陳露

【關鍵詞】導數(shù)不等式單調(diào)性最值

導數(shù)是高中生學習函數(shù)性質(zhì)的一種重要工具。例如求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求最大（?。┲怠⑶蠛瘮?shù)的值域等等。而在處理與不等式有關的綜合性問題時往往需要利用函數(shù)的性質(zhì)；因此，很多時侯可以利用導數(shù)作為工具得出函數(shù)性質(zhì)，從而解決不等式的一些問題。下面我簡單探討導數(shù)在解決與不等式有關的問題時的作用，請各位老師指導。

一、利用導數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證明不等式

我們知道函數(shù)在某個區(qū)間上的導數(shù)值大于（或小于）0時，則該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增（或遞減）。因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，有時可以構(gòu)造函數(shù)，用導數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，然后再用函數(shù)單調(diào)性達到證明不等式的目的。即把證明不等式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的單調(diào)性。具體有如下幾種形式：

1.直接構(gòu)造函數(shù)

直接構(gòu)造函數(shù)，然后用導數(shù)證明該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增（減）區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值越大（?。?，來證明不等式成立。

例1：x>0時，求證；x-x22-ln（1+x）<0

證明：設f（x）= x-x22-ln（1+x） （x>0）， 則f ′（x）=-x21+x

∵x>0，∴f ′（x）<0，故f（x）在（0，+∞）上遞減，

所以x>0時，f（x）

2.合理變形后再構(gòu)造函數(shù)

有時無法直接求導而利用函數(shù)單調(diào)性，此時把不等式變形后再構(gòu)造函數(shù)，然后利用導數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，達到證明不等式的目的。

例2：已知：a，b∈R，b>a>e， 求證：ab>ba， （e為自然對數(shù)的底）

證：要證ab>ba只需證lnab>lnba 即證：blna-alnb>0

設f（x）=xlna-alnx （x>a>e）；則f′ （x）=lna-ax，

∵a>e，x>a ∴l(xiāng)na>1，ax<1，∴f ′（x）>0，因而f（x）在（e， +∞）上單調(diào)遞增

∵b>a，∴f（b）>f（a）；故blna-alnb>alna-alna=0；即blna>alnb 所以ab>ba成立。

（注意，此題若以a為自變量構(gòu)造函數(shù)f（x）=blnx-xlnb （e

則f ′（x）=bx-lnb，f ′（x）>0時xblnb，故f（x）在區(qū)間（e， b）上的增減性要由e與blnb的大小而定，當然由題可以推測e>blnb

故f（x）在區(qū)間（e， b）上的遞減，但要證明e>blnb則需另費周折，因此，本題還是選擇以a為自變量來構(gòu)造函數(shù)好，由本例可知用函數(shù)單調(diào)性證明不等式時，如何選擇自變量來構(gòu)造函數(shù)是比較重要的。）

二、利用導數(shù)求出函數(shù)的最值后，再證明不等式

導數(shù)的另一個作用是求函數(shù)的最值. 因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，可以構(gòu)造函數(shù)，用導數(shù)求出該函數(shù)的最值；由當該函數(shù)取最大（或最?。┲禃r，不等式都成立，可得該不等式恒成立。從而把證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題。

例3：f（x）=13x3-x， x1，x2∈[-1，1]時，求證：|f（x1）-f（x2）|≤43

證明：∵f ′（x）=x2-1， x∈[-1，1]時，f ′（x）≤0，

∴f（x）在[-1，1]上遞減.故f（x）在[-1，1]上的最大值為f（-1）=23

最小值為f（1）=-23，即f（x）在 [-1，1]上的值域為[-23，23]；

所以x1，x2∈[-1，1]時，|f（x1）|≤23]， |f（x2）|≤23]，

即有 |f（x1）-f（x2）|≤|f（x1）|+ |f（x2）| ≤23+23=43

三、利用導數(shù)解決不等式恒成立問題

不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量分離后可以轉(zhuǎn)化為m>f（x） （或m

例4：已知函數(shù)f（x）=（ax+x）9（a∈R），對f（x）定義域內(nèi)任意的x的值，

f（x）≥27恒成立，求a的取值范圍

解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），由f（x）≥27對一切x∈（0，+∞）恒成立

知ax+x≥ = 對一切x∈（0，+∞）恒成立，

即a≥x-xx對x∈（0，+∞）恒成立

設h（x）=x-xx，則h′（x）=-32x，，由h′（x）=0解x=4 9

h′（x）>0時，解得00時x>4 9

所以h（x）在（0，4 9）上遞增，在（4 9，+∞）上遞減，

故h（x）的最大值為h（4 9）=49，所以 a≥49

總之，無論是證明不等式，還是解不等式，只要在解題過程中需要用到函數(shù)的單調(diào)性或最值，我們都可以用導數(shù)作工具來解決。這種解題方法也是轉(zhuǎn)化與化歸思想是高中學生解決數(shù)學問題的重要能力體現(xiàn)。

【參考文獻】

[1]趙大鵬：《3+X高考導練.數(shù)學》，中國致公出版社

[2]王宜學：《沙場點兵.數(shù)學》，遼寧大學出版社

[3]《狀元之路.數(shù)學》

（指導老師：耒陽市第二中學 龍小連）

（作者單位：耒陽市第二中學H1520班）