徐元熙

摘 要：欲非小角度擺的周期需結(jié)合使用理論分析，實驗探究，現(xiàn)象推理的方法，周期大小在重力加速度一定，忽略空氣阻力的時候，有擺長，擺角與擺錘質(zhì)量可能對其進行影響。當擺角小于5度，擺長在1米左右，可當作簡諧運動處理，其理論結(jié)果與實際結(jié)果相差不遠。而當擺角較大，擺長較小時，不能當作簡諧運動處理。因此需要進一步研究。

關(guān)鍵詞：單擺；周期；橢圓積分；能量守恒

中圖分類號：TB 文獻標識碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2018.06.080

1 引言

簡諧運動為位移與時間關(guān)系遵從正弦（或余弦）函數(shù)規(guī)律的振動，其周期T=2π×mk，其中m為振子質(zhì)量，k為振動系統(tǒng)的回復力系數(shù)，所以知道小角度擺的周期T=2π×Lg，其中L為擺長，g為當?shù)刂亓铀俣?。我們認為：小角度擺之所以能夠當作簡諧運動處理，是因為它的角可以忽略不計，而大角度擺則需同時考慮擺長與擺角，所以需要新的的公式。

2 小角度擺

首先我們從小角度擺進行分析，對于一個小角度擺，其擺角大小趨近于0，設擺角為θ當它達到最高點時，其加速度為θg，將其運動等效于一個勻速圓周運動，其法相加速度等于gθ，同時也等于v2r，其中由于θ比較小，其半徑約為Lθ，可以解出v=θgl，該等效圓的周長=2πr=2πθl，其周期為周長與速度的比值，解得t=2πl(wèi)g，而大角度擺不成立的原因為其運動不能等效于一個勻速圓周運動。

3 理論分析

對于這類問題，一般有4種解法。包括最基本的牛頓第二定律與速度基本公式，比較巧妙的能量守恒，動量守恒。對于能量守恒，只能算出其速度與位移的關(guān)系，而對于計算周期并沒有什么直接作用，對于動量守恒，由于擺線與重力同時對其作用，由于在一段長時間內(nèi)在固定方向上動量不守恒，故很難算出其規(guī)律，而由于其主體為運動學問題，使用牛頓第二定律不如直接分析其運動，故只能回歸最初級的運動分析。由于很容易使用能量守恒算出每一小段的速度，并且可以根據(jù)速度算出每一小段所用時間。故很容易想到要使用微積分，從而將每一小段時間進行積分，進而算出整個周期。

4 思路概述

首先，通過能量守恒算出速度，其次，利用角速度是角度關(guān)于時間的一階導數(shù)，從而反解小段時間，再將所有小段時間進行積分，再用一系列三角函數(shù)恒等變化后，將此積分算出或轉(zhuǎn)變?yōu)椴豢山馕龇e分，從而得出最終答案。

5 理論推導

如圖所示，設單擺的長為L，擺錘的質(zhì)量為m，當單擺的偏角為θ，設此時擺錘速度為v，其動能為12mν2，其重力勢能為mgh，通過分析該系統(tǒng)內(nèi)的幾何關(guān)系，其中h=l（1-cosθ）由于均為保守力做功，可由能量守恒定律知，其機械能守恒，即動能與勢能總和一定，其勢能只有重力勢能。所以可以列出方程12mv2+l（1-cosθ）mg（c為常數(shù)），通過最高點狀態(tài)，求出常數(shù)c，可求出c=l（1-cosα）mg，將c代入得，12mv2+l（1-cosθ）mg=l（1-cosα）mg，化簡得12mv2=1mg（cosθ-cosα），進一步化簡得v2=21g（cosθ-cosα）（1）

由于角速度為角度的一階導數(shù)，而線速度為角速度乘以半徑，則有：

6 實驗探究

6.1 實驗用具

帶橫梁鐵架臺、細線、小球、秒表、游標卡尺、直尺、量角器。

6.2 實驗內(nèi)容

①組裝實驗器材如圖1所示，校準水平，調(diào)整角度，使得擺動在同一平面內(nèi)。

②調(diào)整擺長為L1，擺角為thita1，將其由靜止釋放，并按下秒表。記錄擺動15次的時間為t1。

③仿照②改變擺長擺角再做35次。

④分析數(shù)據(jù)，得出結(jié)論。

6.3 實驗誤差分析

試驗中，本地的重力加速度為一個不確定的值。故無法直接按照9.8m/s2算。并且現(xiàn)實中具有空氣阻力，測量值會有一定的偏差。橢圓積分只能知道它的近似值，不能知道準確值也會造成少量誤差。

7 單擺的應用

7.1 單擺機械鐘

圖2即是惠更斯擺鐘的基本結(jié)構(gòu)。鐘的機械動力仍由重錘提供，但擒縱器的擺動頻率由單擺控制。一個與擒縱器心軸連在一起的L形桿伸向單擺，L形桿的桿頭分叉，剛好卡住剛性的擺棍（如圖2），單擺擺動時帶動L形桿轉(zhuǎn)動，從而把擺動的頻率傳遞給擒縱器。擺鐘的優(yōu)越性在于，單擺的頻率與推動它的初始力量無關(guān)，而只與重力和擺長有關(guān)，這樣守時機構(gòu)就真的不再受到動力機構(gòu)的干擾了。之后，惠更斯又發(fā)明了一種游絲—擺輪裝置。游絲是一個螺旋形的彈簧，連在擺輪上，當擺輪向一個方向轉(zhuǎn)動，使游絲發(fā)生形變，產(chǎn)生一個力拉動擺輪回轉(zhuǎn)，在轉(zhuǎn)過平衡位置后，游絲再一次發(fā)生形變，又產(chǎn)生一個反向的力，重新把擺輪拉回來。這樣就能維持一種能夠周期性的震動，像橫擺、單擺一樣，用來控制擒縱器的頻率。游絲—擺輪與單擺一樣獨立于動力機構(gòu)，其頻率不受其他機械部分影響，而利用游絲—擺輪制成的鐘表相對于擺鐘的優(yōu)點主要在于不依靠重力，因此只要設計合理，那么其在移動中仍可準確走時，也就意味著相對更加便攜。后來英國人哈里森發(fā)明的第一臺能夠精確運行的航海鐘就采用這種機構(gòu)的。

7.2 測量當?shù)刂亓铀俣?/p>

單擺做簡諧運動時的周期由單擺的長度和當?shù)氐闹亓铀俣葲Q定，其周期為T=2πl(wèi)g，從中可以看到若能測得單擺運動的周期和擺長，則可計算出當?shù)氐闹亓铀俣?，這節(jié)我們來測量我們所在處的重力加速度。

問題一：測量重力加速度。

解讀：單擺在偏角很?。ㄐ∮?0°）時，其擺動可看成簡諧運動，其固有周期T=2πl(wèi)g，由該式可得g=4π2lT2，據(jù)此，我們只要通過實驗方法測出擺長l和周期T，就可以通過計算得到當?shù)氐闹亓铀俣萭。

問題二：實驗操作過程。

解讀：（1）讓細線穿過球上的小孔，在細線一端打一個稍大些的結(jié)，制成一單擺。

（2）將鐵夾固定在鐵架臺上端，鐵架臺放在實驗桌邊，使鐵夾伸出桌面之外，然后把單擺上端固定在鐵夾上，使擺球自由下垂。

（3）用刻度尺和游標卡尺測擺長（擺長l=擺線長l′+小球半徑r）。

（4）把此單擺從平衡位置拉開一個角度，并使這個角度不大于10°，然后放開擺球讓它自由擺動，待擺球擺動穩(wěn)定后，當擺球過最低位置時，用秒表開始計時，測出單擺完成50次（或30次）全振動的時間，求出完成一次全振動的時間，即周期T。

（5）改變擺長，反復測量幾次，求出重力加速度，算出重力加速度g的平均值。

問題三：實驗數(shù)據(jù)處理方法。

解讀：數(shù)據(jù)的處理一般有兩種方法，即計算平均值法和圖像法。

（1） 所謂平均值法，就是將測得的幾組l、T值代入關(guān)系式g=4π2lT2，求出幾個g值，然后求平均值。

（2）圖像法即以擺長l作為橫軸，以T2為縱軸，通過描點作出T2-l圖像，求出斜率k，則g=4π2k.則該地重力加速度g=4π2k=4π2tanα。

參考文獻

[1]黃正平.單擺周期公式的理解和應用[J].中學生數(shù)理化：高二版，2008，（9）.

[2]沈晨，許炎橋，袁張瑾.更高更妙的物理[M].杭州：浙江大學出版社，2010.