王曉丹，張龍波，王 雷，劉 晨

(山東理工大學 計算機科學與技術學院，山東 淄博 255049)

1 相關研究

近年來，水平集算法已經(jīng)較為成熟地應用于醫(yī)學圖像分割領域，這是一種有效解決曲線演化問題的數(shù)值方法，并且計算穩(wěn)定，適宜任意位數(shù)空間[1].水平集的基本思想是低維到高維的映射，把低維空間上的函數(shù)通過水平集的方法轉(zhuǎn)化到高維空間.文獻[2]提出了著名的測地線主動輪廓模型(Geodesic Active Contour，GAC)，它允許曲線在演化過程中改變拓撲結構，分割結果與初始化曲線的拓撲形態(tài)無關.但需要對水平集函數(shù)不斷初始化，代價昂貴，且演化曲線易在弱邊緣處泄露，造成分割錯誤.

由于圖像分割問題是將圖像的像素進行分類，因此可以運用聚類分析優(yōu)化圖像分割算法.文獻[3]提出基于模糊聚類水平集的圖像分割方法，算法首先使用模糊C均值(fuzzy C-means clustering，F(xiàn)CM)聚類，得到聚類后的圖像模型，再利用水平集算法進行圖像分割.雖然提高了分割的精度，有效地減少了迭代次數(shù)，但FCM方法對初始化參數(shù)敏感，容易陷入局部最小值.文獻[4]提出了基于核模糊聚類的變分水平集醫(yī)學圖像分割算法，將原始圖像進行核模糊C均值聚類，然后將聚類結果帶入水平集函數(shù)得到初始輪廓，最后利用一種無須重新初始化的水平集模型分割圖像.核函數(shù)對噪聲有很強的處理能力，但基于核方法的模糊聚類算法迭代次數(shù)多，運算時間長.除了模糊聚類，基于圖論的聚類也是近年來研究的熱點.文獻[5]介紹并使用基于連續(xù)最大流的方法對心臟CT圖像進行分割實驗，最終得到左心室心機的分割結果.文獻[6]將圖論方法應用于脊椎骨磁共振圖像的分割.文獻[7]提出一種新的基于圖論的分割方法，將圖像中灰度相同的像素作為一類，改進加權函數(shù)的定義，將節(jié)點與區(qū)域間的空間近鄰關系約束進加權函數(shù).

針對現(xiàn)有的基于最小化區(qū)域擴展擬合能量的分割模型對邊緣模糊、噪聲強的圖像迭代時間久，易產(chǎn)生邊緣泄露的問題，本文提出一種基于Nystrom方法的水平集醫(yī)學圖像分割算法.

2 基于圖論的圖像分割

圖論法要求將圖像映射為一個帶權的無向圖，把像素當作節(jié)點，構成最小支撐樹，利用最小剪切準則得到閾值從而實現(xiàn)圖像的最優(yōu)分割[8].

2.1 譜分割

譜聚類算法是將聚類問題轉(zhuǎn)化為一個無向帶權圖的多路劃分問題[9].無向圖的頂點V={v1,v2,…vn}表示像素集，vi和vj之間的相似度權值Wij表示無向圖的邊E，將聚類問題轉(zhuǎn)化為尋找最優(yōu)的分割準則G(V,E)劃分為子圖內(nèi)部相似度最大，子圖之間相似度最小.經(jīng)典的NCut(Normalize cut)方法常作為最優(yōu)分割準則，定義圖G劃分的兩個子圖A∪B=V，A∩B=?，代價函數(shù)為

(1)

為了實現(xiàn)最佳二分割，必須找到一個合適的A和B集合使代價函數(shù)最小.根據(jù)圖譜理論，可以通過計算拉普拉斯矩陣的第二最小特征值對應的特征向量對圖進行分割.這樣就把圖劃分的問題轉(zhuǎn)化為求解矩陣特征值和特征向量[10].本文使用高斯核函數(shù)度量像素之間的相似度

2.2 基于Nystrom方法的譜分割

譜分割在理論和應用方面效果都不錯，但仍有許多不足之處.隨著圖像的分辨率增大，相似矩陣成冪級數(shù)增長，花費大量的存儲空間和計算時間，F(xiàn)owlkes[11].提出通過Nystrom采樣可近似估算相似矩陣和特征向量. 設原始圖像有N個像素，從中隨機選取m個像素點，剩下n=N-m個像素點m?N，構造相似矩陣W為

(2)

3 本文算法

本文提出的基于Nystrom方法的水平集醫(yī)學圖像分割算法，首先利用Nystrom譜聚類的思想，對原始圖像隨機采樣，然后分別計算樣本點之間的距離和樣本點與非樣本點之間的距離，并將距離轉(zhuǎn)化為相似矩陣，拉普拉斯歸一化處理后，得到k個特征值及對應的特征向量，再利用k-means聚類特征向量，得到聚類的圖像，最后利用Li提出的水平集分割方法[13]分割圖像得到結果.具體步驟為：

(1)輸入原始圖像，通過Nystrom算法對像素點隨機采樣，選取一定數(shù)量的樣本點.計算樣本點之間的歐式距離、樣本點和非樣本點之間的歐氏距離.

(2)將距離轉(zhuǎn)化為相似矩陣A和B，拉普拉斯歸一化相似矩陣.執(zhí)行正交化和特征分解，得到k個特征值和對應的特征向量，并按降序排列.

(3)利用k-means算法聚類，得到聚類后的圖像.

(4)初始化水平集函數(shù)、高斯核函數(shù)平滑圖像，計算圖像的曲率和梯度.

(5)基于興趣區(qū)域設定初始輪廓和迭代次數(shù)，通過求解偏微分方程驅(qū)動水平集的演化，得到最終的分割圖像.

偏微分方程PDE可以利用標準梯度下降方法最小化能量函數(shù).能量函數(shù)公式為：

(3)

算法流程圖如圖1所示.

圖1 本文算法流程圖Fig.1 Flow chart of the algorithm in this paper

4 實驗與結果分析

4.1 實驗過程

為了驗證本文算法，實驗環(huán)境為：處理器Intel(R)Xeon(R)E5-2620，CPU2.0GHz，內(nèi)存32GB，64位Windows Server2008 R2操作系統(tǒng).實驗從每幅圖像中隨機取樣100個像素點，Li方法中的參數(shù)為：δ=1.0, Δt=0.1,v=0.001*255*255,λ1=λ2=1.0,u=1.0.實驗根據(jù)不同的數(shù)據(jù)集，采用了不同的迭代次數(shù)，實驗1和實驗3選取的圖像與實驗2的圖像相比，噪聲強度相對較弱，迭代200次后，圖像邊界分割清晰，成功收斂到目標區(qū)域.實驗2的頭頂灰度圖，噪聲強，為避免邊緣泄露問題，迭代選取400次.

實驗1如圖2所示，圖像為103*101的血管圖，實驗選取13 493個像素中的100個像素進行近似估計，初始輪廓為感興趣的不規(guī)則區(qū)域，迭代次數(shù)為200次.圖2(a)為原始圖像，2(b)中紅色虛線為初始輪廓，2(c)中紅色實線為分割參考輪廓，2(d)為兩種算法迭代100次后的分割圖像，2(e)為兩種分割算法最終的分割結果.(d)、(e) 中黑色線為本文算法，白色線為參考輪廓，藍色線為基于最小化區(qū)域擴展擬合能量的圖像分割算法.

實驗2如圖3所示，圖像為128*128的頭頂灰度圖，實驗選取16384個像素中的100個像素近似估計，初始輪廓為感興趣的不規(guī)則區(qū)域，迭代次數(shù)為400次.圖3(a)為原始圖像，3(b)中紅色虛線為初始輪廓，3(c)中紅色實線為分割參考輪廓，3(d)為兩種算法迭代200次后的分割圖像，3(e)為兩種分割算法最終的分割結果.3(d)、3(e)中黑色線為本文算法，白色線為參考輪廓，藍色線為基于最小化區(qū)域擴展擬合能量的圖像分割算法.

實驗3如圖4所示，圖像為128*128的酵母熒光顯微圖，實驗選取16 384個像素中的100個像素近似估計，初始輪廓為感興趣的不規(guī)則區(qū)域，迭代次數(shù)為200次.圖4(a)為原始圖像，4(b)中紅色虛線為初始輪廓，4(c)中紅色實線為分割參考輪廓，4(d)為兩種算法迭代100次后的分割圖像，4(e)為兩種分割算法最終的分割結果.4(d)、4(e)中黑色線為本文算法，白色線為參考輪廓，藍色線為基于最小化區(qū)域擴展擬合能量的圖像分割算法.(注：圖2-4原圖是彩色，讀者如需了解詳情，請到本刊網(wǎng)站查看電子文稿)

(a)原始圖像 (b)初始輪廓 (c)參考輪廓 (d)100次迭代 (e)結果對比圖2 血管圖分割Fig.2 The bleod vessel segmentation

(a)原始圖像 (b)初始輪廓 (c)參考輪廓 (d)200次迭代 (e)結果對比圖3 頭頂灰度圖分割Fig.3 The perietal region segmentation

(a)原始圖像 (b)初始輪廓 (c)參考輪廓 (d)100次迭代 (e)結果對比圖4 酵母熒光顯微圖分割Fig.4 The yeast micrograph segmentation

4.2 實驗結果分析

從圖2(e)、圖3(e)、圖4(e)分割結果來看，本文算法能夠快速精確地收斂到目標區(qū)域，克服了基于最小化區(qū)域擬合擴展能量的圖像分割算法對于像素灰度相近的圖像分割效果不理想，易產(chǎn)生邊界泄露的問題.

為了更好的分析實驗結果，本文從算法分割時間和結果圖像與參考圖像的相似度Dice兩方面進行評價，見表1、表2.算法分割時間以s為單位.

表1 分割時間比較
Tab.1 Comparision of the segmentation time s

圖像基于最小化區(qū)域擬合能量的圖像分割算法本文算法血管圖9．4214．787頭頂灰度圖22．3686．615酵母熒光顯微圖3．5052．758

表2 Dice相似度比較
Tab.2 Dice similarity comparison

圖像基于最小化區(qū)域擬合能量的圖像分割算法本文算法血管圖0．3260．946頭頂灰度圖0．8360．845酵母熒光顯微圖0．9000．910

5 結束語

本文針對現(xiàn)有基于最小化擴展擬合能量的圖像分割方法，對于圖像像素灰度值相近時，分割效果不明顯，在弱邊緣處易產(chǎn)生邊界泄露的現(xiàn)象，提出了基于Nystrom方法的水平集醫(yī)學圖像分割算法.通過理論分析和相關實驗，證明該方法能夠快速精確地收斂到目標區(qū)域，在相同的迭代次數(shù)中，本文方法能更快分割圖像，并能保證較高的相似度.

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