張敬茂，沈艷霞

江南大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)與應(yīng)用教育部工程研究中心，江蘇 無錫 214122

1 引言

圖像分割是圖像理解的關(guān)鍵步驟之一[1-2]，將輸入圖像分割為不相交的連貫區(qū)域，從中提取整個(gè)區(qū)域的特征信息，減小分析的計(jì)算消耗。針對圖像分割，已經(jīng)提出了很多優(yōu)秀的圖像分割算法，主要分為兩類：不基于圖的算法，如均值漂移算法[3]、EM（expectation-maximization）[4]和基于圖的算法[5-9]。與不基于圖的算法相比，基于圖的算法能夠自適應(yīng)地權(quán)衡局部相似關(guān)系[10]。

規(guī)范割（normalized cut，Ncut）算法是一種廣泛應(yīng)用的基于譜圖理論的譜分割算法。在圖像分割中，Ncut能夠同時(shí)權(quán)衡類內(nèi)相似性和類間不相似性，并且可以近似為廣義特征向量問題。使用Ncut進(jìn)行圖像分割時(shí)，關(guān)于圖的相似矩陣對圖像分割結(jié)果有很大的影響。目前，為了提高譜分割效果，已有很多研究對該相似矩陣的構(gòu)建進(jìn)行改進(jìn)。一種方法是結(jié)合圖像中像素點(diǎn)（或者超點(diǎn)）的不同特征信息構(gòu)建相似矩陣[11-13]。例如文獻(xiàn)[12]結(jié)合4種特征信息即超點(diǎn)的均值和方差、像素點(diǎn)的顏色和邊緣信息構(gòu)建相似矩陣；文獻(xiàn)[13]考慮結(jié)合多種局部輪廓信息，如亮度、顏色和紋理差異、結(jié)構(gòu)森林輪廓等。另一種方法是對輸入圖像進(jìn)行多層分解，或者結(jié)合不同的分解方法對圖像進(jìn)行分解[14-17]，然后利用分解后的圖構(gòu)建相似矩陣。文獻(xiàn)[15]對圖像進(jìn)行多層分解，并以此構(gòu)建多尺度相似矩陣；文獻(xiàn)[16]和文獻(xiàn)[17]利用不同的方法對圖像進(jìn)行分解，然后利用分解圖構(gòu)建相似矩陣。無論利用不同圖像不同特征信息，還是對圖像進(jìn)行不同的分解，都有多種組合特征信息和分解圖的方式。然而在實(shí)際應(yīng)用中，確定使用哪種方式是個(gè)復(fù)雜的過程，尤其是在核磁共振影像（MRI），合成孔徑雷達(dá)影像（synthetic aperture radar，SAR）等應(yīng)用領(lǐng)域，無法提供顏色信息，此時(shí)根據(jù)顏色特征信息改進(jìn)的算法就不適用，因此有必要考慮從相似矩陣中提取多尺度特征，構(gòu)建新的相似矩陣，提高使用單一特征信息時(shí)譜分割的效果。

目前，擴(kuò)散映射（diffusion map）在三維形狀分析[18]、圖像表示[19]、語言識別[20]等許多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。擴(kuò)散映射能夠提取出輸入圖像的本質(zhì)幾何描述，對像素點(diǎn)來說，即以該點(diǎn)為中心的所有幾何結(jié)構(gòu)的局部信息?；跀U(kuò)散映射[21]，本文定義了一種多尺度特征描述器（diffusion map based multiscale feature descriptor，DMFD）。然后，建立擴(kuò)散映射與譜圖小波[22]的關(guān)系，利用譜圖小波中切比雪夫多項(xiàng)式算法進(jìn)行快速計(jì)算，避免計(jì)算輸入圖像DMFD全部特征值和特征向量的問題。最后，構(gòu)建基于DMFD的譜分割算法，提出一種能夠自適應(yīng)選擇最優(yōu)尺度計(jì)算相似矩陣的方法，避免執(zhí)行算法時(shí)選擇尺度的過程。

2 基于擴(kuò)散映射的多尺度特征描述器

Coifman等人[21]根據(jù)馬爾科夫隨機(jī)游走定義了擴(kuò)散映射。對于輸入圖像G，包含N個(gè)像素點(diǎn)，根據(jù)其特征信息構(gòu)建的相似矩陣為A，對角矩陣轉(zhuǎn)移矩陣P=D-1A，矩陣P的特征值和特征向量分別為 (λl)l=0,1,…,N-1和 (χl)l=0,1,…,N-1，則擴(kuò)散映射定義為：

其中，c表示尺度參數(shù)；g(?)表示關(guān)于特征值的函數(shù)。

給定像素點(diǎn)a，根據(jù)以上定義，定義基于擴(kuò)散映射的多尺度特征描述器為：

在給定尺度c下，像素點(diǎn)之間的距離采用歐氏距離度量，即：

式（3）也被稱為擴(kuò)散距離[21]。

如上所述，計(jì)算DMFD及擴(kuò)散距離的步驟如算法1。

算法1計(jì)算DMFD與擴(kuò)散距離

輸入：圖，尺度。

（1）對輸入圖像提取每個(gè)像素點(diǎn)的特征信息，利用這些特征構(gòu)建相似矩陣；

（2）根據(jù)相似矩陣，計(jì)算轉(zhuǎn)移矩陣P；

（3）計(jì)算轉(zhuǎn)移矩陣P的特征值 (λl)l=0,1,…,N-1和特征向量 (χl)l=0,1,…,N-1；

（4）根據(jù)式（1）和式（2）計(jì)算所有點(diǎn)的DMFD；

（5）根據(jù)式（3）計(jì)算擴(kuò)散距離。

3 快速計(jì)算算法

由式（1）和式（2）可知，對于尺寸為m×n的輸入圖像，需要計(jì)算DMFD的mn個(gè)特征值和特征向量。例如Berkeley數(shù)據(jù)庫中圖像尺寸為321×481，則需要對維度為N2(N=154 401)的矩陣進(jìn)行特征分解，計(jì)算N個(gè)特征向量和特征值，這在實(shí)際應(yīng)用中是不現(xiàn)實(shí)的。考慮到譜圖小波的定義與特征值和特征向量有密切關(guān)系，并且存在快速計(jì)算譜圖小波的切比雪夫多項(xiàng)式算法，建立譜圖小波與擴(kuò)散映射之間的關(guān)系，利用切比雪夫多項(xiàng)式算法來快速計(jì)算DMFD，避免對所有特征值和特征向量的計(jì)算。

由式（1）和式（3）可得：

譜圖小波中，在尺度c下，以a點(diǎn)為中心的基函數(shù)定義為：

由式（5）計(jì)算歐氏距離為：

根據(jù)文獻(xiàn)[21]，在平方可積測量空間(X,μ)中，式（6）可根據(jù)式（5）寫為如下形式。

4 多尺度單特征譜分割算法

下文首先定義算法的流程，然后分析其在實(shí)際應(yīng)用時(shí)的不足，并提出一種自適應(yīng)尺度選擇方法解決該問題。

4.1 基于DMFD的多尺度單特征譜分割

Ncut作為被廣泛應(yīng)用的譜分割算法，其相似矩陣尺寸為N2，然而對于一般電腦來說，無法計(jì)算和存儲該矩陣。為此，將圖像分割為超點(diǎn)，提取超點(diǎn)的特征信息計(jì)算相似矩陣A。本文使用兩種特征信息，即顏色和紋理。對于顏色特征，采用RGB和HSV顏色空間，計(jì)算兩個(gè)超點(diǎn)間的26種顏色距離[1,23]dcolor；對于紋理特征，采用超點(diǎn)間的64種紋理差異[1,24]dtexture。提取超點(diǎn)的特征信息后，首先構(gòu)建相似矩陣A和轉(zhuǎn)移矩陣P。其中Aij=exp(-dcolor/σd)或Aij=exp(-dtexture/σd)。計(jì)算擴(kuò)散映射、DMFD以及dc(a,b)后，利用提出的特征描述器計(jì)算超點(diǎn)之間的相似性度量：

進(jìn)而構(gòu)成相似矩陣S。

基于DMFD的多尺度單特征譜分割算法（DMFDNcut）可描述如算法2。

算法2DMFD-Ncut

輸入：圖，k，尺度c。

輸出：分割圖像。

（1）對輸入圖像進(jìn)行超點(diǎn)分割，并對超點(diǎn)提取單一特征信息，如顏色、紋理等；

（2）利用提取的特征信息構(gòu)建相似矩陣A和轉(zhuǎn)移矩陣P；

（3）由式（2）計(jì)算DMFD，并由式（6）計(jì)算式（3），得到距離度量；

（4）根據(jù)式（8）計(jì)算相似矩陣S及拉式矩陣

（5）計(jì)算L的前k個(gè)特征向量，構(gòu)成新的特征空間；

（6）由k-means算法對k個(gè)特征向量構(gòu)成的特征空間進(jìn)行聚類，得到圖像分割結(jié)果。

4.2 自適應(yīng)尺度選擇

在執(zhí)行DMFD-Ncut時(shí)，需要指定尺度，然后對輸入圖像在指定尺度下進(jìn)行分割。DMFD-Ncut雖然可以讓用戶指定分割尺度，但是得到分割結(jié)果后才能判斷哪個(gè)尺度更為合適。這無疑為算法執(zhí)行增加了困難。因此，本文提出一種逐點(diǎn)自適應(yīng)確定最優(yōu)尺度（pointwise self-adaptive optimal scale，PSOS）的方法，在分割之前確定最優(yōu)尺度。

圖方差[15]可用來判斷相似向量攜帶的信息量，圖方差越大，攜帶的信息量越大。因此，本文使用圖方差作為判斷最優(yōu)尺度的方法。假設(shè)輸入圖像的相似矩陣為S，a為圖像的第i個(gè)點(diǎn)，則Sa=Si?表示以a為中心的所有相似度量值。圖方差定義如下：

考慮上述自適應(yīng)最優(yōu)尺度選擇方法，DMFDNcut算法可更新為算法3。

算法3自適應(yīng)DMFD-Ncut（PSOS）

輸入：圖，k，尺度集C。

輸出：分割圖像。

（1）對輸入圖像進(jìn)行超點(diǎn)分割，并對超點(diǎn)提取單一特征信息，如顏色、紋理等；

（2）利用提取的特征信息構(gòu)建相似矩陣A和轉(zhuǎn)移矩陣P；

（3）由式（2）計(jì)算DMFD，并由式（6）計(jì)算式（3），得到距離度量；

（4）根據(jù)式（8）計(jì)算相似矩陣S；

（5）使用式（9）計(jì)算圖方差，選取最優(yōu)尺度；

（6）使用式（10）對相似矩陣進(jìn)行更新，并計(jì)算相應(yīng)拉式矩陣

（7）計(jì)算L的前k個(gè)特征向量，構(gòu)成新的特征空間；

（8）由k-means算法對k個(gè)特征向量構(gòu)成的特征空間進(jìn)行聚類，得到圖像分割結(jié)果。

5 實(shí)驗(yàn)分析

為了驗(yàn)證本文提出的算法，在真實(shí)數(shù)據(jù)集上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并對DMFD-Ncut和 DMFD-Ncut（PSOS）進(jìn)行分析，對比這兩種算法的差別。具體數(shù)據(jù)選擇、參數(shù)設(shè)置及結(jié)果對比如下文所述。

5.1 參數(shù)設(shè)置

本文算法與使用單一特征信息構(gòu)建相似矩陣的Ncut算法（Ncut_color，Ncut_texture）進(jìn)行對比。實(shí)驗(yàn)采用Berkeley圖像分割數(shù)據(jù)庫（BSD300），該數(shù)據(jù)庫包含測試集（100幅圖）和訓(xùn)練集（200幅圖）。根據(jù)實(shí)驗(yàn)及經(jīng)驗(yàn)，對于灰度特征取σd=1；對于顏色特征取σd=1；對于紋理特征取σd=15。對于灰度信息，選取尺度c={10,15,20,25,30,35}；對于顏色和紋理信息，選取尺度c={20,25,30}。Ncut_color與Ncut_texture的相似矩陣使用Aij=exp(-dcolor/σd)和Aij=exp(-dtexture/σd)分別計(jì)算。取4個(gè)參數(shù)對圖像分割結(jié)果進(jìn)行量化評估，分別為 F-measure（F）、Segmentation Covering（Covering）、Probabilistic Rand Index（PRI）、Variation of Information（VOI）[14]。其中，F(xiàn)-measure度量邊緣分割效果。對每個(gè)量化評估參數(shù)，使用兩種度量方式：ODS（optimal dataset scale），對所有圖像使用固定參數(shù)進(jìn)行分割；OIS（optimal image scale），對每個(gè)圖像選取最優(yōu)分割參數(shù)。為了計(jì)算這兩種度量方式，本文將ODS和OIS中使用的參數(shù)設(shè)置為圖像的分割數(shù)目，k={2,3,…,40}。

5.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表1為使用顏色和紋理特征的量化評估結(jié)果，最優(yōu)結(jié)果用粗體標(biāo)注。其中Ours_color和Ours_texture為DMFD-Ncut在所有3個(gè)尺度下的最優(yōu)結(jié)果；PSOS_color和PSOS_texture為使用自適應(yīng)最優(yōu)尺度選擇方法的評估結(jié)果。從表1中可以看出，在使用單一特征信息進(jìn)行圖像分割時(shí)，本文提出的算法相對于原Ncut算法，幾乎在所有的評估結(jié)果中，都顯示了對分割結(jié)果明顯的優(yōu)勢。在只使用灰度信息時(shí)，DMFD-Ncut的ODS評估與Ncut大部分相同，OIS評估則優(yōu)于Ncut。而在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往只會對單獨(dú)的一幅圖片進(jìn)行分割，從這方面考慮，OIS評估更能反映出算法的應(yīng)用價(jià)值。盡管在使用PSOS方法時(shí)，因?yàn)槭剑?0）對兩點(diǎn)取平均導(dǎo)致圖像分割結(jié)果與直接使用DMFD-Ncut時(shí)相同或略有降低，但PSOS方法的大部分結(jié)果依然優(yōu)于原Ncut算法。因此，使用PSOS方法可避免尺度選擇的過程，但直接使用DMFD-Ncut可取得更為優(yōu)秀或相同的分割結(jié)果。

圖1和圖2對顏色和紋理分別提供了視覺結(jié)果對比。

（1）顏色

圖1選取人、動物、植物3類圖進(jìn)行對比。在所有的3幅圖中，DMFD-Ncut能夠在k=10時(shí)將顯著目標(biāo)分割出來，而Ncut_color則無法識別。在細(xì)節(jié)方面，如圖（1）中，DMFD-Ncut在k=20時(shí)就可以將人、帆船、海分割出來，而Ncut_color則一直無法將三者完全分割；圖（2）、（3）中，DMFD-Ncut始終能較完整地將鳥與蘑菇識別出來，而Ncut_color在分割數(shù)增加時(shí)，將背景和目標(biāo)物都進(jìn)行不適當(dāng)?shù)姆指睢Ｒ陨险f明，DMFD能夠提供更加本質(zhì)的特征描述，從而提升圖像分割效果。

（2）紋理

圖2選取人、動物、建筑進(jìn)行對比。在圖像背景復(fù)雜（圖（1）、（3））或背景簡單（圖（2））時(shí)，DMFDNcut都能夠盡量將符合視覺直覺的區(qū)域分割到一類，得到較滿意的分割結(jié)果。如圖（1），DMFD-Ncut完美地將路面分為一類，且將人識別出來，而Ncut_texture將路面過分割。而圖（3）中，隨著分割數(shù)k增加，DMFD-Ncut仍能將船以及建筑物識別出來，而Ncut_texture傾向于將目標(biāo)過分割。這說明，在使用紋理特征時(shí)，DMFD仍能對圖像提供更為本質(zhì)的特征描述。

圖3為使用顏色特征時(shí)，利用PSOS方法的圖像分割結(jié)果與不同尺度下DMFD-Ncut分割結(jié)果對比。如圖所示，PSOS方法可以將最優(yōu)的尺度選取出來。如小丑魚部分，使用PSOS方法可以將小丑魚較完整地分割出來。但是在背景的珊瑚部分，使用PSOS的分割效果比尺度為25時(shí)差，但是優(yōu)于尺度為30時(shí)的結(jié)果。這是因?yàn)橛?jì)算PSOS相似矩陣的公式（10）對逐點(diǎn)的最優(yōu)結(jié)果取平均導(dǎo)致的。因此，使用PSOS方法可避免尺度選擇的過程，但直接使用DMFD-Ncut可取得更為優(yōu)秀或相同的分割結(jié)果。

Table 1 Quantitative evaluation on BSD300表1 BSD300量化評估結(jié)果

Fig.1 Comparison of segmentation results on color圖1 使用顏色特征的分割結(jié)果對比

5.3 運(yùn)行時(shí)間

圖4為在給定尺度c下，隨著相似矩陣尺寸N的變化，對一個(gè)像素點(diǎn)計(jì)算擴(kuò)散映射的時(shí)間對比。其中N=100,150,200,…,5 000 ，“diffusion map”表示未使用快速計(jì)算方法時(shí)的時(shí)間曲線，“DMFD”表示使用快速計(jì)算方法時(shí)的時(shí)間曲線。當(dāng)相似矩陣尺寸不大時(shí)，如N＜1 000時(shí)，兩者相差不大；但是隨著N變大，本文方法計(jì)算時(shí)間明顯低于直接計(jì)算擴(kuò)散映射所用時(shí)間。

圖5為本文算法運(yùn)行時(shí)間與Ncut算法運(yùn)行時(shí)間的對比，隨機(jī)選取20幅圖片，設(shè)置分割數(shù)目k=30。其中“+”表示Ncut運(yùn)行時(shí)間，“◆”表示 DMFD-Ncut運(yùn)行時(shí)間，“o”表示PSOS DMFD-Ncut運(yùn)行時(shí)間。DMFD-Ncut在單尺度下運(yùn)行，PSOS DMFD-Ncut則選取3個(gè)尺度進(jìn)行自適應(yīng)選擇。如圖所示，在大部分?jǐn)?shù)據(jù)上，DMFD-Ncut和PSOS DMFD-Ncut運(yùn)行時(shí)間小于Ncut，而在小部分情況下PSOS DMFD-Ncut運(yùn)行時(shí)間遠(yuǎn)高于其余兩種算法，這是因?yàn)樾枰诓煌叨戎凶赃m應(yīng)地選擇合適的尺度，并根據(jù)待選擇尺度的多少，運(yùn)行時(shí)間也會有所變化。

Fig.2 Comparison of segmentation results on texture圖2 使用紋理特征的分割結(jié)果對比

6 結(jié)束語

使用譜分割算法進(jìn)行圖像分割時(shí)，無論使用多特征融合還是圖分解方法，都是十分復(fù)雜的，尤其是在某些應(yīng)用領(lǐng)域如MRI影像、SAR影像等，無法提供某些特征如顏色，因此本文提出一種基于擴(kuò)散映射的多尺度特征描述器（DMFD），提高使用單一特征信息下，譜分割在圖像分割上的效果。DMFD可以描述輸入圖像更為本質(zhì)的結(jié)構(gòu)，為后續(xù)譜分割過程提供更為本質(zhì)的特征描述。為了使DMFD在實(shí)際應(yīng)用中可行，本文建立了擴(kuò)散映射與譜圖小波的關(guān)系，利用譜圖小波中的切比雪夫多項(xiàng)式算法快速計(jì)算DMFD，避免了擴(kuò)散映射必須計(jì)算全部特征值和特征向量的問題?；贒MFD，構(gòu)建了相應(yīng)譜分割算法DMFD-Ncut，提出了一種能夠自適應(yīng)選擇最優(yōu)尺度計(jì)算相似矩陣的方法，避免了執(zhí)行算法時(shí)選擇尺度的過程。實(shí)驗(yàn)顯示，DMFD-Ncut和使用自適應(yīng)尺度選擇方法的DMFD-Ncut都能夠顯著提升使用單一特征的Ncut在圖像分割中的效果。然而使用超點(diǎn)分割解決Ncut計(jì)算量大的問題，使得圖像分割結(jié)果過分依賴于超點(diǎn)分割的效果，下一步工作將集中研究適用于DMFD-Ncut的快速計(jì)算方法。

Fig.3 Comparison of segmentation results with PSOS and DMFD-Ncut圖3 使用PSOS的圖像分割結(jié)果與不同尺度DMFD-Ncut結(jié)果對比

Fig.5 Comparison of running time with different algorithms圖5 不同算法運(yùn)行時(shí)間對比

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