王 勇，鄒 輝，何養(yǎng)明，黎 春

(重慶理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，重慶 400054)

1 引 言

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，各行各業(yè)都趨于自動化和智能化方向發(fā)展，機(jī)器視覺、逆向工程、文化遺產(chǎn)保護(hù)等領(lǐng)域?qū)ψ詣踊@取物體的三維信息，并對其自動化分析、建模、控制等處理的需求越來越大[1].因此，激光掃描儀、結(jié)構(gòu)光掃描儀等各類掃描儀應(yīng)運(yùn)而生.由于受到視角或技術(shù)的限制，需要對同一物體進(jìn)行不同角度的測量才能獲取精確完整的物體三維信息.從不同角度測量獲取的點(diǎn)云數(shù)據(jù)不在同一坐標(biāo)系下，因此，需對不同視角獲取的點(diǎn)云進(jìn)行配準(zhǔn)，配準(zhǔn)的過程實(shí)質(zhì)就是求解不同坐標(biāo)系下點(diǎn)云間的剛性轉(zhuǎn)換關(guān)系.

目前，應(yīng)用較多、精度也較高的配準(zhǔn)算法為Besl提出的迭代最近鄰算法[2]，即ICP((Iterative Closest Point)算法.該算法通過每次迭代都在目標(biāo)點(diǎn)集中選擇最近的點(diǎn)作為匹配點(diǎn)來估算變換矩陣參數(shù)，直到目標(biāo)函數(shù)值不變或小于條件閾值為止.但該算法計(jì)算量大，速度較慢，且對點(diǎn)云間位姿要求較高，同時(shí)容易陷入局部最優(yōu).針對上述傳統(tǒng)ICP算法的缺陷，國內(nèi)外學(xué)者相繼提出了眾多改進(jìn)的ICP算法.Blais等人[3]提出將待配準(zhǔn)點(diǎn)云中的點(diǎn)沿著目標(biāo)點(diǎn)云視點(diǎn)方向穿過，與目標(biāo)點(diǎn)云中的點(diǎn)相交的點(diǎn)作為匹配點(diǎn)，即點(diǎn)到投影的ICP算法，該算法應(yīng)用范圍不廣且配準(zhǔn)精度不高；Chen等人[4]提出將待配準(zhǔn)點(diǎn)云中的點(diǎn)在其法線與目標(biāo)點(diǎn)云相交的點(diǎn)的切平面上投影的點(diǎn)作為匹配點(diǎn)，即點(diǎn)到面的ICP算法，該算法的缺陷是需要計(jì)算點(diǎn)的投影，算法效率慢，優(yōu)點(diǎn)是精度較高.文獻(xiàn)[5]對ICP相關(guān)算法進(jìn)行歸納并指出ICP算法可分為上述三類，分別為點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)到投影、點(diǎn)到面的ICP算法.Yang等人[6]首次提出一種全局最優(yōu)算法用以解決傳統(tǒng)ICP算法易陷入局部最優(yōu)的問題.文獻(xiàn)[7]使用點(diǎn)-面距離來獲取匹配點(diǎn)對，然后提出單應(yīng)性假設(shè)，根據(jù)單應(yīng)性假設(shè)對不合要求的點(diǎn)對進(jìn)行剔除，從而達(dá)到提升配準(zhǔn)速度的目的.楊小青[8]等人利用點(diǎn)云法向量夾角初步提取關(guān)鍵點(diǎn)，并使用主曲率約束選取初始點(diǎn)集，然后使用點(diǎn)間距離和高斯曲率來確認(rèn)精確匹配點(diǎn)，但該方法閾值較多，較難確定，且適合特征突出的點(diǎn)云匹配，一旦匹配點(diǎn)選取錯(cuò)誤，容易造成配準(zhǔn)失敗.秦緒佳[9]等人結(jié)合法向量和直方圖，提出法向量直方圖概念，并將點(diǎn)的法向量直方圖特征量作為點(diǎn)云的特征描述子來確定匹配點(diǎn)對，該算法避免了直接使用法向量進(jìn)行匹配帶來的歧義性問題.文獻(xiàn)[10]利用提出的法矢夾角度分級精簡點(diǎn)云，然后利用匹配度篩選匹配點(diǎn)，然而該方法提出的法矢夾角度不能很好的代表點(diǎn)的特征，精簡算法不能保證以特征點(diǎn)保留為主，匹配度計(jì)算復(fù)雜.

本文提出一種多分辨率配準(zhǔn)點(diǎn)的ICP算法，首先利用鄰域點(diǎn)法向量夾角平均值信息對點(diǎn)云中的點(diǎn)進(jìn)行分級，然后設(shè)置點(diǎn)云的分辨率，根據(jù)提出的方法對每級的點(diǎn)在不同分辨率下進(jìn)行采樣，最后分別對不同分辨率下提取的配準(zhǔn)點(diǎn)結(jié)合所提出的匹配度確定匹配點(diǎn)對進(jìn)行迭代配準(zhǔn).從而解決點(diǎn)云配準(zhǔn)慢，精度低的問題.

2 點(diǎn)云處理

2.1 點(diǎn)云KD-tree的構(gòu)建

散亂點(diǎn)云中各點(diǎn)間并不具備任何拓?fù)潢P(guān)系，因此若尋找某點(diǎn)的鄰域點(diǎn)，需遍歷整片點(diǎn)云，計(jì)算量十分龐大，使得計(jì)算速度緩慢.傳統(tǒng)ICP算法速度較慢的主要原因就在于尋找點(diǎn)間關(guān)系，計(jì)算量較大.KD-tree是Bentley[11]提出的一種K維數(shù)據(jù)點(diǎn)在空間進(jìn)行層次劃分的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，即對K維數(shù)據(jù)點(diǎn)構(gòu)建索引結(jié)構(gòu)樹.KD-tree在K維數(shù)據(jù)的范圍和近鄰點(diǎn)的搜索具有速度快的特點(diǎn)，因此，本文對點(diǎn)云構(gòu)建KD-tree用 以加速點(diǎn)間關(guān)系的查找.構(gòu)建KD-tree的步驟如下：

1)分別求點(diǎn)云中所有點(diǎn)在x，y，z維度上的方差；

2)將方差最大的維度設(shè)為split域；

3)將所有點(diǎn)按split域的值進(jìn)行排序，取中值點(diǎn)作為根節(jié)點(diǎn)；

4)將split域的值小于中值點(diǎn)split域的值的點(diǎn)分配到左子空間，反之分配到右子空間；

5)對左子空間和右子空間重復(fù)步驟1)到4)，直到只剩一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn).

2.2 點(diǎn)云法向量的估計(jì)

本文使用主成分分析法(PCA)來求取法向量，估計(jì)點(diǎn)云中p點(diǎn)的法向量的問題近似于估計(jì)該點(diǎn)相切面法線的問題，即可轉(zhuǎn)化為估計(jì)p點(diǎn)k鄰域最小二乘擬合平面的問題.

(1)

則?滿足使得下式最小：

(2)

令：

(3)

(4)

則可求得：

(5)

(6)

即：

(7)

(8)

(9)

求p點(diǎn)的法向量步驟如下：

3)根據(jù)式(7)求得協(xié)方差矩陣C，并求取C的特征值和特征向量；

2.3 點(diǎn)云曲率的估計(jì)

曲率不僅能夠描述曲面的幾何特征，而且具備縮放、旋轉(zhuǎn)以及平移不變性，是分析曲面局部特征的重要依據(jù).本文使用曲率來描述點(diǎn)云各點(diǎn)的局部特征，依據(jù)曲率信息來引導(dǎo)點(diǎn)云進(jìn)行配準(zhǔn).

由于二次曲面具有普遍性，對各類點(diǎn)云適應(yīng)性強(qiáng)，且計(jì)算簡單，因此本文采用擬合二次曲面來估計(jì)曲率.

對于點(diǎn)pi，利用構(gòu)建的KD-tree求取其k近鄰點(diǎn)，記pi和其k近鄰點(diǎn)為Nbhd(pi)，設(shè)擬合的二次曲面η方程為：

z=f(x，y)=ax2+by2+cx+dy+e

(10)

則在Nbhd(pi)中，η滿足使得下式取值最?。?/p>

(11)

分別對式(11)中各系數(shù)求導(dǎo)，并使其值為0，然后聯(lián)立式(11)即可求解各系數(shù)，從而得到擬合二次曲面方程z=f(x，y).曲面的參數(shù)方程為：

P(x，y)=(xyz，(x，y，f(x，y)))

(12)

(13)

由曲面第一和第二基本形式可得：

(14)

從而可得高斯曲率K、平均曲率H、主曲率k1和主曲率k2為：

(15)

(16)

(17)

(18)

3 多分辨率配準(zhǔn)點(diǎn)的ICP算法

3.1 多分辨率關(guān)鍵點(diǎn)的采樣

點(diǎn)云的局部法向量變化可以表征該局部曲面的彎曲程度，法向量變化越大，曲面起伏越大，向量變化越小，曲面越平坦.因此，本文提出使用法向量夾角平均值來度量點(diǎn)的特征，以此為依據(jù)提取點(diǎn)云的關(guān)鍵點(diǎn).對于任意一點(diǎn)pi，使用構(gòu)建的KD-tree求取其k近鄰點(diǎn)，則該點(diǎn)法向量夾角平均值Mi定義如下：

(19)

點(diǎn)云的特征信息是由所包含的所有點(diǎn)共同來決定的，主要表現(xiàn)為特征明顯的關(guān)鍵點(diǎn)的特征信息，關(guān)鍵點(diǎn)的特征信息并不能完全代表點(diǎn)云的特征信息.因此本文以特征明顯的關(guān)鍵點(diǎn)為主，特征不明顯的點(diǎn)為輔來配準(zhǔn)點(diǎn)云.首先，根據(jù)式(19)計(jì)算出的向量夾角平均值對點(diǎn)云中的點(diǎn)分為m級，則第i(1≤i

minM+(i-1)*G≤Mi

(20)

(21)

其中minM為點(diǎn)云所有點(diǎn)法向量夾角平均值最小值，maxM為最大值.

對于各種傳統(tǒng)ICP的改進(jìn)算法，實(shí)質(zhì)為權(quán)衡速度和精度的問題.關(guān)鍵特征點(diǎn)選取越少，計(jì)算量越少，收斂速度越快，相應(yīng)精度也會降低；選取越多，計(jì)算量越大，收斂速度越慢.本文提出使用多分辨率配準(zhǔn)點(diǎn)來指導(dǎo)點(diǎn)云配準(zhǔn).首先利用低分辨率匹配點(diǎn)對進(jìn)行配準(zhǔn)，使要配準(zhǔn)的點(diǎn)云迅速收斂，此時(shí)配準(zhǔn)精度較低；然后使用高分辨率匹配點(diǎn)對進(jìn)行配準(zhǔn)，提高配準(zhǔn)精度，由于在已收斂的配準(zhǔn)點(diǎn)云基礎(chǔ)上進(jìn)行迭代配準(zhǔn)，收斂速度會大大提升.

設(shè)最大分辨率為n，則分辨率為j(1≤j≤n)時(shí)，第i(1≤i≤m)級提取點(diǎn)的采樣比例為：

(22)

其中，countm為第m級總點(diǎn)數(shù)，counti為第i級總點(diǎn)數(shù)，fix為向零取整.

由上式可看出，級別越大，采樣比例越大，且各級之間采樣呈指數(shù)關(guān)系.同時(shí)，本文引入Logistic模型，其曲線為S型曲線，具備開始增長迅速，后來增長緩慢的特點(diǎn)，符合點(diǎn)云多分辨率配準(zhǔn)思想；先采樣少數(shù)點(diǎn)進(jìn)行迅速配準(zhǔn)，然后大幅增加采樣點(diǎn)，提升配準(zhǔn)精度，最后小幅增加采樣，使點(diǎn)云整體收斂.各分辨率間采樣呈S型增長.

3.2 改進(jìn)的ICP算法

配準(zhǔn)的過程即是求解待配準(zhǔn)源點(diǎn)云到目標(biāo)點(diǎn)云的剛性旋轉(zhuǎn)R和平移T的過程，如公式(23)所示.

(23)

在實(shí)際測量中，點(diǎn)云的采集不可避免帶入噪聲，往往點(diǎn)云間的數(shù)據(jù)并沒有絕對的一一對應(yīng)關(guān)系，因此ICP算法實(shí)質(zhì)是基于最小二乘原則保證計(jì)算得到的旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移向量T使得目標(biāo)函數(shù)最小，即求解目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.目標(biāo)函數(shù)形式多樣，本文使用點(diǎn)到點(diǎn)距離平方和作為目標(biāo)函數(shù)，如式(24)所示：

(24)

上式中Qi為目標(biāo)點(diǎn)集，Pi為待配準(zhǔn)點(diǎn)集(源點(diǎn)集)，N為匹配點(diǎn)對總數(shù).

對于選取最近點(diǎn)匹配策略，通?？赡軐?dǎo)致出現(xiàn)大量錯(cuò)誤匹配點(diǎn)，本文提出使用匹配度來選擇匹配點(diǎn)，以提高匹配點(diǎn)對的匹配準(zhǔn)確性.對于任意一點(diǎn)pi，使用構(gòu)建的KD-tree求取其在目標(biāo)點(diǎn)集Q中的k近鄰點(diǎn)，則該點(diǎn)與其各近鄰點(diǎn)qj的匹配度定義如下：

(25)

其中pi1、pi2、pi3、pi4分別為點(diǎn)pi的主曲率k1、k2，高斯曲率K，平均曲率H，同理，qj1、qj2、qj3、qj4分別為點(diǎn)qj的主曲率k1、k2，高斯曲率K，平均曲率H.在微分幾何中，兩個(gè)主曲率衡量了曲面在某點(diǎn)處指定方向的彎曲程度和彎曲方向，高斯曲率反映了曲面在某點(diǎn)處總的彎曲程度，平均曲率描述了曲面在某點(diǎn)處平均彎曲程度.因此，由式(25)可知，兩點(diǎn)越相似，則其匹配度越小.

分別計(jì)算pi和其k近鄰點(diǎn)的匹配度W(pi，qj)，選取W(pi，qj)值最小的點(diǎn)作為pi的匹配點(diǎn).

為進(jìn)一步降低配準(zhǔn)計(jì)算過程的時(shí)間復(fù)雜度，只有需要使用點(diǎn)pi和點(diǎn)qi的曲率時(shí)才計(jì)算其曲率并存儲，若其曲率存在，則不進(jìn)行計(jì)算.

四元數(shù)法[12]不僅易于實(shí)現(xiàn)，且在匹配點(diǎn)對較多的情形下計(jì)算量小，本文使用四元數(shù)法來對上述方法獲取的匹配點(diǎn)對求取旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移向量T.

改進(jìn)的多分辨率配準(zhǔn)點(diǎn)的ICP算法步驟如下：

1)計(jì)算點(diǎn)云集P中所有點(diǎn)pi的法向量夾角平均值Mi；

2)根據(jù)式(20)將P中的點(diǎn)分為m級并設(shè)置最大分辨率n；

3)根據(jù)式(22)計(jì)算分辨率為j(1≤j≤n)，第i(1≤i≤m)級點(diǎn)的采樣比例Ri，j；

4)計(jì)算分辨率為j(1≤j≤n)，第i(1≤i≤m)級采樣點(diǎn)數(shù)Ci，j=counti·Ri，j，若分辨率j=1，對第i級隨機(jī)采樣Ci，j個(gè)點(diǎn)，否則，在已采樣點(diǎn)的基礎(chǔ)上再隨機(jī)采樣Ci，j-Ci，j-1個(gè)點(diǎn)；

5)由式(25)求取采樣點(diǎn)的匹配點(diǎn)，若某點(diǎn)沒曲率信息，則計(jì)算其曲率信息并存儲；

6)對步驟5)獲得的匹配點(diǎn)對使用四元數(shù)法計(jì)算，獲取旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移向量T；

7)使用步驟6)獲得的R和T對P利用式(23)進(jìn)行變換，得到新的點(diǎn)云集P；

8)重復(fù)步驟5)到7)直到使得式(24)最??；

9)若分辨率不為n，則進(jìn)入下一分辨率，返回步驟3).

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本文實(shí)驗(yàn)在Intel(R) Core(TM)i3-2120 CPU、4GB內(nèi)存、Windows 7操作系統(tǒng)、Matlab 2012b環(huán)境下進(jìn)行.為驗(yàn)證本文所提出算法的有效性，分別和傳統(tǒng)ICP算法、文獻(xiàn)[10]改進(jìn)的ICP算法實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來源于斯坦福大學(xué)開放點(diǎn)云數(shù)據(jù)庫的Bunny和Dragon模型.由于點(diǎn)云數(shù)據(jù)不具備完全的一一對應(yīng)關(guān)系，業(yè)內(nèi)還沒有被普遍被認(rèn)可的評價(jià)配準(zhǔn)誤差的方法[13]，本文使用文獻(xiàn)[13]中所提方法來評價(jià)配準(zhǔn)誤差.

圖1為對Bunny進(jìn)行配準(zhǔn)實(shí)驗(yàn).本文算法中估計(jì)點(diǎn)云法向量、曲率以及選取目標(biāo)點(diǎn)集配準(zhǔn)點(diǎn)的k值均設(shè)為8，m=3，n=6.圖1(a)為Bunny兩視角(0度和45度)配準(zhǔn)前點(diǎn)云圖，兩片點(diǎn)云點(diǎn)數(shù)分別為40256和40097；圖1(b)為傳統(tǒng)ICP配準(zhǔn)效果圖，可以看出兔子耳朵、尾巴部分有一定偏差；圖1(c)為文獻(xiàn)[10]改進(jìn)的ICP算法配準(zhǔn)結(jié)果，較傳統(tǒng)ICP算法有一定的改進(jìn)，但尾巴部分仍有偏差；圖1(d)為本文所提出的算法配準(zhǔn)結(jié)果，可以看出配準(zhǔn)效果強(qiáng)于上面兩種算法.

圖1 Bunny配準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)Fig.1 Bunny registration experiment

表1為三種算法配準(zhǔn)速度和配準(zhǔn)誤差結(jié)果.從表中可以看出傳統(tǒng)ICP算法比較耗時(shí)，主要是由于查詢匹配點(diǎn)和迭代過程較慢；文獻(xiàn)[10]算法根據(jù)點(diǎn)云特征精簡了配準(zhǔn)點(diǎn)，在查詢鄰域點(diǎn)上使用KD-tree加速，并且根據(jù)所提出的方法篩選匹配點(diǎn)對，一定程度上降低了迭代次數(shù)并提高了匹配點(diǎn)對的匹配精度，在精度和速度上都有一定提升；而本文提出的多分辨率匹配點(diǎn)ICP算法，根據(jù)點(diǎn)云特征，選取少數(shù)匹配點(diǎn)對快速配準(zhǔn)，然后增加匹配點(diǎn)對，提高配準(zhǔn)精度，在查詢鄰域點(diǎn)上使用KD-tree加速，在選擇匹配點(diǎn)對上，使用所提出的匹配度選擇匹配點(diǎn)，增加匹配點(diǎn)對的匹配精度，無論在精度還是速度上，較文獻(xiàn)[10]算法都有進(jìn)一步的提升.

表1 不同算法配準(zhǔn)結(jié)果Table 1 Registration results of different algorithms

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法的有效性，使用曲面更為復(fù)雜的Dragon點(diǎn)云數(shù)據(jù)集進(jìn)行實(shí)驗(yàn).本文算法中估計(jì)點(diǎn)云法向量、曲率以及選取目標(biāo)點(diǎn)集配準(zhǔn)點(diǎn)的k值均設(shè)為8，m=5，n=8.圖2(a)為Dragon兩視角(24度和48度)配準(zhǔn)前點(diǎn)云圖，兩片點(diǎn)云點(diǎn)數(shù)分別為34836和22092；圖2(b)為傳統(tǒng)ICP配準(zhǔn)效果圖，可以看出配準(zhǔn)效果較差，頭部和尾部偏差較大；圖2(c)為文獻(xiàn)[10]算法配準(zhǔn)效果，可以看出，總體效果較傳統(tǒng)ICP算法有所改進(jìn)，頭部杈角處和尾巴比傳統(tǒng)ICP好，但嘴巴和尾巴拐角處比傳統(tǒng)ICP差.圖2(d)為本文所提出的算法配準(zhǔn)效果，可以明顯看出配準(zhǔn)較為準(zhǔn)確，能較好的體現(xiàn)Dragon模型頭部、身體、足部、尾部輪廓特征.

圖2 Dragon配準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)Fig.2 Dragon registration experiment

如表2所示，隨著點(diǎn)云數(shù)據(jù)的減少，三種方法配準(zhǔn)耗時(shí)都有所縮短，其中傳統(tǒng)ICP算法縮短幅度最大，本文算法縮短幅度最小，但本文算法效率仍遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他兩種算法；由于Dragon表面較為復(fù)雜，三種配準(zhǔn)算法誤差都有所提升，傳統(tǒng)ICP不能完成兩片點(diǎn)云的配準(zhǔn)，誤差較大，文獻(xiàn)[10]算法勉強(qiáng)完成了配準(zhǔn)，但精度還達(dá)不到要求，本文算法配準(zhǔn)效果較好，誤差較小，精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他兩種算法.

表2 不同算法配準(zhǔn)結(jié)果Table 2 Registration results of different algorithms

表3 不同規(guī)模點(diǎn)云耗時(shí)Table 3 Time consuming of different size of point clouds

為驗(yàn)證本文算法的執(zhí)行效率，分別對不同規(guī)模的點(diǎn)云進(jìn)行配準(zhǔn)，其耗時(shí)如表3所示，根據(jù)表3，分別計(jì)算本文算法相對傳統(tǒng)ICP算法和文獻(xiàn)[10]算法所提高的百分比并繪制折線圖，所繪折線圖如圖3所示，可以看出，本文算法相比傳統(tǒng)ICP算法，速度提升了77%以上，相比文獻(xiàn)[10]算法，速度提升了62%以上，且隨著點(diǎn)云規(guī)模的增大，有遞增的趨勢.

圖3 提升百分比折線圖Fig.3 Line chart of percentage increase

5 結(jié) 論

本文提出了一種多分辨率配準(zhǔn)點(diǎn)的ICP算法.該算法使用法向量夾角平均值來度量點(diǎn)云各點(diǎn)的特征；引入分級和多分辨率概念，以特征關(guān)鍵點(diǎn)為主，非特征關(guān)鍵點(diǎn)為輔來選取配準(zhǔn)點(diǎn)，利用低分辨率下選取的少數(shù)匹配點(diǎn)對迅速完成配準(zhǔn)，利用高分辨率下選取的大量匹配點(diǎn)對提升配準(zhǔn)精度；在選取匹配點(diǎn)對方面，利用點(diǎn)的曲率信息計(jì)算所提出的匹配度，根據(jù)匹配度在目標(biāo)點(diǎn)集局部區(qū)域確定匹配點(diǎn)對；在估計(jì)點(diǎn)云法向量、曲率，計(jì)算法向量夾角平均值、匹配點(diǎn)中的查詢鄰域點(diǎn)方面，使用KD-tree加速，并且在確定匹配點(diǎn)對時(shí)，根據(jù)計(jì)算需要來計(jì)算相應(yīng)點(diǎn)的曲率信息，從而簡化配準(zhǔn)過程中的時(shí)間復(fù)雜度.上述實(shí)驗(yàn)表明，本文算法較傳統(tǒng)ICP算法和文獻(xiàn)[10]算法，在精度和速度方面都有明顯提升，且速度提升幅度隨點(diǎn)云規(guī)模增加有遞增趨勢.

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