王宏軍+賈月仙

摘 要：極限指的是從數(shù)量上描述了變量在無限的變化過程中所表現(xiàn)的變化趨勢，在無限變化的過程中對變量變化趨勢進(jìn)行考察研究的思想稱為極限思想。對于將要進(jìn)行考察研究的未知變量，可以先通過一種方法構(gòu)思出一個跟它相關(guān)的變量，通過對這個變量在無限變化過程中得到的結(jié)果進(jìn)行確認(rèn)就能得到要求的那個未知量，再通過極限思想進(jìn)行計(jì)算，從而得到最終的結(jié)構(gòu)，上述就是通過極限思想解決數(shù)學(xué)問題的過程步驟。本文分析了幾種常見的極限思想模式，重點(diǎn)闡述了極限思想在數(shù)學(xué)微積分中的應(yīng)用和對于數(shù)學(xué)教學(xué)的重要作用。

關(guān)鍵詞：微積分 極限思想 應(yīng)用

中圖分類號：G623 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）11（c）-0252-02

極限思想反映的是一個變量和另一個已知量之間的無限接近，通過這個已知量得出另一個變量的最終極限值。微積分在數(shù)學(xué)歷史上的產(chǎn)生過程同時也是人類對極限思想的逐步深入認(rèn)識和明確的一個過程。極限思想是數(shù)學(xué)微積分中的最基本數(shù)學(xué)思想。微積分中導(dǎo)數(shù)、多重積分、曲面積分、函數(shù)連續(xù)性、定積分和曲線等重要概念的定義都需要通過極限思想完成。由此可見，微積分是在極限思想支持下，以極限理論為主要的研究工具，對函數(shù)進(jìn)行更深層次研究的一門學(xué)科。

1 極限思想

1.1 無窮分割方法下的極限思想

無窮分割方法下的極限思想是微積分思想的重要基礎(chǔ)。這種極限思想的實(shí)質(zhì)是通過無數(shù)個同維度的無窮小的元素之和去定某些立體的體積、物體的質(zhì)量和曲邊形的面積。定積分的理論來自與求曲邊梯形的面積，指的是將曲邊梯形看作無數(shù)個小梯形的面積之和。這一思想也被應(yīng)用在求面積、求弧長和求旋轉(zhuǎn)體體積方面。在這一思想影響下，結(jié)合相關(guān)的解析幾何手段和代數(shù)方法，產(chǎn)生了直角坐標(biāo)系下二重積分的定義和求解方法。由此可以看出極限思想為微分學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

1.2 無窮大，無窮小方法下的極限思想

通過內(nèi)接正多邊形的面積的極限值求圓的面積，相當(dāng)于兩個相關(guān)的變量，一個變量在另一個變量發(fā)生變化的過程中，與另一個已知變量之間的差不斷減小，從而可以通過這個已知量得到相關(guān)變量的最終極限值，這個極限值的概念就是“極限”。由此可知極限思想理論就是一個變量和另一個已知量之間的一種無限接近，最終通過這個已知量反映出相關(guān)變量的最終極值[1]。

2 極限思想的應(yīng)用

2.1 一種新研究方法

在對速度的研究過程中，利用極限思想，可以對平均速度的極限值進(jìn)行研究，從而對瞬時速度的值進(jìn)行確定。在密度研究過程中也可以依據(jù)對密度的極限值進(jìn)行研究，對密度的極限值進(jìn)行確定?？梢?，極限思想在許多方面都有著重要應(yīng)用，并且其也是力學(xué)等其他理工學(xué)科的一種重要研究方法。極限思想的確立，促進(jìn)了數(shù)學(xué)微積分的進(jìn)一步發(fā)展，為對龐大的分支體系進(jìn)行研究做鋪墊，從而使分析方法真正成為分析學(xué)。

2.2 極限思想為數(shù)學(xué)微積分的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)

極限思想是數(shù)學(xué)微積分中的基本理論，是微積分概念由來的基礎(chǔ)，也是微積分與其他教學(xué)不同的一個重要表現(xiàn)。

極限思想需要在微積分教學(xué)中全面貫穿，多數(shù)學(xué)術(shù)概念都以極限思想作為基礎(chǔ)。例如，在研究函數(shù)過程中對某一點(diǎn)的定義，如果自變量近乎零增長時，此時函數(shù)值的增長量也接近于零[2]。

極限思想在一定程度上使分析學(xué)的研究面發(fā)生了擴(kuò)大，促進(jìn)了微積分的發(fā)展和完善。例如，在研究過程中，將一般的積分發(fā)展為廣義積分。

2.3 在其他學(xué)科中的應(yīng)用

（1）實(shí)數(shù)系的確立離不開極限思想的支持，極限運(yùn)算的進(jìn)行需要在封閉型數(shù)域中開展。例如，四則預(yù)算的開展就必須要在封閉型數(shù)域中開展。極限預(yù)算在開展過程中需要完善的數(shù)系，這個數(shù)系指的就是實(shí)數(shù)系。實(shí)數(shù)系由魏爾斯特拉斯邏輯結(jié)構(gòu)組成，這導(dǎo)致了在數(shù)學(xué)分析中，無論出現(xiàn)何種概念以及極限都能夠利用實(shí)數(shù)與其基本關(guān)系和運(yùn)算進(jìn)行精確的表述。以分析學(xué)為基礎(chǔ)的邏輯基礎(chǔ)指的是實(shí)數(shù)系、極限系、微積分三者間的聯(lián)系。

（2）概率論中的大部分中心極限定理和定律都是通過極限思想對大量隨機(jī)性現(xiàn)象進(jìn)行研究統(tǒng)計(jì)其規(guī)律性的。概率論中最著名的一項(xiàng)結(jié)果就是中心極限定理，中心極限定理為獨(dú)立性隨機(jī)變量之和近似率的計(jì)算提供了較為簡單的方法，同時也有利于對自然群體自身經(jīng)驗(yàn)頻率呈正態(tài)分布曲線的原因分析。在對微分討論中，涉及到解的極限值，分析泛函時，其中存在的馬氏鏈?zhǔn)怯袠O限性質(zhì)的，土體的極限分析，算法中的極限編程理論和經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的極限趨勢思想等都可以體現(xiàn)出極限思想的應(yīng)用廣泛性。

3 極限思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用

3.1 有利于全面落實(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)中的主要目標(biāo)，是促進(jìn)學(xué)生智力發(fā)展的關(guān)鍵因素，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的理論基礎(chǔ)，同時也是教學(xué)素養(yǎng)中的重要組成部分。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，掌握極限思想的含義，充分發(fā)揮極限思想的重要作用，能夠促使學(xué)生在面對較難的數(shù)學(xué)問題時可以自主通過極限思想理論進(jìn)行解讀，有助于學(xué)生真正全面的理解和掌握極限思想方法，同時也能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施時全面落實(shí)數(shù)學(xué)思想方法[3]。

3.2 能夠充分感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡潔美

在數(shù)學(xué)中一個簡單的數(shù)字“1”就可以體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的簡潔美。數(shù)學(xué)的簡潔主要表現(xiàn)在其數(shù)學(xué)理論體系、表示方法和證明方法等在組成結(jié)構(gòu)上比較簡潔明了。在數(shù)學(xué)中所有公式都可以用簡潔的語言進(jìn)行表述和概括，有利于人們的理解掌握。任何證明也都可以通過簡潔的語言進(jìn)行表達(dá)。數(shù)學(xué)中的各種概念理論之間關(guān)系比較清晰明了，結(jié)構(gòu)簡潔。極限思想同樣可以通過幾句簡單的語言就可以進(jìn)行總結(jié)和概括。極限思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的利用不僅可以作為學(xué)生的一種解題思路，也可以充分發(fā)揮學(xué)生的思維能動性。

3.3 有利于提高數(shù)學(xué)水平

所謂數(shù)學(xué)水平，指的是學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題時利用所學(xué)的知識進(jìn)行解題的一種能力。主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)的表達(dá)能力、抽象思維能力、空間思維與概念深刻程度、廣闊性、閱讀能力、計(jì)算能力、邏輯思維能力和敏捷性等方面共同組成的開發(fā)動態(tài)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。采用極限思想的方法進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，能夠大大提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，幫助學(xué)習(xí)記憶數(shù)學(xué)公式，解答數(shù)學(xué)難題，從而提高學(xué)生的思維邏輯能力。例如利用極限思想求曲邊梯形的面積，這類問題能夠有效激發(fā)學(xué)生的興趣[4]。

3.4 提高解決數(shù)學(xué)問題的能力

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中充分發(fā)揮極限思想的重要作用，能夠有效降低數(shù)學(xué)問題的難度系數(shù)，幫助學(xué)生理順解題思路，使學(xué)生能夠在較短的時間內(nèi)找到正確的解題方法，能夠取得事半功倍的學(xué)習(xí)效果。通過對極限思想的掌握和應(yīng)用，能夠極大地幫助學(xué)生解決函數(shù)問題、立體幾何問題、不等式問題、平面解析問題、數(shù)列問題和定積分問題等多種數(shù)學(xué)問題。

4 結(jié)語

綜上所述，極限是從數(shù)量上對相關(guān)變量在無限變化過程中的變化趨勢進(jìn)行描述，在此無限變化過程中對相關(guān)變量變化趨勢的考察研究就是極限思想。利用極限思想解決數(shù)學(xué)問題，能夠有效降低問題的難度，優(yōu)化學(xué)生的解題思路。不僅能夠加深學(xué)生對極限思想的理解掌握，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，開闊學(xué)生眼界，同時也會使學(xué)生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識得到提高。在教學(xué)過程中重視數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，有利于學(xué)生主動、獨(dú)立的解決問題，探索新知識，加速推進(jìn)知識轉(zhuǎn)化為能力的過程。

參考文獻(xiàn)

[1] 李美華.極限思想及其在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].科教導(dǎo)刊，2013（36）：44，107.

[2] 袁凌，崔宏亮.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中極限思想的辯證思考與理解[J].商情，2011（22）：81.

[3] 董國陽.淺談微積分的起源與發(fā)展[J].大觀周刊，2011（39）：91.

[4] 朱永強(qiáng).高等數(shù)學(xué)中函數(shù)極限計(jì)算方法[J].科技風(fēng)，2010（23）：30-31.endprint