尹家聰，謝偉華，陳 曦，劉 波

(中國(guó)空間技術(shù)研究院通信衛(wèi)星事業(yè)部，北京100094)

0 引言

部件模態(tài)綜合法(Component Mode Synthesis， CMS)又簡(jiǎn)稱模態(tài)綜合法，起源于20世紀(jì)50年代初，最早用于計(jì)算飛機(jī)機(jī)翼及整機(jī)的固有振動(dòng)問(wèn)題。1960年起，Hurty首先確立了模態(tài)坐標(biāo)、模態(tài)綜合等概念[1]，并逐步發(fā)展出以Craig-Bampton為代表的固定界面模態(tài)綜合法[2]和自由界面模態(tài)綜合法[3-5]，以及混合界面模態(tài)綜合法[6-7]等多種方法。Craig在2000年對(duì)模態(tài)綜合法的發(fā)展進(jìn)行了詳細(xì)綜述[8]。

模態(tài)綜合法具有兩大優(yōu)勢(shì)和一是可以大幅縮減結(jié)構(gòu)自由度(縮減后的有限元模型稱為縮減模型或縮聚模型)，提高計(jì)算效率，節(jié)約計(jì)算成本；二是可以封裝產(chǎn)品設(shè)計(jì)的幾何和材料信息，保護(hù)企業(yè)知識(shí)產(chǎn)權(quán)。

本文將首先回顧模態(tài)綜合法在國(guó)內(nèi)外航天器結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析中的應(yīng)用現(xiàn)狀和模態(tài)綜合法的基本理論，然后重點(diǎn)研究模態(tài)綜合法在航天領(lǐng)域結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析應(yīng)用中受限的兩個(gè)問(wèn)題，即部組件有限元物理模型一級(jí)縮聚的接口匹配問(wèn)題和縮聚/物理混合模型的二級(jí)縮聚問(wèn)題。

1 模態(tài)綜合法在航天工業(yè)中的應(yīng)用現(xiàn)狀

目前，模態(tài)綜合法已集成到各大結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)計(jì)算商業(yè)軟件中，并在航天工業(yè)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。例如，NASA在1990年采用MSC. Nastran軟件的超單元模態(tài)綜合分析功能，計(jì)算了國(guó)際空間站在軌多種動(dòng)力載荷下的響應(yīng)特性[9]；MIT在1999年利用詹姆斯韋伯空間望遠(yuǎn)鏡(JWST)的模態(tài)綜合后的有限元縮聚模型(見(jiàn)圖1)，完成了結(jié)構(gòu)-光學(xué)-控制一體化的集成建模模型，并進(jìn)行了初步的微振動(dòng)分析[10]；21世紀(jì)初，國(guó)外某公司研制的某衛(wèi)星，其整星有限元模型也是采用模態(tài)綜合法進(jìn)行建模(見(jiàn)圖2)，其中星本體采用有限元物理模型建模，而太陽(yáng)翼、天線等則采用模態(tài)綜合法得到一級(jí)縮聚模型建模。(注：本文中，一級(jí)縮聚模型指采用模態(tài)綜合法，直接由有限元物理模型縮聚得到的模型；縮聚/物理混合模型指將多個(gè)一級(jí)縮聚模型分別與未縮聚的有限元物理模型裝配在一起的混合模型；二級(jí)縮聚指將縮聚/物理混合模型再次采用模態(tài)綜合法進(jìn)行縮聚，從而把一級(jí)縮聚模型未縮減的界面自由度進(jìn)一步縮減的過(guò)程。)

圖1 詹姆斯韋伯望遠(yuǎn)鏡的有限元縮聚模型Fig.1 The reduced finite element model of JWST

圖2 某衛(wèi)星有限元縮聚/物理混合模型Fig.2 A hybrid finite element model of a satellite contained both unreduced and reduced sub-structures

圖3 我國(guó)為巴基斯坦研制的通信衛(wèi)星的有限元模型[18]Fig.3 The finite element model of a Pakistani telecommunication satellite made by China

我國(guó)航天工業(yè)部門在20世紀(jì)80年代已認(rèn)識(shí)到模態(tài)綜合法的優(yōu)勢(shì)[11]，模態(tài)綜合法在運(yùn)載火箭的全箭建模[12]、航天器/火箭的器箭耦合載荷分析[13]、剛?cè)狁詈霞叭嵝院教炱鲃?dòng)力學(xué)建模[14]，以及大型航天相機(jī)[15]、通信衛(wèi)星[16]、空間站[17]結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析中均已得到應(yīng)用。例如在我國(guó)在為巴基斯坦研制衛(wèi)星過(guò)程中，在完成衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)分析后，將衛(wèi)星的有限元物理模型(見(jiàn)圖3)采用模態(tài)綜合法進(jìn)行一級(jí)縮聚，提供給運(yùn)載方開(kāi)展耦合載荷分析，預(yù)示運(yùn)載火箭發(fā)射過(guò)程中的衛(wèi)星響應(yīng)，并為衛(wèi)星地面力學(xué)試驗(yàn)條件制定提供參考依據(jù)。

總之，模態(tài)綜合法可以有效解決航天器研制過(guò)程中，部組件級(jí)、航天器系統(tǒng)級(jí)、航天器/運(yùn)載器大系統(tǒng)級(jí)的結(jié)構(gòu)耦合分析問(wèn)題，但也有一些因素制約了模態(tài)綜合法在航天器結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的工程實(shí)踐。航天器總體設(shè)計(jì)部門習(xí)慣采用傳統(tǒng)有限元物理模型開(kāi)展動(dòng)力學(xué)分析，模態(tài)綜合法在組件級(jí)、航天器系統(tǒng)級(jí)、航天器/火箭大系統(tǒng)級(jí)的動(dòng)力學(xué)分析中的應(yīng)用尚未形成系統(tǒng)，其應(yīng)用帶來(lái)的流程變化成熟度也有待提高。

為了拓展模態(tài)綜合法的工程實(shí)踐，本文重點(diǎn)研究了模態(tài)綜合法在應(yīng)用過(guò)程中的兩個(gè)限制性問(wèn)題：

1)一級(jí)縮聚的接口匹配問(wèn)題。一些航天器研制過(guò)程中，部組件有限元模型越建越細(xì)，自由度數(shù)目巨大，造成航天器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析無(wú)法計(jì)算或計(jì)算效率低下，需采用模態(tài)綜合法對(duì)部組件模型進(jìn)行一級(jí)縮聚，以便于航天器系統(tǒng)開(kāi)展分析。然而，部分部組件模型的建模軟件與航天器系統(tǒng)不匹配，使得一級(jí)縮聚模型無(wú)法有效傳遞。為此，航天器總體設(shè)計(jì)部門應(yīng)研究一級(jí)縮聚的接口匹配問(wèn)題，從而解決和規(guī)范部組件縮聚模型的接口。

2)縮聚/物理混合模型的二級(jí)縮聚問(wèn)題。一些航天器與運(yùn)載的耦合載荷分析，僅針對(duì)航天器有限元物理模型的一級(jí)縮聚(見(jiàn)圖3)，但隨著航天器部組件一級(jí)縮聚模型的應(yīng)用，航天器結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析必然會(huì)出現(xiàn)縮聚/物理混合的有限元模型(見(jiàn)圖2)。因此航天器總體設(shè)計(jì)部門應(yīng)解決縮聚/物理混合模型的二級(jí)縮聚問(wèn)題，從而解決和規(guī)范航天器系統(tǒng)和運(yùn)載的縮聚模型接口。

本文通過(guò)Fortran/ Matlab混合編程和采用Nastran DMAP語(yǔ)言二次開(kāi)發(fā)，在一級(jí)縮聚的接口匹配和縮聚/物理混合模型的二級(jí)縮聚問(wèn)題上進(jìn)行了探索，并在航天器型號(hào)研制過(guò)程中得到了初步應(yīng)用。

2 模態(tài)綜合法原理

模態(tài)綜合法本質(zhì)上是一種Rayleigh-Ritz降階方法，即通過(guò)把子結(jié)構(gòu)的物理坐標(biāo)x表示為幾種已知部件模態(tài)集的線性組合，實(shí)現(xiàn)從物理坐標(biāo)空間到混合界面坐標(biāo)空間的變換，并縮減子結(jié)構(gòu)的自由度獲得縮聚模型。模態(tài)綜合法的基本原理可通過(guò)Majed等于2005年提出的一種剩余柔度混合界面模態(tài)綜合法(Residual Flexibility Mixed- Boundary Method，RFMB)[7]統(tǒng)一歸納如下：

(1)

其中對(duì)應(yīng)于各個(gè)模態(tài)集的廣義坐標(biāo)用q表示，各模態(tài)集的具體計(jì)算方法詳見(jiàn)Craig的綜述[8]。

式(1)可進(jìn)一步展開(kāi)寫(xiě)為：

xb=qC

(2a)

(2b)

(2c)

或矩陣形式:

(3)

其中q1表示廣義坐標(biāo)空間。由式(2a)和(2b)可得:

(4)

記qN=qk，那么有q1=T2q2，即:

其中q2表示混合界面坐標(biāo)空間。

由式(3)和式(5)可得RFMB方法從物理坐標(biāo)空間到混合界面坐標(biāo)空間的變換：

x=T1T2q2

(6)

或

(7)

其中，

(8)

(9)

3)另一種常用的混合界面模態(tài)綜合法(Modified Hintz’s Mixed-Boundary Method, MHMB)，是Hintz’s Mixed-Boundary Method (HMB)[6]的一個(gè)改進(jìn)，其坐標(biāo)變換可寫(xiě)為:

(11)

該方法是Nastran軟件混合界面模態(tài)綜合法的默認(rèn)算法[19]。

在工程應(yīng)用中，一般根據(jù)實(shí)際需求選擇不同的模態(tài)綜合法：1) 固定界面模態(tài)綜合法的優(yōu)點(diǎn)在于原理清晰，算法簡(jiǎn)單，因此當(dāng)主要目的在于縮聚子結(jié)構(gòu)的自由度，而無(wú)需顯示子結(jié)構(gòu)的振動(dòng)形態(tài)時(shí)，使用固定界面模態(tài)綜合法將子結(jié)構(gòu)與其他結(jié)構(gòu)的連接面固支進(jìn)行自由度縮聚，即可滿足工程需求；2) 自由界面模態(tài)綜合法的優(yōu)點(diǎn)在于自由邊界的子結(jié)構(gòu)模態(tài)試驗(yàn)容易實(shí)現(xiàn)，模態(tài)綜合參數(shù)易于得到試驗(yàn)驗(yàn)證，因此當(dāng)需要通過(guò)自由邊界模態(tài)試驗(yàn)修正子結(jié)構(gòu)建模結(jié)果時(shí)，可以采用自由界面模態(tài)綜合法；3) 混合界面模態(tài)綜合法的優(yōu)點(diǎn)在于既可以充分縮減子結(jié)構(gòu)的自由度，還可以通過(guò)輪廓顯示單元將縮聚后的固定界面和自由界面點(diǎn)連接起來(lái)，以顯示子結(jié)構(gòu)的幾何輪廓及其在動(dòng)力載荷下的振動(dòng)響應(yīng)，且無(wú)需經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)恢復(fù)即可獲得自由界面點(diǎn)上的動(dòng)力響應(yīng)，縮聚后的模型特別適合于代替子結(jié)構(gòu)的有限元物理模型用于不同設(shè)計(jì)部門間的模型傳遞。

3 有限元一級(jí)縮聚的接口匹配問(wèn)題

早在1966年，為了滿足航空航天工業(yè)對(duì)結(jié)構(gòu)分析的需求，NASA就主持開(kāi)發(fā)了商業(yè)有限元軟件Nastran。經(jīng)過(guò)半個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，Nastran已成為航天工業(yè)有限元分析的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)。我國(guó)各航天器總體部門也多采用Nastran進(jìn)行航天器有限元建模和結(jié)構(gòu)力學(xué)分析。然而，部分航天器部組件研制單位習(xí)慣采用ANSYS或其他非Nastran的有限元商業(yè)軟件進(jìn)行力學(xué)分析；不同軟件在使用模態(tài)綜合法縮聚子結(jié)構(gòu)模型時(shí)具有不同的格式，這為部組件一級(jí)縮聚模型向航天器系統(tǒng)級(jí)的傳遞帶來(lái)了困難。

以ANSYS軟件建立的部組件有限元模型為例，本文采用如下流程解決一級(jí)縮聚的接口匹配問(wèn)題：1)用ANSYS的HBMAT命令輸出部組件模型，以Harwell-Boeing稀疏矩陣格式存儲(chǔ)的剛度和質(zhì)量矩陣，以及結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和自由度編號(hào)信息；2) 用Fortran軟件編程快速讀取ANSYS輸出的剛度、質(zhì)量矩陣，并轉(zhuǎn)換為Matlab可以識(shí)別的三元組稀疏矩陣格式；3) 用Matlab讀取步驟1、2的輸出數(shù)據(jù)，并用Matlab編程實(shí)現(xiàn)Nastran的混合界面模態(tài)綜合法，生成可以被Nastran識(shí)別的一級(jí)縮聚模型，包括縮聚后的剛度、質(zhì)量矩陣，界面自由度和廣義自由度的編號(hào)信息，界面點(diǎn)的坐標(biāo)以及輪廓顯示單元的定義；4) 用Nastran軟件讀取一級(jí)縮聚模型，并完成其與航天器系統(tǒng)級(jí)有限元模型的裝配。

作為示例，圖4(a)設(shè)定了某衛(wèi)星推進(jìn)分系統(tǒng)的氣瓶ANSYS有限元模型。該模型采用體單元建模，在自由邊界條件下大約有5萬(wàn)個(gè)結(jié)點(diǎn)，1.7萬(wàn)個(gè)單元，15萬(wàn)個(gè)自由度。通過(guò)自編的Fortran/Matlab混合界面模態(tài)綜合法程序，可以將此ANSYS有限元物理模型一級(jí)縮聚為Nastran可識(shí)別的縮聚模型，如圖4(b)所示。圖4(b)中，結(jié)點(diǎn)1、2的自由度設(shè)置為氣瓶在整星安裝的固定界面自由度；結(jié)點(diǎn)3～14的自由度設(shè)置為自由界面自由度。結(jié)點(diǎn)1～14通過(guò)24個(gè)PLOTEL輪廓單元組成氣瓶縮聚模型的顯示框架?？s聚后的模型僅有104個(gè)自由度(包括50個(gè)正交模態(tài)即k=50)，相對(duì)于原模型大幅減少了自由度。

(a)縮聚前ANSYS模型 (b) 縮聚后Nastran模型圖4 某氣瓶縮聚前后的有限元模型Fig.4 The original ANSYS finite element model of a gas tank (left) and its reduced model in Nastran(right)

表1給出了某氣瓶縮聚前后自由邊界條件下的固有頻率對(duì)比結(jié)果：其中，前6階剛體頻率雖然由于計(jì)算誤差不完全為0，但計(jì)算結(jié)果相近，且縮聚前后前6階剛體模態(tài)在各個(gè)自由度方向的模態(tài)有效質(zhì)量百分比之和均為100%。圖5給出了某氣瓶縮聚前后自由邊界下第7階固有頻率的模態(tài)振型。由表1和圖5可知：縮聚算法正確有效，氣瓶的Nastran縮聚模型可以用于航天器整體的有限元建模。

表1 某氣瓶縮聚前后自由邊界條件下的固有頻率對(duì)比Tab. 1 Comparison of natural frequencies forthe original and reduced models of a gas tank in free-free boundary condition

圖5 某氣瓶縮聚前后自由邊界下第7階模態(tài)振型對(duì)比圖Fig.5 Comparison of the 7th modal shapes for the original and reduced models of a gas tank

4 縮聚/物理混合模型的二級(jí)縮聚問(wèn)題

耦合載荷分析(Coupled Load Analysis，CLA)是航天器研制過(guò)程中與運(yùn)載火箭協(xié)同開(kāi)展的一項(xiàng)極為重要的分析工作。流程是：先將航天器的有限元物理模型利用模態(tài)綜合法縮聚到航天器與火箭的連接界面上；然后將航天器的縮聚模型提供給運(yùn)載方，由運(yùn)載方完成航天器模型和火箭模型的裝配，并仿真分析出火箭飛行過(guò)程中器箭界面處和航天器內(nèi)部典型位置的動(dòng)力響應(yīng)。

本文采用Matlab和Nastran DMAP二次開(kāi)發(fā)語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)了航天器縮聚/物理有限元混合模型的二級(jí)縮聚，并開(kāi)展了虛擬耦合載荷分析驗(yàn)證。作為示例，圖6給出了某衛(wèi)星縮聚/物理有限元模型，該模型包含1個(gè)一級(jí)縮聚天線，安裝在衛(wèi)星+Z側(cè)艙板上；其余部組件和星本體結(jié)構(gòu)均為有限元物理模型。使用二級(jí)縮聚方案對(duì)該模型進(jìn)行二級(jí)縮聚前后的固有頻率對(duì)比如表2所示；其中縮聚前后，前6階剛體模態(tài)在各個(gè)自由度方向的模態(tài)有效質(zhì)量百分比之和均為100%。對(duì)比結(jié)果顯示了二級(jí)縮聚方案的正確性。

圖6 某衛(wèi)星縮聚/物理混合模型Fig.6 Another hybrid finite element model of a satellite contained both unreduced and reduced sub-structures

為了進(jìn)一步驗(yàn)證二級(jí)縮聚解決方案在CLA中的正確性，把衛(wèi)星的有限元縮聚/物理混合模型和二級(jí)縮聚模型分別裝配到一個(gè)相同的虛擬火箭模型上，再分別施加相同的虛擬氣動(dòng)力進(jìn)行虛擬CLA(見(jiàn)圖7)以對(duì)比分析結(jié)果。圖8給出了虛擬CLA在星箭界面點(diǎn)X向自由度的典型響應(yīng)曲線，高度一致的對(duì)比結(jié)果證明了本文二級(jí)縮聚方案的正確性。

表2 某衛(wèi)星有限元縮聚/物理混合模型和二級(jí)縮聚模型在自由邊界條件下的固有頻率對(duì)比Tab.2 Comparison of natural frequencies for the hybrid satellite model and its second-time reduced model in free-free boundary condition

圖7 器箭耦合載荷分析二級(jí)縮聚模型的驗(yàn)證示意圖Fig.7 A pseudo coupled load analysis for the verification of an obtained second-time reduced model

圖8 衛(wèi)星混合模型和二級(jí)縮聚模型的虛擬CLA結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison of a pseudo coupled load analysis results for the hybrid satellite model and its second-time reduced model

5 結(jié)論

本文簡(jiǎn)要介紹了模態(tài)綜合法的基本原理和在國(guó)內(nèi)外航天領(lǐng)域的應(yīng)用發(fā)展，重點(diǎn)研究了模態(tài)綜合法在航天領(lǐng)域結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析應(yīng)用中受限的兩個(gè)問(wèn)題：1) 通過(guò)采用Fortran/Matlab混合編程實(shí)現(xiàn)Nastran的混合界面模態(tài)綜合法，將ANSYS版本的有限元物理模型直接縮聚為Nastran可識(shí)別的一級(jí)縮聚模型，從而初步解決了航天器部組件有限元模型的一級(jí)縮聚接口匹配問(wèn)題；2) 通過(guò)Matlab和Nastran DMAP二次開(kāi)發(fā)語(yǔ)言，初步解決了包含一級(jí)縮聚部組件模型的航天器縮聚/物理混合模型的二級(jí)縮聚問(wèn)題，并通過(guò)虛擬耦合載荷分析證明了二級(jí)縮聚方案的正確性。相關(guān)技術(shù)成果可拓寬模態(tài)綜合法在我國(guó)航天器結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析中的應(yīng)用范圍，并進(jìn)一步促進(jìn)我國(guó)航天器總體技術(shù)設(shè)計(jì)能力的提高。

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