劉用麟，吳成達(dá)

（武夷學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院， 福建 武夷山 354300）

由于客觀世界中或客觀世界在向人腦反映的過(guò)程中存在著大量的不精確、不完全或不完全可靠的信息（統(tǒng)稱(chēng)為不確定信息）,因而，在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中需要處理大量的不確定性信息，經(jīng)典的數(shù)學(xué)方法不能有效地處理.目前有一些理論，如概率理論，模糊集理論和粗糙集理論被用來(lái)處理不確定性事物，但這些理論都有自己的困難和問(wèn)題.Molodtsov[1]認(rèn)為原因之一可能是這些理論的參數(shù)工具不足.為了克服這些困難，1999年Molodtsov引進(jìn)了軟集的概念作為一種新的處理不確定性的數(shù)學(xué)工具，他同時(shí)指出了軟集的若干可能應(yīng)用方向.軟集理論提出后，經(jīng)過(guò)一些學(xué)者的擴(kuò)展研究，取得了較大進(jìn)展.Maji等[2]應(yīng)用軟集理論于決策分析，Maji等[3]還研究了軟集理論的運(yùn)算.隨后,Ali等[4]指出了文[3]中所提出的交、并運(yùn)算的一些問(wèn)題,并給出了新的運(yùn)算.Chen等[5]提出了參數(shù)約簡(jiǎn)的一個(gè)新定義，并將這個(gè)定義與粗糙集理論中相關(guān)概念屬性約簡(jiǎn)的進(jìn)行了比較.近年來(lái)，Aktas等[6]定義了軟群并給出了相關(guān)的性質(zhì)，將軟集理論應(yīng)用到群結(jié)構(gòu)上去.從此，一些學(xué)者成功地將軟集合理論應(yīng)用到各類(lèi)代數(shù)系統(tǒng)上,如Feng等[7]提出了軟半環(huán)，Zhan等[8]提出了軟BL代數(shù)，Acar等[9]提出了軟環(huán)，Akram等[10-11]提出了軟李代數(shù)、軟K-代數(shù)等概念.本文作者也對(duì)軟代數(shù)理論作了一些研究，提出了軟剩余格、軟結(jié)合BCI-代數(shù)等[12-14]。已經(jīng)證明軟代數(shù)具有與經(jīng)典代數(shù)不一樣的性質(zhì)。

本文將軟集合理論應(yīng)用到酉空間中.首先給出酉空間和軟集合理論的相關(guān)知識(shí);再對(duì)軟酉空間進(jìn)行了合理的定義,給出具體的例子來(lái)證明軟酉空間的存在性;接著研究軟酉空間的運(yùn)算性質(zhì),給出軟酉空間的擴(kuò)展交、限制交和限制差分;最后研究軟酉空間的同態(tài)性質(zhì)。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 歐幾里得空間的定義及性質(zhì)

定義1.1.1[15]令V是實(shí)數(shù)域R上一線性空間,在V上定義一個(gè)二元實(shí)函數(shù),稱(chēng)為內(nèi)積,記成（α,β）,它具有以下性質(zhì)：

1、（α,β）=（β,α）;

2、（kα,β）=k（α,β）;

3、（α+β，γ）=（α，γ）+（β，γ）;

4、（α，α）≥0,當(dāng)且僅當(dāng) α=0 時(shí)（α，α）=0.

這里α，β，γ是V中任意向量,k是任意實(shí)數(shù)，稱(chēng)這樣的線性空間V為歐幾里得空間。

定理1.1.1[15]若V1,V2是歐式空間V的兩個(gè)子空間,那么它們的交V1∩V1也是V的子空間.

1.2 酉空間的定義及性質(zhì)

歐式空間是專(zhuān)門(mén)對(duì)實(shí)數(shù)域上的線性空間而討論的,因此,酉空間就是一種歐式空間.

定義1.2.1[15]設(shè)V是復(fù)數(shù)域上的線性空間,在V上定義了一個(gè)二元復(fù)函數(shù),稱(chēng)作內(nèi)積,記成（α,β）,它具有以下性質(zhì)：

2、（kα,β）=k（α,β）;

3、（α+β，γ）=（α，γ）+（β，γ）;

4、（α，α）是非負(fù)實(shí)數(shù),且（α，α）=0 當(dāng)且僅當(dāng) α=0.這里α,β，γ是γ中任意向量,k是任意復(fù)數(shù),這樣的線性空間V稱(chēng)為酉空間.

性質(zhì)1.2.1[15]由內(nèi)積的定義可得到以下性質(zhì)：

2、（α，β+γ）=（α，β）+（α，γ）;

4、向量 α，β,當(dāng)（α，β）=0 時(shí)稱(chēng)為正交或互相垂直.

定義1.2.2[15]設(shè)W是酉空間V的一個(gè)非空子集,若對(duì)于V中的加法及復(fù)數(shù)域C與V的純量乘法構(gòu)成復(fù)數(shù)域C上的一個(gè)線性空間,則稱(chēng)W為V的酉子空間.

1.3 軟集合理論相關(guān)定義與基本運(yùn)算

定義1.3.1[1]設(shè)U是一個(gè)論域,E是參數(shù)集,U?E,P（U)是 U 的冪集.若 F 是 A 到P（U)的映射,則稱(chēng)（F,A）為U上的一個(gè)軟集合.

定義1.3.2[4]設(shè)U的兩個(gè)軟集合分別是（F，A）和（G,B）,定義為（H,C）這兩個(gè)軟集合的擴(kuò)展交,此時(shí) C=A∪B,則

記為（F,A）∩E（G,B）=（H,C）.

定義1.3.3[4]設(shè)U的兩個(gè)軟集合分別是（F,A）和（G,B）,A∩B≠φ

1、此時(shí)可對(duì)這兩個(gè)軟集合的限制交定義為軟集合（H,C）,即：C=A∩B,?e∈C，H（e）=F（e）∩G（e）記為（F,A）∩△（G,B）=（H,C）

2、此時(shí)可對(duì)這兩個(gè)軟集合的限制并定義為軟集合（H,C）,即 C=A∩B,?e∈C，H（e）=F（e）∩G（e）.記為（F,A）∩R（G,B）=（H,C）

3、此時(shí)可對(duì)這兩個(gè)軟集合的限制差定義為軟集合（H,C）,即 C=A ∩B,?e∈C，H（e）=F（e）G（e）,記為（F,A）∩D（G,B）=（H,C）

定義1.3.4[4]設(shè)U的兩個(gè)軟集合分別是（F,A）和（G,B）,若滿足以下條件

1、A?B；

2、?x∈A，F(xiàn)（x）?H（x）.

則稱(chēng)（F,A）為（G,B）的軟子集，記作（F,A）?（G,B）.

2 軟酉空間

2.1 軟酉空間的定義

為了便于說(shuō)明,在這里令V是一個(gè)酉空間,A是一個(gè)非空集合.

定義2.1.1 設(shè)（F,A）是酉空間V上的一個(gè)軟集合,若?x∈A，F(xiàn)（x）,是 V 上的一個(gè)酉子空間,則稱(chēng)（F,A）為V上的軟酉空間.

推論2.1.1 設(shè)（F,A）和（G，B）是酉空間上的兩個(gè)軟酉空間,如果滿足下列兩個(gè)條件：

1、B?A;

2、?x∈B，G（x）?F（x）.

則稱(chēng)（G,B）是（F,A）的軟酉子空間,記為（F,A）?（G,B）.

定義2.1.2 設(shè)（F,A）和（G,B）是 V 上的兩個(gè)軟酉空間,當(dāng) G=F 時(shí),僅需滿足條件：B?A,則（G,B）是（F,A）的軟酉子空間.

2.2 軟酉空間的例子

例2.2.1 在線性空間 Cn中,對(duì)于向量 α=（α1，α2，…，αn）,β=（b1，b2，…，bn）,定義內(nèi)積,則Cn就成為一個(gè)酉空間.取S=,易證 S 是 Cn的酉子空間.令 A=｛0,1｝,定義

則（F,A）為 Cn上的軟集合.又 F（0）=Cn,F（1）=S皆是 Cn的酉子空間,所以（F,A）為Cn上的軟酉空間.

于是 F（a）=V，F(xiàn)（b）=S1，F(xiàn)（c）=S2，F(xiàn)（d）=S3， 都是 V 的酉子空間，所以（F，A）為｝上的軟酉空間.

3 軟酉空間的性質(zhì)

3.1 軟酉空間的擴(kuò)展交

引理3.1.1 若A,B均為酉空間X的酉子空間,則A∩B也是X的酉子空間.

證明：首先,根據(jù)0∈A,0∈B可知 0∈A∩B,因此A∩B 是非空的.其次,若 α,β∈A∩B,即 α,β∈A,且 α,β∈B,則 α+β∈A,α+β∈B,于是 α+β∈A∩B.對(duì) α∈A∩B,K∈C,即 α∈A,α,∈B,那么 kα∈A,kα∈B,因此 kα∈A∩B,所以A∩B也是X的酉子空間.

定理3.1.1 如果（F1，A1）和（F2，A2）是酉空間 X 上的兩個(gè)軟酉空間,則（F1，A1）∩E（F2，A2）也是酉空間 X上的軟酉空間.

證明：令（F，A）=（F1，A1）∩E（F2，A2）,其中 A=A1∪A2，?x∈A

因?yàn)椋‵1，A1）和（F2，A2）都是酉空間 X 上的軟酉空間,對(duì)?x∈A,則x∈A1A2或 x∈A2A1或 x∈A1∩A2三者必然成立一個(gè),若 x∈A2A1或 x∈A1A2則 F（x）=F1（x）或 F2（x）,均為 X 的酉子空間. 若 x∈A1∩A2,則 F（x）=F1（x）∩F2（x）,由引理 3.1.1,F（x）也為 X 的酉子空間.因此是（F，A）是X上的軟酉空間.

3.2 軟酉空間的限制交

定理3.2.1 如果（F1，A1）和（F2，A2）都是酉空間 X上的軟酉空間,且 A1∩A2≠φ,則（F1，A1）∩△（F2，A2）也是X上的軟酉空間.

證明：令（F，A）=（F1，A1）∩△（F2，A2）,其中 A=A1∩A2且對(duì)?x∈A，F(xiàn)（x）=F1（x）∩F2（x）. 由于（F1，A1）和（F2，A2）都是 X 上的軟酉空間,所以對(duì)?x∈A1,有 F1（x）是 X 上的酉子空間;同理可得,?x∈A2,有 F2（x）是 X上的酉子空間,因此,對(duì)?x∈A,有F（x）是 X 上的酉子空間,從而（F1，A1）∩△（F2，A2）是 X 上的軟酉空間.

3.3 軟酉空間的限制差分

定理3.3.1 如果（F1，A1）和（F2，A2）都是酉空間 X上的軟酉空間,且 A1∩A2≠φ,則（F1，A1）∩D（F2，A2）一定不是酉空間X上的軟酉空間.

證明：令（F，A）=（F1，A1）∩D（F2，A2）,其中 A=A1∩A2且對(duì)?x∈A，F(xiàn)（x）=F1（x）F2（x）.由已知,對(duì)?x∈A,F1（x），F(xiàn)2（x）為酉空間 X 的酉子空間,所以 0∈F1（x）,0∈F2（x）,故 0?F（x）.于是，F(xiàn)（x）不是酉空間 X 上的酉子空間,故（F1，A1）∩D（F2，A2）一定不是酉空間 X 上的軟酉空間.

3.4 軟酉空間的同態(tài)性質(zhì)

定義3.4.1 設(shè)X和Y是復(fù)數(shù)域C上兩個(gè)酉空間,f：A→B是一個(gè)映射,若滿足：

1、?α,β∈A,有 f（α+β）=f（α）+f（β）,

2、?k∈C，α∈A,有 f（kα）=kf（α）,

則稱(chēng)f是酉空間A到B的一個(gè)同態(tài)映射.若f是滿射,則稱(chēng)f是酉空間A到B的一個(gè)滿同態(tài)；若f是單射,則稱(chēng)f是酉空間A到B的一個(gè)單同態(tài)；若f是雙射,稱(chēng)f是酉空間A到B的一個(gè)同構(gòu).

引理3.4.1 設(shè)X,Y是兩個(gè)酉空間,如果f：X→Y為從X到Y(jié)的酉空間同態(tài)：

1、假設(shè)X的酉子空間為M,那么Y的酉子空間就是 f（M）.

2、假設(shè)Y的酉子空間為L(zhǎng),那么的酉子空間就是f-1（L）.

證明：設(shè)?y1，y2∈f（M）,在 M 中存在兩個(gè)元素 x1,x2,使得 y1=f（x1）,y2=f（x2）.則 y1+y2=f（x1）+f（x2）=f（x1+x2）由M為X的酉子空間可知x1+x2∈M,從而y1+y2=f（x1+x2）∈f（M）；設(shè)?k∈C,?y∈f（M）,則 M 中存在 x,使得 y=f（x1）,于是 ky=kf（x）=f（kx）,由于 kx∈M,所以ky=f（kx）∈f（M）.因此 f（M）為 Y 的酉子空間.同理可證,f-1（L）為X 的酉子空間.

定理3.4.1 設(shè)X,Y是兩個(gè)酉空間,如果f：X→Y為從X到Y(jié)的酉空間同態(tài),（F，A）是上的軟酉空間,則（f（F），A）是 Y 上的軟酉空間.

證明：首先由（f（F），A）的定義知（f（F），A）為 Y 上的軟集.由（F，A）是X上的軟酉空間知,對(duì)任意的α∈A,F（α）是 X 的酉子空間,由引理 3.4.1,可知 f（F（α））為 Y的酉子空間,即對(duì)任意的 α∈A，f（F）（α）是 Y 的酉子空間,從而有（f（F），A）是 Y 上的軟酉空間.

定理3.4.2 設(shè)X,Y是兩個(gè)酉空間,如果f：X→Y為從X到Y(jié)的酉空間同態(tài),（H,B）是Y上的軟酉空間,則（f-1（H），B）為 X 上的軟酉空間.

證明：首先由（f-1（H），B）的定義知（f-1（H），B）為 X上的軟集.對(duì)任意的b∈B,由（H,B）是Y上的軟酉空間知 H（b）是 Y 的酉子空間,因此由引理 3.4.1,f-1（H（b））是 X 的酉子空間,即對(duì)任意的 b∈B,f-1（H）（b）是 X 的酉子空間,從而有（f-1（H），B）為 X 上的軟酉空間.

定理3.4.3 如果 f：X→Y 是一個(gè)酉空間同態(tài),（F，A）和（H,B）是酉空間 X 上的軟酉空間,（F，A）?（H,B）,則（f（F），A）?（f（H），B）.

證明：由（F，A）?（H,B）可知 A?B,故對(duì)?x∈A,有F（x）是 H（x）的酉子空間.又由 f是同態(tài)映射,有 f（F）（x）=f（F（x））是 f（H（x））=f（H）（x）的酉子空間,由定理3.4.1 可知（f（F），A）與（f（H），B）為 Y 上的軟酉空間,再根據(jù)定義 2.1.2 可得（f（F），A）?（f（H），B）.