張云剛 劉如慧 汪梅婷 王允軒 李占勛 童凱

(燕山大學電氣工程學院,秦皇島 066004)

1 引 言

氣體濃度監(jiān)測被廣泛應用于環(huán)境保護、食品安全和醫(yī)學救助等領域.對SO2,NO,CO2等污染氣體的監(jiān)測,可實現(xiàn)對工業(yè)生產過程中排放污染物的監(jiān)測[1?3];微生物新陳代謝會產生CO2,因此可通過檢測CO2的濃度對食品是否變質進行判定[4];通過對人體呼出微量氣體的檢測來實現(xiàn)對心肺功能以及其他疾病的診斷[5,6].吸收光譜法因其具有高選擇性、抗干擾、高靈敏、非接觸性以及可實時在線監(jiān)測等優(yōu)點,成為氣體監(jiān)測領域的主要監(jiān)測方法.使用吸收光譜法檢測氣體濃度時,為了實現(xiàn)低濃度氣體的測量,需提高檢測系統(tǒng)的靈敏度.增加氣體有效光程作為提高氣體探測靈敏度最直接有效的方法,得到了廣泛的關注和研究.常用的增加氣體有效光程的方法有多通池、腔增強、多孔散射和積分球.其中,多通池和腔增強技術是通過增加光在樣品池內的鏡面反射次數(shù)來增加有效光程的[7,8].多孔散射法由瑞典隆德大學Svanberg的研究小組[9]于2001年首次提出,是一種檢測多孔散射材料中氣體濃度的方法,光進入散射材料后發(fā)生散射,實現(xiàn)了有效光程的增加.積分球是內表面涂有高漫反射材料的球體,通過光在積分球內的漫反射實現(xiàn)有效光程的增加.1996年,Tranchart等[10]首次將積分球作為氣體吸收池,用于可調諧二極管激光吸收光譜(tunable diode laser absorption spectroscopy,TDLAS)技術測量氣體濃度的實驗中,并實現(xiàn)了丁烷和水蒸氣濃度的測量.將積分球作為氣體吸收池進行氣體濃度測量,可以有效地避免鏡面反射易產生干涉條紋以及多孔散射材料噪聲大的缺點[11?13],但是積分球也存在著制作困難、價格昂貴、難于集成的問題.為了進一步拓展漫反射腔在高靈敏氣體檢測中的應用,在積分球的基礎上開展了漫反射立方腔的研究,通過實驗研究發(fā)現(xiàn)漫反射立方腔不僅具有積分球的優(yōu)點,而且制作簡單、價格低廉、易于集成.

TDLAS是由Hinkley和Reid于20世紀80年代提出的,通過對具有很窄發(fā)射波段的二極管激光器的調諧,使其掃描過一個完整的待測氣體的吸收譜線,根據(jù)采集到的吸收光譜來確定待測氣體濃度[14,15].TDLAS技術具有很高的選擇性,只要選擇合適的吸收線即可有效地避免其他氣體的干擾[16?18].近年來,將漫反射立方腔作為氣體吸收池進行氣體濃度檢測已有大量的理論和實驗研究,尤其是對漫反射立方腔的光程延長規(guī)律和氣體有效光程的研究方面[19].本文在增加有效光程實驗研究的基礎上開展了漫反射立方腔內的光線傳播規(guī)律的研究,利用有限元法對立方腔進行分割,仿真得到了單次反射平均光程(single re fl ection average optical path length,Lave)的模擬值.將得到的模擬值與理論值和實驗值進行了比較,發(fā)現(xiàn)三者具有很高的符合度,證明有限元法能夠實現(xiàn)對漫反射立方腔內光線傳播規(guī)律的模擬.

2 漫反射立方腔單次反射平均光程的理論和模擬研究

基于腔內光子傳輸方程,可得任意形狀的漫反射腔的單次反射平均光程[20,21]

其中,V為任意漫反射腔的體積,S為任意漫反射腔的表面積.

對于漫反射立方腔,其內部形成的是均勻且穩(wěn)定的光場[22].假設漫反射立方腔內壁的反射率接近于1,可以采用有限元法對腔內的光線傳播規(guī)律進行模擬,以獲得單次反射平均光程的模擬值.將立方腔內表面分割為眾多小面元,令每個面元代表一個反射點.兩個反射點之間的光程可以用空間坐標中兩個反射點之間的線段長度來表示,則單次反射平均光程的模擬值Lave為

其中,Y為任一反射點與其他所有反射點之間線段的總長度,X為線段總個數(shù).

令立方腔的邊長為a,首先將立方腔的每個面分割成N×N個小面元,以立方腔底面ABCD的中心點O為坐標原點建立空間坐標系,如圖1所示.令點O為光射入立方腔后第一次發(fā)生漫反射的反射點,經點O反射到立方腔各個面上的概率并不同,通過求解點O與各個面之間的立體角來表示其概率.設點O反射到面EFGH的內切圓O′的概率為α,如圖2所示,反射到面EFGH的概率為β,則反射到面EFGH除去其內切圓O′部分的概率為β?α.可知反射到面ABCD的概率為1/2,所以反射到4個側面的概率和為1/2?β.假設P為底面ABCD上任意一點,M為頂面DEGH上任意一點,N為側面BCFG上任意一點.令點O與內切圓O′內所有反射點之間的線段總長度為x0,線段OM的總和為x,線段ON的總和為y,線段OP的總和為y0,可得立方腔單次反射平均光程的模擬結果為

其中,α和β分別滿足

式中,?為點O到圓O′的立體角,?′為點O到面EFGH的立體角.由上述分析可得α=0.0528,β=0.0641.

圖1 漫反射立方腔理論模型示意圖Fig.1.Theoretical model of the diffuse cubic cavity.

圖2 頂面EFGH的內切圓O′Fig.2.Inscribed circle of top surface EFGH.

以邊長為6 cm的立方腔為例,(3)式中N由1變化到2000,仿真可得不同N值時單次反射平均光程的模擬值,如圖3(a)所示.根據(jù)(1)式可知,邊長為6 cm的立方腔單次反射平均光程的理論值為4 cm.根據(jù)不同N值時的模擬值和理論值,可求得兩者之間的相對誤差值,如圖3(b)所示.由圖3可知,隨著N值的增大,單次反射平均光程的模擬結果無限趨近于理論值4.13 cm.當N≥100時,模擬值逐漸趨于穩(wěn)定,當N≥1000時,模擬值和理論值之間的相對誤差變化微小,穩(wěn)定在3.3%左右,在誤差允許的范圍內.說明利用有限元法對立方腔進行模擬,所得單次反射平均光程模擬值與理論值符合得很好,具有很好的模擬效果.

令N=1000,立方腔邊長變化范圍為1—12 cm,邊長變化間隔為1 cm,可得不同邊長立方腔對應的單次反射平均光程模擬值,同樣求得模擬值與理論值之間的相對誤差,如圖4所示.

圖3 邊長為6 cm的立方腔單次反射平均光程 (a)模擬值;(b)模擬值與理論值的相對誤差值Fig.3.(a)The simulation value,(b)the relative error with the theoretical value of the Laveof the cubic cavity with a side length of 6 cm.

由圖4(a)可知,不同邊長的立方腔與其對應的單次反射平均光程的理論值和模擬值之間的連線均呈線性關系,而且兩條直線的偏差很小.從圖4(b)可以看出,隨著邊長的增大,相對誤差值逐漸趨于穩(wěn)定,在3.53%上下存在微小波動.立方腔的邊長從1 cm變化到12 cm,其單次反射平均光程的模擬值和相應的理論值符合得都很好,兩者的相對誤差在3.53%處趨于穩(wěn)定,說明有限元法對不同邊長的立方腔都具有很好的模擬效果.對不同邊長立方腔單次反射平均光程的模擬值進行線性擬合,擬合直線的方程為

圖4 不同邊長立方腔單次反射平均光程 (a)模擬值和理論值;(b)相對誤差值Fig.4.(a)The simulation values and the theoretical values,(b)their relative error of the Laveof the cubic cavities with different side length.

已知立方腔單次反射平均光程的理論公式為Lave=2/3a=0.67a,由此可知對模擬值擬合所得的直線與理論公式所對應的直線符合得很好,再次證明了有限元法對漫反射立方腔內光線傳播規(guī)律具有很好的模擬效果.

3 漫反射立方腔有效光程的實驗研究

3.1 Beer-Lambert定律

光譜法測量氣體濃度的理論基礎為Beer-Lambert定律,它描述了一束光經過一定長度的待測氣體后出射光強與入射光強之間的關系,表達式為

式中I0(λ)為波長為λ的入射光強,I(λ)為經過氣體吸收后的出射光強,ε為吸收截面,C為氣體濃度,L為光與氣體作用的長度,即有效光程(effective optical path length,Leff).由(6)式可得

式中A(λ)為吸光度.定義光學參量(optical parameter,OP)為吸收波段內吸光度的求和,表示為

3.2 空氣中氧氣的定標實驗

為了驗證有限元模擬方法的準確性,進行了基于TDLAS的氧氣定標實驗,分析了模擬值和實驗值的符合程度.由于氧氣的吸收峰在760 nm附近,所以選擇波長為760 nm的VCSEL二極管激光器(laser components,single mode VCSEL 760 nm TO46)作為光源.二極管激光器的溫度和電流分別由溫度控制器(Thorlabs,ITC 510)和電流控制器(Thorlabs,LDC 200)控制,電流控制器的輸出范圍為0—20 mA,精度為1μA,溫度控制器的控溫精度為0.001°C.在電流控制器上加載一個頻率為20 Hz.振幅為200 mV的鋸齒波,對激光二極管的波長進行調諧,使其可以掃描完整的氧氣吸收峰.圖5所示為定標的實驗裝置示意圖.

圖5 TDLAS實驗裝置示意圖Fig.5.Schematic diagram of experimental set-up for TDLAS.

圖6(a)所示為有效吸收光程為120 cm時氧氣的二次諧波信號;圖6(b)為不同吸收光程下的二次諧波信號.由圖6(b)可知,隨著吸收光程的增加,二次諧波信號的強度也隨之增大.根據(jù)(8)式可知,氣體濃度固定的條件下,氣體的有效光程Leff與光學參量OP之間存在線性關系.

通過求和法求得不同有效光程下對應的OP值,對Leff和對應的OP值進行線性擬合,如圖7所示,得到了有效光程Leff與光學參量OP的關系式為:

圖6 (a)有效光程為120 cm的二次諧波信號;(b)不同有效光程下的二次諧波信號Fig.6.(a)Second harmonic signal at Leffof 120 cm;(b)second harmonic signals at different Leff.

圖7 光學參量和有效光程的關系Fig.7.The relationship between OP and Leff.

3.3 漫反射立方腔有效吸收光程的測量

對于漫反射立方腔,直接測量其單次反射平均光程極其困難,根據(jù)TDLAS實驗研究,單次反射平均光程Lave與有效光程Leff的關系為[23,24]

其中,ρ為漫反射涂層的反射率,f為立方腔的開孔比.若已知立方腔的有效光程,根據(jù)(10)式可得到其單次反射平均光程.

圖8(a)所示為漫反射立方腔測量氧氣濃度的TDLAS實驗裝置示意圖,圖8(b)為實物圖,與定標實驗不同的是高漫反射立方腔為氣體吸收池.光線進入立方腔內,在其內表面發(fā)生漫反射,增加了有效光程,同時出射光強也變得很微弱,因此實驗系統(tǒng)采用光電倍增管(Zolix,PMTH-S1-CR131)作為探測裝置.分別對邊長為5,8,12 cm的3種立方腔進行了實驗研究.對邊長為12 cm的立方腔而言,光學參量OP為121.15,代入(9)式可得有效光程Leff為162.43 cm.入射孔和出射孔均為直徑為2 mm的圓孔,板子連接處共有12個縫隙,每個縫隙大約寬0.03 cm,開孔比f為0.0051,漫反射率ρ為95%.根據(jù)(10)式可得,邊長為12 cm的漫反射立方腔的單次反射平均光程為8.71 cm.為了對比分析單次反射平均光程的理論值、模擬值和實驗值之間的關系,分別求出理論值和模擬值之間的誤差Q1,模擬值與實驗值之間的誤差Q2,以及理論值與實驗值之間的誤差Q3,如圖9(b)所示.

圖8 漫反射立方腔測量氧氣濃度的TDLAS實驗裝置 (a)示意圖;(b)實物圖Fig.8.(a)Schematic diagram;(b)photograph of the set-up of experimental set-up for oxygen measurement with a diffuse cubic cavity based on TDLAS.

圖9 邊長為5,8,12 cm的立方腔單次反射平均光程理論值、模擬值和實驗值之間的(a)對比圖,(b)誤差圖Fig.9.(a)Comparison and(b)error between the theoretical value,the simulation value and the experimental value of the Laveof the cubic cavities with side length of 5 cm,8 cm and 12 cm.

由9(a)可以看出,無論是理論值、模擬值或實驗值,單次反射平均光程與立方腔邊長之間呈線性關系.而且模擬值所對應的連線位于理論值和實驗值所對應的連線的中間,與兩者的偏差都很小,說明模擬值與理論值和實驗值符合得都很好,因此,可用模擬值替代實驗值進行相關氣體腔特性分析.根據(jù)圖9(b)可知,對于不同邊長的立方腔而言,模擬值與理論值之間的誤差Q1最小,其次為模擬值與實驗值之間的誤差Q2,最大的為實驗值與理論值之間的誤差Q3,均在誤差允許范圍內,說明模擬值與理論值和實驗值符合得都很好.有限元法對漫反射立方腔內光線傳播規(guī)律的模擬達到了很好的效果,不僅為實驗方法研究漫反射立方腔提供了一種理論支持,有助于公式的反演,而且可以為研究其他形狀腔體的光線傳播規(guī)律提供一種研究思路和方法,對漫反射腔的研究具有一定的參考價值.

4 結 論

基于對漫反射立方腔內光線傳播規(guī)律的分析,利用有限元法仿真了漫反射立方腔內的光線傳播,建立了單次反射平均光程與反射次數(shù)之間的關系.仿真結果表明,當把立方腔內每個表面分成1000×1000個以上的小面元時,仿真得到的單次反射平均光程與理論計算的單次反射平均光程的誤差小于3.6%.對多種不同邊長的立方腔進行模擬,發(fā)現(xiàn)不同邊長立方腔的模擬值與相應理論值誤差波動小于0.1%,說明有限元法對不同邊長的立方腔都具有很好的模擬效果.通過TDLAS技術對3種不同邊長的漫反射立方腔內的氧氣吸收譜進行采集,分別獲得了其對應的有效光程,并利用有效光程計算得到了單次反射平均光程的實驗值.對比了理論、仿真和實驗獲得的單次反射平均光程,三者具有很好的一致性,表明對漫反射立方腔內光線傳播規(guī)律的仿真研究對實驗研究具有重要的參考價值,為以后開展任意形狀漫反射腔吸收光譜技術的研究提供了一種技術支撐.

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