速度越來(lái)越大，物體A最后做勻速運(yùn)動(dòng)，A的加速度為零，從而判斷A的加速度隨α角的減小而減小，似乎可以完美解決，但又帶來(lái)一個(gè)思考，A的加速度是不是隨著vA的增大而單調(diào)遞減這個(gè)結(jié)論無(wú)法得知，顯然不夠嚴(yán)謹(jǐn).

5 綜述

5.1 處理方法

上述研究采用的主要物理方法有隔離法、理想模型法、運(yùn)動(dòng)的合成與分解法、微分法、積分法.

5.2 教學(xué)指導(dǎo)

“繩聯(lián)物體”運(yùn)動(dòng)模型題是高中學(xué)生比較怕做的一類題型，教師在指導(dǎo)學(xué)生處理這一類問題時(shí)，務(wù)必要培養(yǎng)學(xué)生能夠獨(dú)立尋找合運(yùn)動(dòng)以及它的兩個(gè)有效的分運(yùn)動(dòng)方法的能力.高中物理對(duì)于處理變力問題時(shí)要用到高等數(shù)學(xué)知識(shí)往往顯得力不從心，如以上采用了正交分解法、極限思想等方法來(lái)變換處理，雖很巧妙，但思維不夠嚴(yán)謹(jǐn)，假如教師能夠從普通物理微分和積分的角度認(rèn)清這類問題的本質(zhì)和結(jié)論，然后再對(duì)上述模型進(jìn)行特殊處理和加工，如以上正交分解法中可假設(shè)動(dòng)摩擦因數(shù)μ恒定來(lái)分析，如此一來(lái)，既可以方便討論，簡(jiǎn)化問題，又可以減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，培養(yǎng)學(xué)生解題思維能力，對(duì)高中物理教學(xué)可以起到很好的理論指導(dǎo)的作用，真正促進(jìn)高效物理課堂教學(xué).

6 結(jié)束語(yǔ)

本文以“繩聯(lián)物體”運(yùn)動(dòng)模型為例詳實(shí)、細(xì)致地研究了這個(gè)力學(xué)問題，獲得了這個(gè)問題的速度、加速度、力、功的關(guān)系，加深了對(duì)處理這一類問題的心理預(yù)期，使之不再停留在感性的認(rèn)知上，通過(guò)理論分析產(chǎn)生對(duì)這一類問題的實(shí)踐指導(dǎo)，為這一類問題的解答提供了一個(gè)理論指導(dǎo)，不足之處請(qǐng)指正.

1 漆安慎.普通物理學(xué)教程 力學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(第2版).北京：高等教育出版社，2009

2 王朝銀.創(chuàng)新設(shè)計(jì).昆明：云南人民出版社，2016.06

3 江蘇省物理學(xué)會(huì).物理學(xué)奧賽教程(增訂本).南京:南京大學(xué)出版社,2004.06