王馨

摘要：本文考察與分析了李子金著作《幾何易簡(jiǎn)集》，揭示了李子金對(duì)《幾何原本》的理解與反應(yīng)。《幾何易簡(jiǎn)集》根植于傳統(tǒng)中算，同時(shí)對(duì)西方幾何學(xué)有深刻認(rèn)識(shí)。李子金認(rèn)為天地間的“道”必須通過(guò)研究數(shù)學(xué)追尋。

關(guān)鍵詞：李子金；幾何原本；幾何易簡(jiǎn)集

清初中算家李子金的《幾何易簡(jiǎn)集》是一部會(huì)通《幾何原本》的著作。目前對(duì)李子金的生平與其三角學(xué)工作已經(jīng)有所研究，而對(duì)其在幾何學(xué)領(lǐng)域做出的工作仍有待深入?！稁缀我缀?jiǎn)集》選取《幾何原本》部分命題進(jìn)行證明，通過(guò)以“數(shù)明之”、“勾股明之”的方式加以闡述。書(shū)中運(yùn)用勾股術(shù)，體現(xiàn)了中西數(shù)學(xué)本質(zhì)相通。

1 生平

李之鉉（1622—1701），字子金，號(hào)隱山，河南柘城人。因避康熙帝玄燁諱而以字行，故稱(chēng)李子金。

李子金自幼聰明好學(xué)，天資過(guò)人，“清才雋思，童年即駕其曹”[1]。初從事道學(xué)、天學(xué)，對(duì)易經(jīng)八卦星相歷法多有研究。好友劉榛（1635—1690）寫(xiě)道：

子金多藝術(shù)而尤喜神仙家言，嘗衣寬博之衣，色正白，頂毗盧帽來(lái)應(yīng)學(xué)使者，試而言神仙于稠人之途，昉、廉以異端呼之。[2]

可見(jiàn)李子金行事特立獨(dú)行。四十九歲那年李子金認(rèn)為自己功名無(wú)望，潛心歷算。他將后半生精力用于歷算之學(xué)。1676年完成《天弧象限表》與《算法通義》，1679年完成《幾何易簡(jiǎn)集》，1682年完成《書(shū)學(xué)慎余》，1683年寫(xiě)成《天弧象限表》，1688年寫(xiě)成《歷范》，1690年寫(xiě)成《狂夫之言》。

2 數(shù)之所以然即道：《幾何易簡(jiǎn)集》與《幾何原本》

《幾何易簡(jiǎn)集》自序作于“康熙己未（1679年）春二月清明日”。[3]共四卷，卷一為《幾何要法》刪注，由點(diǎn)、線(xiàn)、面至作圖器具與方法。卷二至卷四為《幾何原本》刪注，選取了四十三道命題。證明依《原本》方法，附有李子金的見(jiàn)解。意在“于其至淺而以為不足道者，盡去之。于其至深而以為不能至者，從而旁通之，發(fā)明之。使《原本》之微機(jī)妙義璨若指掌，而《要法》所載皆無(wú)一不可解者?！盵3]2b現(xiàn)擇其要者簡(jiǎn)述如下。

《幾何易簡(jiǎn)集》二卷第十題（《幾何原本》二卷第十一題）。

本題討論“理分中末線(xiàn)”，為清初中算家所重視?！稁缀我缀?jiǎn)集》的作法與證明與《幾何原本》相同。先作甲乙全線(xiàn)所在正方形，平分甲丁于戊，作戊巳與戊乙等，再作甲巳與甲庚等。證明則援引《原本》二卷十題結(jié)論：甲丁平分于戊，又引長(zhǎng)至巳。則丁巳與壬丁長(zhǎng)方形與甲丁正方形相等，故丙庚長(zhǎng)方形與甲辛正方形相等，得證。

李子金以數(shù)明之：“以數(shù)考之，雖有奇零不盡之處，而其理則如是也?！盵3]9a他假設(shè)甲丁元線(xiàn)為股，長(zhǎng)八寸；折半得甲戊為勾，長(zhǎng)四寸。據(jù)勾股定理得戊乙弦長(zhǎng)為八寸九分四厘四毫強(qiáng)，即略大于八寸九分四厘四毫。依此得到（4×√5）的近似值。甲庚大分四寸九分四厘四毫為甲乙全線(xiàn)八寸的十分之六一八，而庚乙小分三寸零五厘六毫為甲庚大分四寸九分四厘四毫的十分之六一八。由此得到一線(xiàn)分身連比例的比值。

本題最后提出“以勾股之率量之更為簡(jiǎn)捷。只以初率之元線(xiàn)為股，折半為勾，勾弦差為中率，以勾弦差減股余為末率足矣?！盵3]11a這與梅文鼎以勾股解“理分中末線(xiàn)”方法相合。

《幾何易簡(jiǎn)集》三卷第十四題即《幾何原本》六卷第三十題“求作理分中末線(xiàn)?！崩钭咏鹨廊幌茸裱对尽纷鞣?，隨后給出自己的解法。

以甲乙為全線(xiàn)作正方形，甲丁平分于壬，連結(jié)乙壬，作庚壬與乙壬等，再作甲辛與甲庚等，則辛分甲乙得理分中末線(xiàn)。該法亦見(jiàn)于梅文鼎《幾何通解》，二人再次達(dá)成默契。其實(shí)質(zhì)在于通過(guò)構(gòu)造兩直角邊比為1：2的直角三角形從而獲得長(zhǎng)為√5的斜邊。

3 結(jié)論

通觀(guān)李子金《幾何易簡(jiǎn)集》可知《幾何易簡(jiǎn)集》保留了《幾何原本》“以數(shù)明之”，同時(shí)附上“以勾股明之”。以達(dá)到“旁通之，發(fā)明之，使《幾何原本》之微機(jī)妙義璨若指掌?！崩钭咏鹩?jì)算出一線(xiàn)分身連比例的比值為十分之六一八，并以勾股術(shù)構(gòu)造出“理分中末線(xiàn)”。這兩項(xiàng)工作在中算家中均屬首創(chuàng)。李子金書(shū)中“以數(shù)明之”、“以勾股明之”背后蘊(yùn)含著“數(shù)之所以然即道”的思想。這建立在他親眼見(jiàn)證命題所展現(xiàn)的美妙數(shù)學(xué)關(guān)系之上。

參考文獻(xiàn)：

[1]《李子金傳》，轉(zhuǎn)引自高宏林.清初數(shù)學(xué)家李子金[J].中國(guó)科技史料，1990年一期.

[2]劉榛.李子金、孫昉、鄭廉傳，《虛直堂文集》.四庫(kù)未收書(shū)輯刊，7輯25冊(cè)，清康熙刻補(bǔ)修本.

[3]李子金.幾何易簡(jiǎn)集自序，《幾何易簡(jiǎn)集》，北京圖書(shū)館古籍珍本叢刊，84冊(cè)，書(shū)目文獻(xiàn)出版社，1998，《幾何序》3a.

項(xiàng)目基金：國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金項(xiàng)目（13AZS022）