葛新燕 張 俊

江蘇省興化市第一中學(xué) (225700)

變式教學(xué)是我國(guó)一種典型的、傳統(tǒng)的教學(xué)方式，被廣大數(shù)學(xué)教師自覺(jué)或不自覺(jué)地應(yīng)用于自己的課堂教學(xué)中．在日常聽(tīng)課中，筆者發(fā)現(xiàn)不少教師運(yùn)用變式進(jìn)行教學(xué)時(shí)，缺乏目標(biāo)導(dǎo)向，純粹為了變式而變式，導(dǎo)致教學(xué)效果低下，不利于學(xué)生的發(fā)展和教學(xué)效益的提高．

促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展是教學(xué)的最終旨?xì)w，因此，引入變式實(shí)施教學(xué)同樣需要考慮該變式能否促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展．為了實(shí)現(xiàn)變式促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的功能，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科而言，它必須有助于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、優(yōu)化思維品質(zhì)、提高數(shù)學(xué)探究能力．離開(kāi)了這些，侈談變式教學(xué)是否有效只是空談．

1.有助于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)

數(shù)學(xué)是科學(xué)的語(yǔ)言，以抽象著稱于世．可以說(shuō)，抽象成就了數(shù)學(xué)，卻也因此使很多學(xué)生望而生畏，談之色變．很多時(shí)候，學(xué)生由于掌握不了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)而導(dǎo)致喪失繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)中的一些重點(diǎn)、難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，借助變式，幫助學(xué)生理解是一種行之有效的手段．評(píng)價(jià)變式教學(xué)，也應(yīng)該考慮其是否有助于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)．

案例1 已知函數(shù)y=f(1+x)的定義域?yàn)閇0,1]，試求函數(shù)y=f(1-x)的定義域．

解：因?yàn)閥=f(1+x)的定義域?yàn)閇0,1]，所以1≤1+x≤2，所以y=f(x)的定義域?yàn)閇1,2]．由1≤1-x≤2,得-1≤x≤0，所以函數(shù)y=f(1-x)的定義域?yàn)閇-1,0]．

對(duì)于很多高一學(xué)生而言，這類習(xí)題是一道難以逾越的障礙，很多學(xué)生越不過(guò)這道坎．教師雖然講得天花亂墜，但學(xué)生就是迷惑為什么要這樣做的根由，只能靠死記硬背，機(jī)械的“掌握”這類問(wèn)題的方法，但在心靈深處留下的卻是恐懼?jǐn)?shù)學(xué)的陰影．因此，不讓學(xué)生從本源上理解上述解法的本質(zhì)，無(wú)法讓學(xué)生從“惑”中走出來(lái)，這對(duì)日后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生的負(fù)面影響將是深遠(yuǎn)的．

充分發(fā)揮變式的作用和功能，從學(xué)生熟悉的問(wèn)題出發(fā)，搭建思維扶梯，逐層深入，是可以突破這一教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)的．

變式3 已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇0,1]，試求函數(shù)y=f(1-x)的定義域．

變式4 已知函數(shù)y=f(1+x)的定義域?yàn)閇0,1]，試求函數(shù)y=f(x)的定義域．

以上4個(gè)變式的解決過(guò)程，從易到難，從形象到抽象，為原題的理解做了足夠的鋪墊，這時(shí)再出示原題，問(wèn)題解決已是水到渠成．“為理解而教”，應(yīng)是數(shù)學(xué)教師矢志不渝的追求目標(biāo)．為了進(jìn)一步深化學(xué)生的理解，根據(jù)學(xué)生的接受情況可酌情再提出以下變式題供學(xué)生思考．

變式5 已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇0,1]，試求函數(shù)y=f(1-x)+f(1+x)的定義域．

變式6 已知函數(shù)y=f(1+x)的定義域?yàn)閇0,1]，試求函數(shù)y=f(1-x)+f(1+x)的定義域．

變式1 求和：2+22+23+…+2n．

變式2 求和：1+2+22+23+…+2n．

變式3 求和：a+a2+a3+…+an．

變式4 求和：1+a+a2+a3+…+an.

通過(guò)變式，展現(xiàn)公式使用的前提，公式成立的依附條件，在逐層深入中，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)辨析與公式有關(guān)的判斷和運(yùn)用．

2.有助于優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目的在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，而數(shù)學(xué)思維能力又反映在通常所說(shuō)的思維品質(zhì)上．思維品質(zhì)是評(píng)價(jià)和衡量學(xué)生思維優(yōu)劣的重要標(biāo)志，因此，變式教學(xué)中必須要重視優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)．

思維品質(zhì)主要表現(xiàn)在五個(gè)方面：思維的廣闊性、思維的深刻性、思維的靈活性、思維的批判性、思維的獨(dú)創(chuàng)性．在教學(xué)中，需要引入變式時(shí)，教師必須要考慮其是否有助于學(xué)生思維品質(zhì)的優(yōu)化，或有目的的設(shè)計(jì)優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)的變式．

思維的廣闊性表現(xiàn)在能多方面、多角度的去思考問(wèn)題，善于發(fā)現(xiàn)事物之間多方面的聯(lián)系，找到多種解決問(wèn)題的方法，并能將它推廣到相似的問(wèn)題中去．思維的廣闊性不僅僅停留在問(wèn)題的多解上，還表現(xiàn)在能否提出類似的問(wèn)題，能否將結(jié)論一般化等．

為了培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性，可以從以下幾個(gè)方面著手展開(kāi)變式教學(xué)：

①研究這個(gè)問(wèn)題的多種解法

②引導(dǎo)學(xué)生提出類似的問(wèn)題

③引導(dǎo)學(xué)生思考結(jié)論的拓展變式

案例4 在正、余弦定理章節(jié)部分，經(jīng)常遇到如下習(xí)題：在ΔABC中，sinA>sinB．

為了培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性、深刻性，可提出如下有效變式：

變式1 在ΔABC中，是否cosA>cosB成立？

變式2 在ΔABC中，是否tanA>tanB成立？

變式3 在ΔABC和ΔA′B′C′中，若sinA=sinA′且sinB=sinB′，是否有A=A′,B=B′成立？

變式4 在ΔABC和ΔA′B′C′中，若sinA=sinA′且sinB=sinB′，sinC=sinC′是否有A=A′,B=B′,C=C′成立？

變式5 在ΔABC和ΔA′B′C′中，若sinA>sinA′且sinB>sinB′，是否有A>A′,B>B′成立？

變式6 在ΔABC和ΔA′B′C′中，若sinA>sinA′且sinB>sinB′，sinC>sinC′是否有A>A′,B>B′,C>C′成立？

3.有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力

數(shù)學(xué)探究是高中數(shù)學(xué)課程中引入的一種新的學(xué)習(xí)方式．?dāng)?shù)學(xué)探究即數(shù)學(xué)探究性課題學(xué)習(xí)，是指學(xué)生在教師的指導(dǎo)下圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，合作交流、深入探索、主動(dòng)學(xué)習(xí)、獲得提高的過(guò)程．變式教學(xué)在提高學(xué)生的探究能力方面有著得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，因此教學(xué)中應(yīng)力圖展現(xiàn)這一優(yōu)勢(shì)．

案例5 若函數(shù)f(x)為可導(dǎo)的奇函數(shù)，求證：f′(x)為偶函數(shù)．

對(duì)于這一問(wèn)題，教師可創(chuàng)設(shè)開(kāi)放的教學(xué)環(huán)境，通過(guò)有效變式，引領(lǐng)學(xué)生積極思考、主動(dòng)探索，在情感投入中獲得發(fā)展，智力探險(xiǎn)中提高能力．

變式1 若函數(shù)f(x)為可導(dǎo)的偶函數(shù)，問(wèn)f′(x)是否為奇函數(shù)？

奇函數(shù)圖像是關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的，將其推廣，自然會(huì)考慮：如果可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱，那么又會(huì)有什么結(jié)論呢？

變式2 若可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱，試探索函數(shù)f′(x)的圖像的對(duì)稱性．

變式3 若可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于x=a軸對(duì)稱，試探索函數(shù)f′(x)的圖像的對(duì)稱性．

變式4 若可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,b)中心對(duì)稱，試探索函數(shù)f′(x)的圖像的對(duì)稱性．

變式5 你還可以探索出什么樣的結(jié)論？

案例6 在學(xué)習(xí)了橢圓的第一定義后，為了提高學(xué)生探究意識(shí)，提升探究性能力，可提出如下變式：

變式1 平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)之和等于定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？

變式2 空間內(nèi)，到兩定點(diǎn)之和等于定長(zhǎng)(定長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)之和)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？

變式3 平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)之差等于定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？

變式4 平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)之積等于定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？

變式5 你還能提出類似的問(wèn)題嗎？

在學(xué)習(xí)橢圓的第二定義后，可繼續(xù)引入如下變式：

變式6 平面內(nèi)，到定點(diǎn)與定直線(定點(diǎn)不在定直線上)的距離之和等于定值的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？

變式7 你還能提出什么樣的問(wèn)題呢？

以上兩個(gè)案例，基于最基礎(chǔ)的知識(shí)點(diǎn)，有效地運(yùn)用了變式教學(xué)的方式，將學(xué)生思維帶到一片未開(kāi)發(fā)的地帶，既激發(fā)了他們對(duì)知識(shí)的興趣，喚起了潛在的好奇心，更在潤(rùn)物無(wú)聲中培養(yǎng)了他們探索未知的能力．這對(duì)學(xué)生未來(lái)的成長(zhǎng)，無(wú)疑是非常有益的．

教育的對(duì)象是人，變式教學(xué)作為一種有意義的教學(xué)方式，同樣應(yīng)該將人的發(fā)展排在首位．只要我們心有學(xué)生，我們一定可以借助變式這一教學(xué)法寶，幫助學(xué)生飛得更高更遠(yuǎn)．

[1]鮑建生,黃金榮,易凌峰,顧泠沅．變式教學(xué)研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué),2003(2)．

[2]張乃貴,張?。凇皢?wèn)題解決”的一次數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)[J]．中國(guó)數(shù)學(xué)教育(高中版)，2014(6)．

[3]張?。谧兪脚囵B(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2015(8)．