鄧麗娟 張 展 魏 平 孫 文 廖紅舒

(電子科技大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，四川成都 611731)

1 引言

分布式MIMO(Multiple-Input Multiple-Output)雷達(dá)，作為新雷達(dá)體制中的一種，自其被提出以來就引起了國內(nèi)外眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-4]。分布式MIMO雷達(dá)的收發(fā)天線陣元在空間上分布很廣，各天線接收到的信號(hào)可以認(rèn)為是相互獨(dú)立的，主要利用的是空間分集來獲取性能增益。其對(duì)信號(hào)的處理方式分為相干和非相干兩種[5-6]，相干處理要求所有收發(fā)天線陣元在時(shí)間和相位上都達(dá)到同步，但由于天線之間距離較遠(yuǎn)，對(duì)于現(xiàn)有器件水平而言，相位同步的要求難以滿足。而非相干處理僅需滿足時(shí)間上的同步，工程上易于實(shí)現(xiàn)。因此，本文所提的分布式MIMO雷達(dá)均采用非相干的處理的方式。

總體而言，分布式MIMO雷達(dá)大多采用時(shí)間信息或時(shí)頻聯(lián)合信息對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位[7-9]，而僅利用頻率信息對(duì)目標(biāo)定位的研究較少。然而，當(dāng)發(fā)射的是窄帶信號(hào)時(shí)，會(huì)導(dǎo)致時(shí)間信息的提取出現(xiàn)嚴(yán)重誤差的問題[10]。在這樣的情況下用時(shí)差(Time of Arrival, TOA)定位目標(biāo)將會(huì)導(dǎo)致性能的大幅下降，但是，這種情況下的頻率信息是足夠準(zhǔn)確的。因此，僅使用多普勒頻移(Doppler Frequency Shifts, DFS)信息對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位的研究工作變得很有必要。而通常采用的定位方法分為兩步進(jìn)行：第1步，獨(dú)立地從各接收信號(hào)中提取出測(cè)量參數(shù)(例如，時(shí)差或頻差)。第2步，將這些測(cè)量參數(shù)寫成與目標(biāo)位置有關(guān)的公式，求解方程就可得到目標(biāo)的位置估計(jì)。然而，這樣的兩步求解方式是次優(yōu)的，因?yàn)樵诘?步參數(shù)提取的過程中忽略了所有測(cè)量參數(shù)必須相對(duì)于同一個(gè)目標(biāo)位置的約束條件[11]。為了解決兩步法中的不足，Weiss等人提出了直接定位(Direct Position Determination, DPD)的方法可以最優(yōu)地估計(jì)目標(biāo)位置[12]。它可以集中地處理所有接收到的數(shù)據(jù)，并利用接收數(shù)據(jù)中不同的時(shí)間延遲實(shí)現(xiàn)一步估計(jì)目標(biāo)的位置。隨后這個(gè)工作被擴(kuò)展到了多個(gè)目標(biāo)的定位中[13]。在窄帶信號(hào)的情況下他們又提出了利用多普勒頻移對(duì)多輻射源進(jìn)行被動(dòng)定位的方法[14]。仿真結(jié)果表明，在噪聲較高的情況下，直接定位的結(jié)果優(yōu)于兩步定位法。上述方法解決的都是靜止目標(biāo)的定位問題，針對(duì)勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，文獻(xiàn)[15]提出了基于多普勒頻率對(duì)動(dòng)目標(biāo)直接定位的方法。文獻(xiàn)[16]針對(duì)接收站存在自定位誤差的情況進(jìn)行了直接定位算法研究并推導(dǎo)了此場(chǎng)景下的CRLB。

本文主要解決MIMO雷達(dá)系統(tǒng)中利用頻率信息對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位的問題。我們采用直接定位的方法，使用多個(gè)移動(dòng)發(fā)射和接收站對(duì)靜止目標(biāo)的位置進(jìn)行估計(jì)。由多個(gè)發(fā)射站發(fā)射出基帶正交的相同頻率的窄帶信號(hào)，經(jīng)由目標(biāo)反射，被多個(gè)接收站接收。由于接收站和目標(biāo)之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生多普勒頻移。將各接收站接收到的信號(hào)表示成有關(guān)目標(biāo)位置的代價(jià)函數(shù)。基于極大似然(Maximum Likelihood, ML)的準(zhǔn)則，上述代價(jià)函數(shù)的解，即為目標(biāo)的位置。另外，我們還分析了該場(chǎng)景下的克拉美羅界(Cramer-Rao lower bound, CRLB)，并將其作為衡量算法性能的參照標(biāo)準(zhǔn)。仿真結(jié)果表明，所提DPD算法的定位性能在低信噪比(signal to noise ratio, SNR)的情況下具有顯著優(yōu)勢(shì)。

2 定位模型

0≤t≤T

(1)

其中T為觀測(cè)時(shí)長，sm,k(t)為第k次觀測(cè)中第m個(gè)發(fā)射站發(fā)出的信號(hào)包絡(luò)，假設(shè)為已知。bm,l,k為第k次觀測(cè)中第m個(gè)發(fā)射信號(hào)被第l個(gè)站接收時(shí)的信號(hào)衰減系數(shù)，ωl,k(t)為接收站l在第k次接收信號(hào)時(shí)的觀測(cè)噪聲，假定服從均值為零的復(fù)高斯分布。fm,k為第k次觀測(cè)時(shí)目標(biāo)與第m個(gè)發(fā)射站之間的多普勒頻移表示為：

(2)

符號(hào)c為光速，即電磁波的傳播速度。載波頻率記為fc，假設(shè)已知。將連續(xù)信號(hào)模型進(jìn)行離散化處理，各接收站每次觀測(cè)時(shí)的快拍數(shù)為N，則接收信號(hào)可表示為如下矩陣形式：

rl,k=sk⊙Akbl,k+ωl,k

(3)

其中，

bl,k= [b1,l,k,b2,l,k,...,bM,l,k]T

(4)

rl,k= [rl,k[1],rl,k[2],...,rl,k[N]]T

(5)

ωl,k= [ωl,k[1],ωl,k[2],...,ωl,k[N]]T

(6)

sk= [s1,k,s2,k,...,sN,k]T

(7)

sn,k= [s1,k[n],s2,k[n],...,sM,k[n]]T

(8)

Ak= [A1,k,...,AN,k]T

(9)

An,k= [ej2πf1,knT,ej2πf2,knT,...,ej2πfM,knTs]T

(10)

(11)

根據(jù)公式(2)中表示的多普勒頻移與目標(biāo)位置的關(guān)系，可以用網(wǎng)格搜索的方法來求解上述問題。但測(cè)量參數(shù)提取的處理過程是獨(dú)立的，其中忽略了所有測(cè)量參數(shù)必須相對(duì)于同一個(gè)目標(biāo)位置的約束條件，可能會(huì)導(dǎo)致估計(jì)性能的下降。

3 CRLB分析

從公式(3)中可知，接收信號(hào)服從復(fù)高斯分布r～CN(m,R)，其中接收信號(hào)矢量均值為：

ml,k=sk⊙Akbl,k

(12)

將其寫成矩陣的形式為：

m...,H

(13)

其中，

(14)

由于L個(gè)接收站進(jìn)行了K次觀測(cè)，定義接收信號(hào)矢量和信道衰減矢量分別為：

r...,H

(15)

b...,H

(16)

其中，

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

Fisher矩陣的每個(gè)元素可以通過下式求得[19]:

(22)

(23)

其中，

(24)

類似可以求得：

(25)

其中

(26)

則

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

由上述表達(dá)式可以得到分塊矩陣中的Jp,p為：

(32)

其中，

(33)

(34)

(35)

(36)

其中，

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

根據(jù)(21)中的Fisher信息矩陣得到關(guān)于目標(biāo)位置p的CRLB為：

·

(44)

4 直接定位求解

根據(jù)公式(3)中接收信號(hào)的模型，目標(biāo)位置的極大似然估計(jì)可通過求如下代價(jià)函數(shù)的最小值得到：

(45)

(46)

則使得公式(46)取最小值的bl,k可表示為：

(47)

將公式(47)帶入公式(46)得到：

(48)

定義，

(49)

(50)

則目標(biāo)位置p的估計(jì)可以等價(jià)為求如下代價(jià)函數(shù)的最大值：

(51)

在信號(hào)包絡(luò)sk已知的情況下，目標(biāo)位置p只與Ak有關(guān)，可通過網(wǎng)格搜索的方式求上述代價(jià)函數(shù)取最大值時(shí)的p，即為目標(biāo)位置的估計(jì)：

(52)

5 計(jì)算量分析

對(duì)于兩步定位法：假設(shè)兩組信號(hào)，分別以r1[n]和r2[n]表示，數(shù)據(jù)長度為N，則此時(shí)的頻差的MLE可表示為[21]：

(53)

通過分析可以看出，相比于兩步定位法，文中所提算法的計(jì)算復(fù)雜度有所增加，但是下節(jié)的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果會(huì)說明新算法具有更高的定位精度，因此，新算法是以提高計(jì)算量為代價(jià)來提高估計(jì)性能的。

6 仿真實(shí)驗(yàn)

(54)

(1)仿真1

信噪比取-10 dB到10 dB時(shí)，比較兩種算法的定位結(jié)果如圖1所示。從圖1中的仿真結(jié)果可以看出，在較低信噪比的情況下，直接定位的仿真結(jié)果要優(yōu)于兩步法。在較高信噪比的情況下，兩種算法定位性能相當(dāng)且都近似達(dá)到了CRLB。

圖1 不同算法的RMSE及CRLB隨SNR變化曲線Fig.1 RMSE of the different localization methods and the CRLB under the different SNR

(2)仿真2

考察定位結(jié)果隨觀測(cè)次數(shù)的變化情況。設(shè)置信噪比為固定值-5 dB，其余仿真參數(shù)不變。觀測(cè)次數(shù)從1次增加到10次。從圖2中的仿真結(jié)果可以看出，隨著觀測(cè)次數(shù)的增加，定位性能得到提高，且直接定位的估計(jì)精度高于兩步法。

圖2 不同觀測(cè)次數(shù)時(shí)兩種算法的RMSEFig.2 RMSE of the two localization methods under the different interception intervals

(3)仿真3

圖3仿真了不同接收站數(shù)目下兩種算法的定位結(jié)果。此時(shí)信噪比固定為-5 dB，其余仿真參數(shù)不變。從圖3中可以看到隨著接收站數(shù)目的增加，定位精度增加，且所提算法性能優(yōu)于兩步定位法，更加貼近CRLB。

圖3 不同接收站數(shù)量時(shí)兩種算法的RMSEFig.3 RMSE of the two localization methods under the different receiver number

(4)仿真4

仿真快拍數(shù)從100到300之間變化，信噪比固定為-5 dB，其余仿真參數(shù)不變。對(duì)比兩種算法的定位性能，通過圖4可以看出，隨著快拍數(shù)的增加，定位性得到提高，且相同快拍數(shù)目下，所提算法的定位性能優(yōu)于兩步定位法。

圖4 不同快拍數(shù)時(shí)兩種算法的RMSEFig.4 RMSE of the two localization methods under the different snapshots

相比于兩步定位法，直接定位法具有更高的定位精度，可用于MIMO雷達(dá)系統(tǒng)中的高精度目標(biāo)定位。本文所提的直接定位算法利用到了信號(hào)的波形信息對(duì)目標(biāo)位置進(jìn)行解算，但在波形未知情況下直接定位算法仍顯示了高于兩步法的定位精度[11,14]，可見波形信息并非算法性能提升的主要因素。因此作者下一步的研究內(nèi)容，將針對(duì)MIMO場(chǎng)景下發(fā)射波形未知的目標(biāo)定位問題進(jìn)行研究和分析。

7 結(jié)論

本文主要研究了MIMO雷達(dá)系統(tǒng)中，在已知信號(hào)發(fā)射波形的前提下，僅使用多普勒頻移信息對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位的方法。該方法不需要進(jìn)行定位參數(shù)的提取，基于發(fā)射站和目標(biāo)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的多普勒頻移，在極大似然的準(zhǔn)則下，直接利用所有接收到的數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)位置的一步估計(jì)。此外，本文還對(duì)此場(chǎng)景下的CRLB界進(jìn)行了推導(dǎo)和仿真。仿真結(jié)果表明，所提算法的定位性能在較低信噪比下優(yōu)于兩步定位法，且在較高信噪比下與兩步法定位精度相當(dāng)，都近似地貼近CRLB界。