王興

(西安理工大學(xué)理學(xué)院,陜西 西安 710054)

1 引言

隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展,經(jīng)典的Laplacian算子在描述物理、化學(xué)、生物甚至是金融學(xué)中的新現(xiàn)象和新的客觀規(guī)律時具有很大的局限性.上個世紀(jì)八十年代以來,隨著相變理論、反常擴(kuò)散、黏彈性力學(xué)、材料力學(xué)、多孔介質(zhì)力學(xué)、多重散射、量子力學(xué)、信號和系統(tǒng)識別[1-4]等領(lǐng)域的發(fā)展,研究人員發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階Laplacian方程相較于整數(shù)階微分方程能更好地描述涉及記憶、遺傳效應(yīng)以及路徑依賴和全局相關(guān)性的物理過程.因此,近些年來,分?jǐn)?shù)階微分方程理論及應(yīng)用方面的研究得到了許多學(xué)者的廣泛關(guān)注并有著迅猛發(fā)展.

本文討論一類來源于非牛頓流體、彈性電介質(zhì)膜和微型機(jī)電系統(tǒng)中的含奇異項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階Laplacian方程:

其中?是N維空間RN中的有界光滑區(qū)域,是非負(fù)函數(shù),λ＞0是實(shí)參數(shù).由于所以,稱此類方程為奇異方程.

自上世紀(jì)60,70年代以來,含有奇異項(xiàng)的經(jīng)典Laplacian方程:

得到了廣泛關(guān)注.1977年,文獻(xiàn) [5]利用逼近方法得到,當(dāng)λ=0,p(x)∈Cα(?)時,奇異Laplacian方程(Q)有唯一的古典解,成為該領(lǐng)域奠基性工作.2001年龍以明院士等[6]利用Ekeland變分原理,研究了次臨界增長下奇異Laplacian方程:

證明了當(dāng)λ較小時,方程有2個正弱解.2013和2014年,文獻(xiàn)[7-8]將上述工作推廣到臨界情形得到了當(dāng)λ較小時,上述方程正弱解和古典解的存在性.2017年,文獻(xiàn)[9]又得到了超臨界增長時,上述方程正弱解的存在性與正則性.目前,針對奇異分?jǐn)?shù)階Laplacian方程的研究更為少見.已有的主要工作是,2014年,文獻(xiàn)[10]考慮了如下奇異分?jǐn)?shù)階問題:

其中0＜s＜1,γ＞0.利用擾動方法,作者得到了該問題正弱解的存在唯一性.文獻(xiàn)[11]運(yùn)用構(gòu)造逼近解序列的方法,得到了如下具有臨界增長指數(shù)的奇異分?jǐn)?shù)階Laplacian方程在特定弱意義下解的存在性和多重性,

其中

本文將在已有工作的基礎(chǔ)上,首次運(yùn)用閉錐上的臨界點(diǎn)理論,研究非線性項(xiàng)具有任意增長性的奇異分?jǐn)?shù)階Laplacian方程.此方法,為研究奇異分?jǐn)?shù)階方程提供了新的有效途徑.

2 預(yù)備知識[12]

定義 2.1設(shè)??RN是光滑有界區(qū)域,p≥1,s∈(0,1),則分?jǐn)?shù)階Sobolev空間定義為

并賦予范數(shù)

特別地,當(dāng)p=2時,記Hs(?)=Ws,2(?),且Hs(?)依內(nèi)積

構(gòu)成Hilbert空間.

定義 2.2設(shè)??RN是光滑有界區(qū)域,p≥1,s∈(0,1),則分?jǐn)?shù)階Sobolev空間定義為按照范數(shù)的完備化空間.特別地,當(dāng)p=2時,記

定義 2.3設(shè)s∈(0,1),定義分?jǐn)?shù)階Laplacian算子(??)s為:

引理 2.4(嵌入定理)設(shè) ??RN是光滑有界區(qū)域,s∈(0,1),N＞2s,則存在常數(shù)C?=C(N,s,?),使得不等式

成立,其中

定義 2.5若,使得等式

成立,則稱u是問題(P)的弱解.

引理 2.6設(shè)λi是Laplacian方程

的特征值,φi是相應(yīng)的特征函數(shù),s∈(0,1),N ＞2s,則是分?jǐn)?shù)階Laplacian方程的特征值,φi是屬于λsi的特征函數(shù).

根據(jù)橢圓方程理論知,引理2.6中的特征函數(shù)列φi是L2(?)空間的一組完備正交基,所以可定義如下空間.

定義 2.7設(shè)函數(shù)u∈L2(?),若存在序列{μi}滿足

使得

則稱u屬于空間H,即

并賦予范數(shù)為

由文獻(xiàn)[13]知,空間H在范數(shù)‖·‖H下構(gòu)成Banach空間,且H ?H?s(?).

3 主要結(jié)果

定理 3.1設(shè)??RN(N≥3)是有界光滑區(qū)域,

f(t)是局部Lipschitz函數(shù),滿足下列條件f(0)=0,f(t)＞0,以及

則存在Λ＞0使得當(dāng)λ∈(0,Λ)時,方程(P)至少有一個正弱解

其中λ1,φ1分別是Laplacian方程的最小特征值及其特征函數(shù).

注 3.1由于分?jǐn)?shù)階Laplacian方程(P)具有奇異非線性項(xiàng)p(x)u?γ,所以方程(P)相應(yīng)的能量泛函

在全空間不是Frechet可微的.因此不能直接運(yùn)用臨界點(diǎn)理論尋求方程的弱解,這給問題的研究帶來本質(zhì)上的困難.經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn),當(dāng)能量泛函限制在正則函數(shù)構(gòu)成的閉錐上是Frechet可微的.所以,針對奇異分?jǐn)?shù)階Laplacian方程我們首次運(yùn)用閉錐上的臨界點(diǎn)理論證明定理3.1.

4 定理3.1的證明

令

顯然E是分?jǐn)?shù)階Sobolev空間的稠密子集,且對于任意的ε＞0集合是E的閉錐.下面給出能量泛函在閉錐上的Frechet可微性.

引理 4.1能量泛函Jλ(u)在上Frechet可微,且在弱意義下Jλ(u)的Frechet導(dǎo)數(shù)為:

證明首先令

則

因此

即在弱意義下有J1′u=u成立.

其次,令

下證J2(u)在閉凸集上Frechet可微.對于任意取定的以及任意ν ∈E,當(dāng)t充分小時由積分中值定理得

其中θ(x)∈[0,1]是?上的可測函數(shù).注意到由u≥εφ1,可得

意義的.進(jìn)一步計算得

即在弱意義下有J2′(u)=K(p(x)u?γ).

最后令

利用f的局部Lipchitz連續(xù)性,令t→0,得

因此,在弱意義下有J3′u=K(f).綜合上述討論可得Jλ(u)在 Πε上Frechet可微,且引理4.1得證.

引理 4.2對于任意取定的λ＞0,若是方程 (P)的正弱解,則存在實(shí)數(shù)ε(λ)＞0 使得u ∈Πε(λ).

證明由定理3.1的 (F1)得:存在常數(shù)M1＞0,δ1＞0,使得當(dāng)

時,有

再由定理3.1的(F2)得:存在常數(shù)M2＞0,δ2＞0使得,當(dāng)

時有

因此,由定義 2.7,存在h(x)∈H?s(?),使得

即在弱意義下有

由文獻(xiàn) [13]中引理2.4和引理2.5得:存在緊子集ω???,有ηω=essinf|ωu＞0;且存在常數(shù)Cω＞0使得u(x)＞ Cωd(x),?x∈?ω,其中d(x)=d(x,??)是點(diǎn)x到邊界?? 的距離.從而,再利用φ1的整體正則性得:存在常數(shù)ε(λ)＞0,使得u(x)≥ ε(λ)φ1(x),?x∈?.

進(jìn)一步,得

由文獻(xiàn)[14]中的定理1.5得:正弱解

因此,存在實(shí)數(shù)ε(λ)＞0 使得u ∈Πε(λ).

引理4.2得證.

引理 4.3存在 Λ＞0,使得當(dāng)λ∈(0,Λ),條件(F1)與(F2)成立時,能量泛函Jλ(u)在閉錐 Πε(λ)上滿足 PS 條件.

證明設(shè){un}?Πε(λ)是Jλ(u)對應(yīng)的PS序列,即|Jλ(un)|≤C,且下證{un}有子列在Πε(λ)中收斂.因?yàn)樗詫θ我獾挠?/p>

特別地,取φ=un,得

因此可得

另一方面,由(1)式和H?lder不等式知,存在C′＞0使得

由條件(F1)與(F2)得:存在常數(shù)C′＞0使得

由引理2.4的(1)式,上式(4)可進(jìn)一步放縮為:

將(3),(5)式代入(2)式得

顯然存在充分小的 Λ＞0,使得當(dāng)λ∈(0,Λ)時,有 1?λC′C?＞0.從而由 (6)式得有界,即{un}是中的有界集.

另一方面,由引理4.1得:

因此

其中 (7)式左邊的K=(??)?s是緊算子.借助于{un}的有界性,得到o(1)+Kgλ(x,un)是中的列緊集.因此 (7)式右端的{un}是中的列緊集,所以有子列在中強(qiáng)收斂于

因此,u ≥ ε(λ)φ1,且運(yùn)用引理4.2同樣的證明方法,得到綜上得u ∈Πε(λ),所以Jλ(u)在閉錐 Πε(λ)上滿足 PS 條件.

引理4.3得證.

定理 3.1的證明由于Jλ(u)在閉錐Πε(λ)上滿足PS條件,由變分學(xué)知識,我們只需證明能量泛函Jλ(u)是強(qiáng)制的.從而Jλ(u)在Πε(λ)上存在臨界點(diǎn),即為方程(P)的正弱解.

由(3)式,存在常數(shù)C1＞0使得對于任意的u∈Hs0(?),有

由條件(F1)得:存在常數(shù)N1＞0,ε1＞0,使得當(dāng)x∈?1={∈?|0≤u(x)＜N1}時,有

由條件(F2)得:存在常數(shù)N2＞N1,ε2＞0,使得當(dāng)x∈?2={∈?|u(x)＞N2}時,有

顯然,當(dāng)x∈?(?1∪?2)時有N1≤u(x)＜N2.因此,存在常數(shù)C2＞0,使得

從而

因此,由 (8),(10)以及 (1)得:對于任意的u∈Πε(λ),有

所以,Jλ(u)在閉錐Πε(λ)上是強(qiáng)制的下方有界的.

定理3.1得證.

[1]Caffarelli L.Further regularity for the Signorini problem[J].Comm.Partial Differential Equations,1979,4:1067-1075.

[2]Caffarelli L,Vasseur A.Drift diffusion equations with fractional diffusion and the quasi-geostrophic equation[J].Annals of Mathematics.Second Series,2010,171:1903-1930.

[3]Craig W,Groves M.Hamiltonian long-wave approximations to the water-wave problem[J].Wave Motion,1994,19:367-389.

[4]Craig W,Schanz U,Sulem C.The modulational regime of three-dimensional water waves and the Davey-Stewartson system[J].Ann.Inst.H.Poincare,Anal.Non-Lineaire,1997,14:615-667.

[5]Crandall M G,Rabinowitz P H,Tartar L.On a Dirichlet problem with a singular nonlinearity[J].Comm.Partial Differential Equations,1997,2:193-222.

[6]Sun Y J,Wu S P,Long Y M.Combined effects of singular and superlinear nonlinearities in some singular boundary value problems[J].J.Differential Equations,2001,176:511-531.

[7]Wang X,Zhao L,Zhao P H.Combined effects of singular and critical nonlinearities in elliptic problems[J].Nonlinear Anal.,2013,87:1-10.

[8]Wang X,Zhao P H,Zhang L.The existence and multiplicity of classical positive solutions for a singular nonlinear elliptic problem with any growth[J].Nonlinear Anal.,2014,101:37-46.

[9]Wang X,Qin X Q,Hu G.Existence of weak positive solution for a singular elliptic problem with supercritical nonlinearity[J].Anal.Math.Phys.(2017).http://doi.org/10.1007/s13324-016-0162-4.

[10]Fang Y.Existence,uniqueness of positive solution to a fractional Laplacians with singular nonlinearity[J].Mathematic.Preprint(2014),http://arxiv.org/pdf/1403.3149.pdf.

[11]Mukherjee T,Sreenadh K.Critical growth fractional elliptic problem with singular Nonlinearities[J].Preprint(2017),http://arxiv.org/pdf/1602.07886.pdf.

[12]Giovanni M B,Vicentiu D R,Raffaella S.Variational Methods for Nonlocal Fractional Problems[M].Cambridge:Cambridge University Press,2016.

[13]Capella A,Davila J,Dupaigne L,et al.Regularity of radial extremal solutions for some non-local semilinear equations[J].Comm.Partial Differential Equations,2011,36(8):1384-1353.

[14]Caffarelli L,RaulStinga P.Fractional elliptic equations,Caccioppoli estimates and regularity[J].Ann.Inst.H.PoincaréAnal.Non-Linéaire,2016,33:767-807.